Какое уравнение является основным уравнением динамики

Основное уравнение динамики. Основные задачи динамики.

6.1. Основное уравнение динамики.

Основное уравнение динамики есть математическое выражение второго закона Ньютона:

. (6.1)

Записанное через импульс, оно имеет вид:

. (6.2)

Мы записали второй закон Ньютона как опытный закон. Однако его можно представить как следствие закона сохранения импульса. В самом деле, если система изолирована (замкнута), то имеем

. (6.3)

Если система не изолирована (или рассматриваем отдельные тела внутри замкнутой системы), то

. (6.4)

Функцию координат и скорости материальной точки, определяющую производную ее импульса по времени называют силой. Поэтому основное уравнение динамики или 2-ой закон Ньютона записывается

или . (6.5)

Это уравнение — векторное, поэтому оно может быть представлено в виде системы из трех (по числу измерений пространства) скалярных уравнений. Однако, в силу принципа независимости движения по взаимно перпендикулярным направлениям (осям), может сохраняться часть проекций импульса , например, на одну из осей, тогда для других проекций записываются уравнения типа (6.3). Конкретное содержание эти уравнения получают лишь тогда, когда определена функция . Установление таких зависимостей — основная задача динамики.

Пример: сохранение импульса по оси x: , т.е. и 1-ый закон Ньютона формально становится как бы следствием 2-го закона Ньютона.

Однако выделение 1-го закона Ньютона в “самостоятельный” физический закон принципиально необходимо, поскольку он указывает такую систему отсчета (ИСО), в которой справедлива запись 2-го закона Ньютона.

Рассмотрим два тела, образующих замкнутую систему. В такой системе выполняется закон сохранения импульса:

,

, или .

Т.о., получаем 3-ий закон Ньютона

В силу того, что в замкнутой системе , получаем важное следствие.

Сумма сил, действующих внутри замкнутой системы тел (внутренних сил) равна нулю: .

6.2. Основные задачи динамики.

Два основных типа задач динамики:

1) Известна зависимость координаты от времени , при этом находим .

2) Известна сила , находим .

6.3. Уравнение движения тела с переменной массой.

Во многих задачах, представляющих практический интерес, масса тела изменяется в процессе движения.

Получим уравнение для движения тела с переменной массой, пользуясь инвариантностью законов в различных ИСО. В качестве примера рассмотрим движение ракеты:

а) пусть в момент времени ракета имеет массу ;

б) присоединяемая (отделяемая) масса имеет скорость относительно массы m;

в) введем инерциальную систему отсчета, скорость которой совпадает со скоростью ракеты в момент времени , т.е. в указанный момент времени ракета покоится в системе.

г) за время от до материальная точка приобретает в системе импульс за счет внешних сил , действующих со стороны окружающих тел или силового поля, и за счет присоединяемой (отделяемой) массы :

. (6.6)

Получили уравнение Мещерского – основное уравнение динамики материальной точки с переменной массой. Оно описывает движение тела, к которому присоединяется масса со скоростью (Внимание: знак + в уравнении (6.6) – присоединение массы). Будучи полученным в ИСО, в силу принципа относительности Галилея это уравнение справедливо в любой ИСО.

Рассмотрим частные случаи уравнения Мещерского.

А) Реактивная сила: . Если — потеря массы и скорость выброса массы направлена в противоположную сторону скорости , то реактивная сила есть сила, вызывающая ускорение ракеты (вектор направлен против вектора ).

Б) Если скорость , то и уравнение Мещерского совпадает по форме с основным уравнением динамики, но только с массой, зависящей от времени, :

Пример такого движения: движение цистерны, из которой выливается вода.

В) Случай когда (т.е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе отсчета), то

т.е. получили основное уравнение динамики для тела с переменной массой.

Пример движения: движущаяся платформа, на которую сыпется песок из неподвижного бункера.

Формула Циолковского (Сивухин, I, стр. 114-122)

Дата добавления: 2015-04-15 ; просмотров: 18 ; Нарушение авторских прав

Основное уравнение динамики вращательного движения

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 141.

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 141.

Движение, при котором траектории точек твердого тела представляют собой окружности различных радиусов с центрами, лежащими на одной прямой, называется вращательным движением. Причины движения, в том числе вращательного, изучает динамика. Рассмотрим основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Основное уравнение динамики

Динамика – это раздел механики, изучающий причины движения тел. Основным уравнением динамики является Второй Закон Ньютона. Согласно этому закону, ускорение, получаемое телом, равно отношению силы, действующей на тело, к массе тела:

Данный закон имеет векторную форму. То есть, ускорение, получаемое телом, имеет направление, и из уравнения следует, что это направление совпадает с направлением действия силы (поскольку масса – это скалярная величина).

Рис. 1. Второй закон Ньютона.

Моменты силы и инерции

Общий принцип основного уравнения динамики для вращательного движения сохраняется. То есть, изменение скорости движения (ускорение) прямо пропорционально интенсивности воздействия, и обратно пропорционально инертности тела.

Но, особенность вращательного движения состоит в том, что одна и та же сила может сообщать точке различные угловые ускорения, в зависимости от точки ее приложения.

Это легко наблюдать на примере действия рычага, когда поднимается тяжелый предмет. Чем длиннее плечо приложения силы рычага, тем меньше требуется сила для подъема предмета, хотя масса предмета остается неизменной.

Рис. 2. Рычаг первого рода.

Таким образом, для вращательного движения обязательно необходимо учитывать плечо – расстояние от точки приложения силы до оси вращения. Для такого учета в уравнении сила и масса заменяется моментом силы и моментом инерции соответственно. Момент силы $M$ равен произведению модуля силы $F$ на плечо силы $l_F$ (расстояние от точки приложения до оси вращения). Момент инерции $J$ равен произведению массы материальной точки $m$ на квадрат расстояния от нее до оси вращения $l_F$.

Второй Закон Ньютона для вращения

Заменяя силу и массу во Втором Законе Ньютона на моменты силы и инерции, необходимо помнить, что ускорение, получаемое в такой формуле получается не линейным, а угловым $\varepsilon$. Оно равно изменению угловой скорости $\omega$ за единицу времени и измеряется в радианах в секунду за секунду. Скорость $\omega$, приобретаемая телом в результате этого ускорения, также является угловой и измеряется в радианах в секунду:

• $\varepsilon$ – угловое ускорение, получаемое телом;
• $М$ – момент силы, приложенной к телу;
• $J$ – момент инерции тела;
• $F$ – величина силы, приложенной к телу;
• $l_F$ – плечо силы, приложенной к телу;
• $m$ – масса тела;
• $l_m$ – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Отметим, что в данной формуле момент инерции рассчитывается для материальной точки, то есть, для случая, когда ось вращения лежит вне тела, а размерами тела можно пренебречь по сравнению с величиной плеча. Если ось вращения проходит через само тело или размеры тела сравнимы с величиной плеча, расчет момента инерции гораздо более сложен.

Что мы узнали?

Уравнение динамики вращательного движения похоже на уравнение динамики поступательного движения. Но вместо силы и массы здесь используются момент силы и момент инерции. А получаемое ускорение является угловым, и измеряется в радианах в секунду за секунду.

iSopromat.ru

Рассмотрим общее уравнение динамики механической системы, которое также называется принципом Даламбера-Лагранжа:

Объединяя этот принцип с принципом возможных перемещений для систем с идеальными связями получаем уравнение:

которое называют общим уравнением динамики (или принципом Даламбера-Лагранжа).

При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нолю.

Поскольку в уравнении присутствуют силы инерции, а следовательно и ускорения, то эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы с идеальными связями.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах