Метод интервалов, решение неравенств
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение квадратного неравенства
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
 |
где x — переменная,
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
- графический метод;
- метод интервалов.
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
- D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
- D 2 + bx + c.
Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.
Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.
Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.
Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней. 
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.
Если неравенство со знаком 2 + 4x — 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).
Определим знак трехчлена x 2 + 4x — 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:
- 2 2 + 4 * 2 — 5 = 4 + 8 — 5 = 7.
7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.
Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:
- 0 2 + 4 * 0 — 5 = 0 + 0 — 5 = -5.
Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.
Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:
- (-6) 2 + 4 * (-6) — 5 = 36 — 24 — 5 = 7.
Следовательно, искомый знак — плюс.
Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
если a 2 — 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.
- Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
- Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
- Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.
Разложим квадратный трехчлен на множители.
Неравенство примет вид:
Проанализируем два сомножителя:
Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.
Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.
Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
- (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0
Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.
Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.
Если (х — 3) * (х — 2) > 0:
Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Какому интервалу принадлежат корни уравнения 7 * 4x — 9 * 14x + 2 * 49x = 0?
Алгебра | 10 — 11 классы
Какому интервалу принадлежат корни уравнения 7 * 4x — 9 * 14x + 2 * 49x = 0.
7 * 4х — 9 * 14х + 2 * 49х = 0
28х — 126х + 98х = 0
Помогите пожалуйста?
С выбором ответа.
Какие отрицательные числа принадлежат числовому интервалу?
Определите количество корней уравнения sin x = корень 3 / 2, принадлежащие интервалу ( — 2пи ; 2пи)?
Определите количество корней уравнения sin x = корень 3 / 2, принадлежащие интервалу ( — 2пи ; 2пи).
25 БАЛЛОВ?
Помогите пожалуйста с домашкой.
Все на фото Буду очень благодарен!
Какие положительные числа принадлежат данному интервалу?
Какие положительные числа принадлежат данному интервалу?
Какие положительные числа принадлежат данному интервалу?
Какие отрицательные числа принадлежат числовому интервалу?
Какие отрицательные числа принадлежат числовому интервалу?
Какие положительные числа принадлежат данному интервалу?
Какие положительные числа принадлежат данному интервалу?
Определите количество корней уравнения sin2x = sinx, принадлежащих к интервалу ( — 3 ; 3)Помогите пожалуйста, очень нужно?
Определите количество корней уравнения sin2x = sinx, принадлежащих к интервалу ( — 3 ; 3)
Помогите пожалуйста, очень нужно!
Решите уравнение tg2x = √3?
Решите уравнение tg2x = √3.
Найти количество корней, которые принадлежат промежутку < - pi ; pi>.
Напишите подробно, пожалуйста!
Сколько корней уравнения cos(3п / 2 + 2x) = корень из 3cosx принадлежат промежутку [п ; 5п / 2]?
Сколько корней уравнения cos(3п / 2 + 2x) = корень из 3cosx принадлежат промежутку [п ; 5п / 2]?
Решите уравнение без графиков и интервалов, просто корниx ^ 2 — x — 2≥0?
Решите уравнение без графиков и интервалов, просто корни
На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Какому интервалу принадлежат корни уравнения 7 * 4x — 9 * 14x + 2 * 49x = 0?, относящийся к категории Алгебра. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.
Решение тригонометрических уравнений на промежутке
Разделы: Математика
Цель урока:
а) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения;
б) научить выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка
Ход урока.
1. Актуализация знаний.
а)Проверка домашнего задания: классу дано опережающее домашнее задание – решить уравнение и найти способ выбора корней из данного промежутка.
1)cos x = -0,5, где хI [- 
]. Ответ: 
.
2) sin x = 
, где хI [0;2?]. Ответ: 
; .
3)cos 2x = —, где хI [0;
]. Ответ:
Ученики записывают решение на доске кто-то с помощью графика, кто-то методом подбора.
В это время класс работает устно.
Найдите значение выражения:
а) tg 
– sin 
+ cos 
+ sin . Ответ: 1.
б) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Ответ: ?
в) arcsin 
+ arcsin 
. Ответ: 
.
г) 5 arctg (-
) – arccos (-). Ответ:– 
.
– Проверим домашнее задание, откройте свои тетради с домашними работами.
Некоторые из вас нашли решение методом подбора, а некоторые с помощью графика.
2. Вывод о способах решения данных заданий и постановка проблемы, т. е. сообщение темы и цели урока.
– а) С помощью подбора решать сложно, если задан большой промежуток.
– б) Графический способ не даёт точных результатов, требует проверку, и занимает много времени.
– Поэтому должен быть ещё как минимум один способ, наиболее универсальный -попробуем его найти. Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Учиться выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.)
– Пример 1. (Ученик выходит к доске)
cos x = -0,5, где хI [- ].
Вопрос: Отчего зависит ответ на данное задание? (От общего решения уравнения. Запишем решение в общем виде). Решение записывается на доске
х =
+ 2?k, где k 
R.
– Запишем это решение в виде совокупности:
– Как вы считаете, при какой записи решения удобно выбирать корни на промежутке? (из второй записи). Но это ведь опять способ подбора. Что нам необходимо знать, чтобы получить верный ответ? (Надо знать значения k).
(Составим математическую модель для нахождения k).
1 уровень: № 295 (а,б), № 317 (а,б)
2 уровень: № 307 (в), № 308 (б), № 326(б), № 327(б).
http://algebra.my-dict.ru/q/7352383_kakomu-intervalu-prinadlezat-korni-uravnenia-7/
http://urok.1sept.ru/articles/419940