Какое выражение соответствует уравнению планка

1.4. Закон излучения Планка

М. Планк указал выход из создавшегося положения, выдвинув гипотезу, что электромагнитная энергия испускается и поглощается не непрерывно, а отдельными порциями (квантами)

Коэффициент пропорциональности в соотношении между энергией и частотой света в СИ измеряется в Дж∙с и называется теперь постоянной Планка. Впоследствии было установлено ее численное значение:

В соответствии с гипотезой Планка, энергия рассмотренной выше стоячей волны в резонаторе может принимать лишь дискретный набор значений

кратных частоте волны.

Рис. 1.12. Планк Макс Карл Эрнст Людвиг (1858–1947)

Используя это соотношение, Планк получил аналитическое выражение для испускательной способности черного тела. Для излучения в состоянии термодинамического равновесия по-прежнему справедливо распределение Больцмана. Соответственно, вероятность Р_n того, что энергия стоячей волны с частотой равна

Сумма всех вероятностей равна единице, откуда мы находим нормировочный коэффициент С:

Средняя энергия колебания с частотой w равна

Метод расчета таких сумм основан на выражении для суммы членов геометрической прогрессии и формулы, получаемой из нее дифференцированием:

находим выражение для средней энергии стоячей волны

Умножая число стоячих волн в единице объема и с частотой в интервале на их среднюю энергию (1.25), получаем формулу Планка для спектральной плотности энергии теплового излучения

Испускательная способность абсолютно черного тела с учетом формулы (1.6) описывается законом Планка

При высоких температурах (малых частотах)

экспоненту в знаменателе формул (1.25) и (1.27) можно разложить в ряд:

откуда получаем классическое выражение для средней энергии осциллятора

и формулу Рэлея — Джинса (1.19). Для спектральной плотности энергии и испускательной способности абсолютно черного тела в зависимости от длины волны имеем

Оказалось, что закон Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале длин волн, в то время как формула Рэлея — Джинса, как уже говорилось, соответствует данным опыта только при больших длинах волн (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Сравнение испускательной способности черного тела ,
согласно закону Планка и эксперименту (1) и формуле Рэлея — Джинса (2)

Более того, из закона Планка непосредственно получается закон Стефана — Больцмана:

Введем безразмерную переменную интегрирования

В результате этого получаем

Используя значение интеграла

находим аналитическое выражение для постоянной Стефана — Больцмана:

величина которой согласуется с приведенными экспериментальными данными.

Из закона Планка следует также закон смещения Вина. Если продифференцировать функцию Планка (1.28) по , и приравнять нулю производную, то можно найти положение максимума функции . Действительно, приравнивая нулю функцию , получаем

Введя безразмерную переменную

приходим к уравнению

Корень этого уравнения

позволяет получить закон смещения Вина:

Рис. 1.14. Распределение Планка для испускательной способности абсолютно чёрного тела при разных температурах. С ростом температуры максимум спектров сдвигается вдоль пунктирной линии в строну коротких длин волн в соответствии с законом Вина

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе все эмпирические законы теплового излучения, а также позволяет вычислить константы в этих законах.

Мы искали максимум функции по длинам волн. Но излучение черного тела можно характеризовать также и распределением (1.27) по частотам. Найдем для сравнения максимум этого распределения. Для этого надо найти экстремум функции (1.27):

Вводя безразмерную переменную

получаем уравнение для точки максимума распределения :

которое имеет корень

Отсюда следует, что максимум интенсивности приходится на частоту

Этой частоте соответствует длина волны

которая, конечно, не определяет максимум функции (1.28) и поэтому не совпадает с выражением (1.34) для из закона смещения Вина:

Пример 1. Принимая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, вычислим его энергетическую светимость и температуру поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом рад. Поток солнечной энергии на земной орбите (так называемая солнечная постоянная) равен С = 1.4 кВт/м 2 .

Пусть радиус Солнца равен r_C , а расстояние до Земли есть l_З . Их отношение связано с угловым диаметром Солнца:

Если энергетическая светимость Солнца есть R, то полная энергия, излучаемая Солнцем в единицу времени, равна произведению R на площадь поверхности Солнца:

Эта энергия достигает орбиты Земли, где она распределяется по большей площади . Отсюда находим солнечную постоянную

В итоге получаем

По формуле Стефана — Больцмана находим температуру верхних слоев Солнца

Пример 2. В пророчестве Исайи (Ис. 30, 26) сказано:

«И свет луны будет, как свет солнца, а свет солнца будет светлее всемеро, как свет семи дней, в тот день, когда Господь обвяжет рану народа Своего и исцелит нанесенные ему язвы».

Оценим температуру окружающей среды в этот день.

Поток солнечного излучения, падающий на Землю, компенсируется энергией, излучаемой Землей. Из условия задачи следует, что в указанный день поток энергии (с учетом света Луны) в восемь раз превысит нынешний поток солнечного излучения. В состоянии теплового равновесия во столько же раз должен увеличиться поток тепловой энергии с Земли. Из закона Стефана — Больцмана следует, что температура на Земле должна возрасти в

Если нынешняя средняя температура составляет 17° С = 290 К, то при увеличении потока энергии в 8 раз она составит Т = 1,68 ·290 = 487 К = 214 °С. Жарко будет!

Пример 3. Исходя из данных примера 1, найдем длину волны, на которую приходится максимум энергии солнечного излучения.

Выше была найдена температура верхних слоев Солнца. По закону смещения Вина получаем

ПЛА́НКА ЗАКО́Н ИЗЛУЧЕ́НИЯ

ПЛА́НКА ЗАКО́Н ИЗЛУЧЕ́НИЯ, опи­сы­ва­ет спек­траль­ное рас­пре­де­ле­ние энер­гии элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния, на­хо­дя­ще­го­ся в те­п­ло­вом рав­но­ве­сии с ве­ще­ст­вом при за­дан­ной тем­пе­ра­ту­ре. Идеа­ли­зи­ро­ван­ной мо­де­лью рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния слу­жит элек­тро­маг­нит­ное по­ле внут­ри по­лос­ти, рас­по­ло­жен­ной в на­гре­том ве­ще­ст­ве, при ус­ло­вии, что стен­ки ве­ще­ст­ва не­про­зрач­ны для из­лу­че­ния. Спектр та­ко­го рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния на­зы­ва­ют спек­тром из­лу­че­ния аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла . Объ­ём­ная плот­ность энер­гии из­лу­че­ния $u_ω$ , при­хо­дя­щей­ся на еди­нич­ный ин­тер­вал час­тот $ω$ , вы­ра­жа­ет­ся т. н. фор­му­лой План­ка: $$u_ω=\frac<ω^2><π^2 c^2>\cdot\frac<\hbar ω>-1>,$$ где $T$ – аб­со­лют­ная темп-ра, $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на, $c$ – ско­рость све­та, $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка. Т. о., по спек­тру из­лу­че­ния аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла мож­но оп­ре­де­лить его тер­мо­ди­на­мич. темп-ру. Эта фор­му­ла бы­ла вы­ве­де­на М. План­ком в 1900 в ре­зуль­та­те рас­смот­ре­ния ба­лан­са об­ме­на энер­ги­ей ме­ж­ду дву­мя ви­да­ми ос­цил­ля­то­ров: час­ти­ца­ми ве­ще­ст­ва, по­гло­щаю­щи­ми и ис­пус­каю­щи­ми из­лу­че­ние на час­то­те $ω$ , и ос­цил­ля­то­ра­ми, пред­став­ляю­щи­ми элек­тро­маг­нит­ное по­ле той же час­то­ты. Планк пред­по­ло­жил, что та­кие ос­цил­ля­то­ры мо­гут на­хо­дить­ся толь­ко в со­стоя­ни­ях с дис­крет­ной энер­ги­ей и об­ме­ни­ва­ют­ся ме­ж­ду со­бой кван­та­ми энер­гии ве­ли­чи­ной $Δ\mathscr =\hbar ω$ . Зна­че­ние ко­эф. про­пор­цио­наль­но­сти $\hbar$ ме­ж­ду час­то­той ос­цил­ля­то­ра и ве­ли­чи­ной кван­та энер­гии Планк ус­та­но­вил ис­хо­дя из экс­пе­рим. дан­ных: $\hbar$ = 1,054·10 –34 Дж·с. Пред­по­ло­же­ние о дис­крет­ном на­бо­ре воз­мож­ных зна­че­ний энер­гии ос­цил­ля­то­ров по­ля ( $0, \hbar ω, 2\hbar ω, 3\hbar ω, . $ ) ста­ло впо­след­ст­вии ос­но­ва­ни­ем для вве­де­ния по­ня­тия кван­та элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния ( фо­то­на ).

Постоянная Планка

6,626 070 040(81) • 10 −34

4,135 667 662(25) • 10 −15

6,626 070 040(81) • 10 −27

Постоя́нная Пла́нка , обозначаемая как h , является физической постоянной, используемой для описания величины кванта действия в квантовой механике. Данная постоянная впервые появилась в работах М. Планка, посвящённых тепловому излучению, и потому названа в его честь. Она присутствует как коэффициент между энергией E и частотой ν фотона в формуле Планка:

Скорость света c связана с частотой ν и длиной волны λ соотношением:

С учётом этого соотношение Планка записывается так:

Часто применяется величина

Дж•c,

эрг•c,

эВ•c,

называемая редуцированной (или рационализированной) постоянной Планка или постоянной Дирака .

Постоянную Дирака удобно использовать тогда, когда применяется угловая частота ω , измеряемая в радианах за секунду, вместо обычной частоты ν , измеряемой количеством циклов за секунду. Так как ω = 2π ν , то справедлива формула:

Согласно гипотезе Планка, впоследствии подтверждённой, энергия атомных состояний является квантованной. Это приводит к тому, что нагретое вещество излучает электромагнитные кванты или фотоны определённых частот, спектр которых зависит от химического состава вещества.

В Юникоде постоянная Планка занимает позицию U+210E (h), а постоянная Дирака U+210F (ħ).

Содержание

• 1 Величина
• 2 Происхождение постоянной Планка
  • 2.1 Излучение чёрного тела
  • 2.2 Фотоэффект
  • 2.3 Структура атома
  • 2.4 Принцип неопределённости
  • 2.5 Спектр тормозного рентгеновского излучения
• 3 Физические константы, связанные с постоянной Планка
  • 3.1 Масса покоя электрона
  • 3.2 Постоянная Авогадро
  • 3.3 Элементарный заряд
  • 3.4 Магнетон Бора и ядерный магнетон
• 4 Определение из экспериментов
  • 4.1 Постоянная Джозефсона
  • 4.2 Баланс мощности
  • 4.3 Магнитный резонанс
  • 4.4 Постоянная Фарадея
  • 4.5 Рентгеновская плотность кристалла
• 5 Постоянная Планка в системе единиц СИ
• 6 Постоянная Планка в теории бесконечной вложенности материи
• 7 См. также
• 8 Ссылки
• 9 Литература
• 10 Внешние ссылки

Величина

Постоянная Планка имеет размерность энергии, умноженной на время, как и размерность действия. В международной системе единиц СИ постоянная Планка выражается в единицах Дж•с. Такую же размерность имеет произведение импульса на расстояние в виде Н•м•с, а также момент импульса.

Значение постоянной Планка равно: [1]

Дж•с эВ•с.

Две цифры между скобками обозначают неопределённость в двух последних цифрах значения постоянной Планка (данные обновляются приблизительно каждые 4 года).

Происхождение постоянной Планка

Излучение чёрного тела

Основная статья : Формула Планка

Интенсивность света, излучаемая чёрным телом в зависимости от длины волны. Кривые обозначены разным цветом и построены для разных температур тела. Планк был первым, кто объяснил форму этих кривых

В конце 19 века Планк исследовал проблему излучения абсолютно чёрного тела, которую за 40 лет до этого сформулировал Кирхгоф. Нагретые тела светятся тем сильнее, чем выше их температура и больше внутренняя тепловая энергия. Теплота распределяется между всеми атомами тела, приводя их в движение друг относительно друга и к возбуждению электронов в атомах. При переходе электронов к устойчивым состояниям излучаются фотоны, которые могут снова поглощаться атомами. При каждой температуре возможно состояние равновесия между излучением и веществом, при этом доля энергии излучения в общей энергии системы зависит от температуры. В состоянии равновесия с излучением абсолютно чёрное тело не только поглощает всё падающее на него излучение, но и излучает само то же самое количество энергии, по определённому закону распределения энергии по частотам. Закон, связывающий температуру тела с мощностью общей излучаемой энергии с единицы поверхности тела, носит название закон Стефана-Больцмана и был установлен в 1879–1884 гг.

При нагревании увеличивается не только общее количество излучаемой энергии, но меняется и состав излучения. Это видно по тому, что меняется цвет нагреваемых тел. Согласно закону смещения Вина 1893 г., основанному на принципе адиабатического инварианта, для каждой температуры можно вычислить длину волны излучения, при которой тело светится наиболее сильно. Вин сделал достаточно точную оценку формы энергетического спектра чёрного тела при высоких частотах, но не смог объяснить ни форму спектра, ни его поведение при низких частотах.

Планк предположил, что поведение света подобно движению набора множества одинаковых гармонических осцилляторов. Он изучал изменение энтропии этих осцилляторов в зависимости от температуры, пытаясь обосновать закон Вина, и нашёл подходящую математическую функцию для спектра чёрного тела. [2]

Однако вскоре Планк понял, что кроме его решения возможны и другие, приводящие к другим значениям энтропии осцилляторов. В результате он был вынужден использовать вместо феноменологического подхода отвергаемую им ранее статистическую физику, [2] что он описывал как «акт отчаяния … Я был готов пожертвовать любыми моими предыдущими убеждениями в физике.» [3] Одним из новых принятых Планком условий было:

интерпретировать U _N ( энергия колебаний N осцилляторов ) не как непрерывную неограниченно делимую величину, а как дискретную величину, состоящую из суммы ограниченных равных частей. Обозначим каждую такую часть в виде элемента энергии через ε; [2]

С этим новым условием Планк фактически вводил квантованность энергии осцилляторов, говоря, что это «чисто формальное предположение … на самом деле я не думал об этом глубоко…», [4] однако это привело к настоящей революции в физике. Применение нового подхода к закону смещения Вина показало, что «элемент энергии» должен быть пропорционален частоте осциллятора. Это было первой версией того, что сейчас называется «формула Планка»:

Планку удалось вычислить значение h из экспериментальных данных по излучению чёрного тела: его результат был 6,55 • 10 −34 Дж•с, с точностью 1,2 % от принятого сейчас значения. [2] Он также смог впервые определить постоянную Больцмана k _B из тех же данных и своей теории. [5]

До теории Планка предполагалось, что энергия тела может быть любой, являясь непрерывной функцией. Это эквивалентно тому, что элемент энергии ε (разность между дозволенными уровнями энергии) равен нулю, следовательно должна быть равна нулю и h . Исходя из этого следует понимать утверждения о том, что «постоянная Планка равна нулю в классической физике» или что «классическая физика является пределом квантовой механики при устремлении постоянной Планка к нулю». Вследствие малости постоянной Планка она почти не проявляется в обычном человеческом опыте и до работ Планка была незаметна.

Проблема чёрного тела была пересмотрена в 1905 г., когда Рэлей и Джинс с одной стороны, и Эйнштейн с другой стороны, независимо доказали, что классическая электродинамика не может обосновать наблюдаемый спектр излучения. Это привело к так называемой «ультрафиолетовой катастрофе», обозначенной таким образом Эренфестом в 1911 г. Усилия теоретиков (вместе с работой Эйнштейна по фотоэффекту) привели к признанию того, что постулат Планка о квантовании уровней энергии является не простым математическим формализмом, а важным элементом представлений о физической реальности. Первый Сольвеевский конгресс в 1911 г. был посвящён «теории радиации и квантов». [6] Макс Планк в 1918 г. получил Нобелевскую премию по физике «за признание заслуг в развитии физики и открытие кванта энергии».

Фотоэффект

Основная статья : Фотоэффект

Фотоэффект заключается в эмиссии электронов (называемых фотоэлектронами) с поверхности при освещении её светом. Впервые он наблюдался Беккерелем в 1839 г., хотя обычно упоминается Генрих Герц, [7] который опубликовал в 1887 г. обширное исследование на эту тему. Столетов в 1888–1890 гг. сделал несколько открытий в области фотоэффекта, в том числе вывел первый закон внешнего фотоэффекта. Другое важное исследование фотоэффекта опубликовал Ленард в 1902 г. [8] Хотя Эйнштейн не проводил сам экспериментов по фотоэффекту, но его работа 1905 г. [9] рассматривала эффект на основе световых квантов. Это принесло Эйнштейну нобелевскую премию в 1921 г. [7] , когда его предсказания были подтверждены экспериментальной работой Милликена. [10] В это время теория фотоэффекта Эйнштейна рассматривалась как более значительная, чем его теория относительности.

До работы Эйнштейна каждое электромагнитное излучение рассматривалось в виде набора волн, обладающих своей «частотой» и «длиной волны». Энергия, переносимая волной за единицу времени, называется интенсивностью. Аналогичные параметры имеют и другие виды волн, например звуковая волна или волна на воде. Однако перенос энергии, связанной с фотоэффектом, не согласуется с волновой картиной света.

Кинетическая энергия фотоэлектронов, появляющихся в фотоэффекте, может быть измерена. Оказывается, что она не зависит от интенсивности света, [8] но зависит линейно от частоты. [10] При этом увеличение интенсивности света приводит не к увеличению кинетической энергии фотоэлектронов, а к увеличению их количества. [8] Если же частота слишком мала и кинетическая энергия фотоэлектронов порядка нуля, то фотоэффект исчезает, несмотря на значительную интенсивность света. [10]

Согласно объяснению Эйнштейна, в данных наблюдениях проявляется квантовая природа света; энергия света переносится малыми «пакетами» или квантами, а не в виде непрерывной волны. Величина этих «пакетов» энергии, которые позже назвали фотонами, была той же самой, что и у «элементов энергии» Планка. Это привело к современному виду формулы Планка для энергии фотона:

Постулат Эйнштейна был доказан экспериментально: постоянная пропорциональности между частотой света ν и энергией фотона E оказалась равной постоянной Планка h . [10]

Структура атома

Основная статья : Постулаты Бора