Каков смысл уравнений метода перемещений

Помощь в компьютерном наборе текста

Канонические уравнения метода перемещений

В каждой условно введенной связи основной системы возникают реактивные усилия как от действия внешней нагрузки, так и от смещения связей. В заделках возникают реактивные моменты, а в линейных связях — реактивные усилия.

Условия эквивалентности заданной и основной систем в методе перемещений записывают в виде системы канонических уравнений

Канонические уравнения метода перемещений (8.4) описывают реактивные усилия в условных связях и заделках основной системы как от перемещений этих связей и заделок, так и от заданной внешней нагрузки.

Физический смысл коэффициентов при неизвестных перемещениях Zi заключается в том, что rij представляет собой реактивное усилие в i-й условной заделке или связи в основной системе от перемещения j-й условной заделки или связи на единицу.

Физический смысл свободного члена RiF системы канонических уравнений метода перемещений заключается в том, что он представляет собой реактивное усилие в i-й условной связи или заделке от внешней нагрузки.

Равенство нулю каждого из уравнений означает, что в заданной системе нет ни заделок, ни связей, т.к. они являются условными.

Система канонических уравнений метода перемещений в матричной форме имеет следующий вид:

где — матрица реакций; — вектор реакций от внешней нагрузки; — вектор искомых перемещений.

В матрице реакций различают «главные» реакции , , …, , имеющие индексы i = j, и побочные реакции , , …, и т.д., у которых .

«Главные» реакции всегда положительны. Побочные реакции могут иметь любой знак и обладают свойством взаимности, т.е. .

Матрица жёсткости обладает рядом свойств:

определитель этой матрицы всегда положителен;

матрица всегда симметрична относительно главной диагонали;

произведение двух «главных» реакций всегда больше квадрата соответствующего побочного перемещения .

Для определения значений элементов матрицы реакций строят эпюры моментов от перемещений условных заделок и связей. На рис. 8.4 показаны такие эпюры, построенные для основной системы, изображённой на рис. 8.3. Значения ординат эпюр взяты из прил. 2.

В строительной механике имеются два метода определения значений элементов матрицы реакций: 1) кинематический, который основан на правиле П.Верещагина (аналогично определению перемещений) путём перемножения эпюр; 2) статический, использующий уравнения равновесия.

Наиболее рациональным методом определения реактивных усилий является статический метод. В соответствии с этим методом используют два уравнения статики — либо уравнение моментов , либо сумму проекций на ту или иную ось, например у, , сил, действующих на рассматриваемую часть основной системы метода перемещений.

Рассмотрим в качестве примера определение реактивных усилий по эпюрам, показанным на рис. 8.4.

Для определения, например, реактивного усилия , которым является изгибающий момент в условной заделке 1 от поворота этой заделки на единицу, мысленно вырежем на эпюре узел 1 (рис. 8.5, а). Реактивный момент направлен в сторону заданного перемещения Z1. Рассматривая равновесие этого узла, запишем Þ .

Реактивное усилие представляет изгибающий момент, возникающий в условной заделке 1 от поворота условной заделки 2 на единицу.

В соответствии с этим на эпюре мысленно вырежем узел 1 (см. рис. 8.5) и снова составим уравнение равновесия:

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно найти реактивное усилие (см. рис. 8.5, в) . В случае, если реактивным усилием является продольное усилие в условной связи (в данном случае это условная связь 3) уравнение равновесия представляет собой . Для того чтобы составить это уравнение на эпюре (эпюра ), построенной от линейного перемещения условной связи 3, мысленно делают сечение и рассматривают равновесие (рис. 8.5, г) оставшейся части рамы.

В рассматриваемом примере Þ .

Для оценки правильности вычисления коэффициентов строят суммарную единичную эпюру (см. рис. 8.4).

Произведение этой эпюры саму на себя должно давать сумму всех коэффициентов при неизвестных.

В случае невыполнения равенства (8.7) проводят построчную проверку.

Для определения свободных членов системы канонических уравнений (8.4) метода перемещений в основной системе строят так называемую грузовую эпюру , показанную на рис. 8.6.

При построении этой эпюры используют стандартные решения из прил. 3. Значения находят, используя те же методы, которые используются для определения коэффициентов . Так, для определения значения реактивного усилия мысленно вырезают узел 1, а усилия — узел 2. Из уравнений равновесия находят соответственно и . Реактивное усилие , которым в данной задаче является продольное усилие в условной связи 1, определяют, мысленно делая сечение на эпюре по стойкам близко к ригелю. Из суммы проекций на горизонтальную ось можно найти .

Проверка правильности определения значений осуществляется в соответствии с выражением

где — эпюра изгибающих моментов (рис. 8.7) от внешней нагрузки, построенная в любой статически определяемой системе, являющейся основной системой метода сил рассчитываемой заданной системы.

Решение системы канонических уравнений и построение эпюр внутренних усилий

Найденные значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов подставляют в систему (8.4) канонических уравнений метода перемещений и решают любым известным в линейной алгебре способом.

В результате решения системы канонических уравнений метода перемещений находят значения Zi искомых перемещений. Нахождение искомых значений перемещений Zi означает, что заданная к расчёту (заданная система) стержневая конструкция становится кинематически определимой.

Все внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержней от найденных перемещений Zi и от заданной внешней нагрузки, могут быть в соответствии с принципом суперпозиции определены из выражения

Необходимым контролем правильности построения эпюры М является условие равновесия изгибающих моментов в жёстких узлах рассчитываемой конструкции. В основной системе метода перемещений единичные и грузовая эпюры являются неуравновешенными. Но единичные эпюры , будучи каждая умноженная на соответствующее ей перемещение Zi и сложенные друг с другом и грузовой эпюрой , обязательно должны в итоге давать эпюру моментов М с уравновешенными в жёстких узлах моментами. Отмеченное условие правильности построения итоговой эпюры моментов М является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности построения эпюры М является проведение деформационной проверки, суть которой изложена в разделе 6 настоящего курса. При этом не имеет значения, с использованием какого метода – метода сил или метода перемещений – построена итоговая эпюра моментов М. Поэтому для проведения деформационной проверки из заданной рассчитываемой системы выбирают любую основную систему метода сил, в которой строят любую эпюру моментов от действия неизвестной силы . Соблюдение условия свидетельствует о правильности построения эпюры М.

Построение эпюр поперечных Q и продольных N сил осуществляют точно так же, как это делается (см. раздел 6 настоящего курса) при решении статически неопределимых задач методом сил.

Канонические уравнения метода перемещений.

Канонические уравнения метода перемещений вытекают из условий эквивалентности (8.3) при использовании принципа независимости всех силовых и кинематических нагрузок, приложенных к эквивалентной системе.

Составим первое каноническое уравнение метода перемещений для рамы с четырьмя неизвестными, используя условие .

Реактивное усилие возникает в дополнительно введенной связи 1 эквивалентной системы от действия четырех неизвестных , , , и заданных нагрузок. Тогда, по принципу независимости их действия получим:

(8.4)

В правой части равенства (8.4) реактивные усилия имеют два индекса. Первый из них обозначает порядковый номер введенной связи эквивалентной системы, в которой усилие, а второй индекс указывает вид нагрузки, от действия которой оно возникает, т.е.:

— есть реактивное усилие, возникающее в дополнительно введенной связи 1 эквивалентной системы (первый индекс 1) от действия (второй индекс 1).

— есть реактивное усилие, возникающее в дополнительно введенной связи 1 эквивалентной системы (первый индекс 1) от действия (второй индекс 2), и т.д.

— есть реактивное усилие, возникающее в дополнительно введенной связи 1 эквивалентной системы (первый индекс 1) от действия всех заданных нагрузок (второй индекс ).

Первые четыре слагаемые правой части равенства (8.4) определяются умножением неизвестных перемещений на единичные реактивные усилия, возникающие в тех же связях основной системы, загруженной единичными перемещениями, т.е.: , , , .

Подставим эти значения в равенство (8.4) и приравняем к нулю сумму всех слагаемых правой части, в результате получим первое каноническое уравнение метода перемещений:

Второе и последующие уравнения составляем аналогично первому уравнению, используя второе и последующие условия эквивалентности (8.3) и принцип независимости действий внешних нагрузок. Число таких уравнений равно степени кинематической неопределимости заданной рамы, т.е. числу неизвестных метода перемещений. Все они составляют систему канонических уравнений.

Например, для рам 1 и 2 с четырьмя неизвестными метода перемещений получаем систему четырех канонических уравнений (8.5):

(8.5)

Для рамы 3 с двумя неизвестными метода перемещений составляются два канонических уравнения:

(8.6)

Каждое каноническое уравнение метода перемещений является отрицанием наличия реактивного момента в дополнительно введенной плавающей заделке эквивалентной системы, или реактивной сосредоточенной силы в дополнительно введенной шарнирно стержневой связи той же системы.

Обратим внимание на то, что система канонических уравнений зависит лишь от степени кинематической неопределимости рамы и не зависит от характера неизвестных метода перемещений. Но физический смысл их определяется характером вводимых связей основной системы. Так, например, для рамы 1 все четыре канонических уравнения имеют одинаковый физический смысл – отрицание наличия реактивных моментов во всех четырех дополнительно введенных плавающих заделках эквивалентной системы. Для рамы 2 два канонических уравнения (первое и третье) имеют такой же физический смысл, что и для рамы 1, а два других уравнения (второе и четвертое) отрицают наличие горизонтальных реактивных сил в дополнительно введенных шарнирно стержневых связях.

Понимание физической сущности канонических уравнений позволяет правильно установить физический смысл каждого коэффициента и свободного члена системы уравнений и выбрать рациональный метод их определения. Методы определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений изложены в параграфе 8.7.

Решение системы канонических уравнений

Для систем один раз кинематически неопределимых (n=1) каноническое уравнение (2) одно и решение имеет вид

Для систем два раза кинематически неопределимых решение системы уравнений (3) и (4) имеет вид:

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок.

Окончательная эпюра М_ок в соответствии с принципом независимости действия сил получается путем сложения «исправленных» эпюр ∙Z_i с грузовой:

«Исправленные» эпюры ∙Z_i получаются путем увеличения всех ординат единичных эпюр в Z_i раз. Если Z_i

9. Построение эпюр Q N

После определения неизвестных Z_i основная система остается статически неопределимой, поэтому уравнениями статики и методом сечения невозможно воспользоваться для отыскания опорных реакций и построения эпюр. Единственным способом построения эпюры Q является ее восстановление из эпюры М_окпо дифференциальной зависимости Журавского [1] . Для участков, где эпюра М_ок представляет собой наклонную прямую, поперечная сила вычисляется по формуле

Q — положительна, если касательная в эпюре Мсовмещается с осью балки против часовой стрелки.

По эпюре М_окрис. 7.п определяется модуль и знак поперечной силы Q для балки 1-2 и нижнего участка балки 2-4.

В балке 2-3 М_ок— парабола (рис. 7,п). Из параболы выделяются квадратичная (рис. 4,б) и линейная (рис. 4,в) части. По этим эпюрам восстанавливаются эпюры Q (рис. 4, д, е), которые затем складываются, что соответствует формуле

где Q БАЛ – решение на рис. 7,д называется балочным.

Значения эпюры Nполучаются по эпюре Q из уравнений равновесия узлов. На рис. 7,у с эпюры Q стержней, образующих узел 2, снимаются значения поперечных сил и наносятся на вырезанный узел так, что положительные значения вращают узел по часовой стрелке (рис. 7,ф). Значения продольных сил находятся из уравнений статики и наносятся на эпюру N (рис. 7,х).

Если узлов несколько, то последовательность их вырезания такова, чтобы в уравнениях содержалось не более двух неизвестных.

Статическая проверка

Статическая проверка является достаточным условием правильности решения задачи. По эпюрам М, Q, N в опорных связях восстанавливаются значения реакций. Их направления определяются по правилу знаков: положительные значения продольных сил N откладываются от сечения, положительные значения поперечных сил Qвращают конструкцию по часовой стрелке, моменты в заделках растягивают в стержнях ту сторону, с которой построены эпюры. Уравнения равновесия должны выполняться.

1. Какая система называется кинематически определимой?

2. В чем состоит смысл метода перемещений?

3. Как определить степень кинематической неопределимости системы?

4. Как выбрать основную систему метода перемещений?

5. Как образовать «грузовое» и «единичные» состояния?

6. Каков физический смысл каждого канонического уравнения метода перемещений?

7. Каков физический смысл неизвестных и коэффициентов канонических уравнений метода перемещений?

8. Как определяются коэффициенты канонических уравнений в методе перемещений?

9. Как проверить правильность построения окончательной эпюры моментов в методе перемещений?

10. Как проверить правильность значений окончательной эпюры моментов, не прилегающих к узлам?

11. Каков алгоритм расчета по методу перемещений?

Литература

1. Дарков А.В. Шапошников Н.Н. Строительная механика: Учебник. 9-ое изд. испр. — СПб: Лань, 2004.-656с.

2. Шакирзянов Р.А. Краткий курс лекций по строительной механике. Казань: КГАСУ, 2010. – 115с.

к выполнению расчетно-графической работы

«Расчет рамы методом перемещений»

Составитель: Гусев Сергей Вячеславович

Редактор: Г.А. Рябенкова

Казанского государственного архитектурно-строительного университета

Подписано к печати 15.05.12 Формат 60х84/16

Тираж 100 экз. Печать ризографическая Усл.-печ.л 1,63

Заказ № 284 Бумага офсетная № 1 Уч..-изд.л. 1,63