Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?
Коэффициенты р и q квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 выбирают наудачу на отрезке [0; 2]. Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?
Решение. Обозначим событие: А – корни данного уравнения будут действительными числами. Найдем вероятность события А, применив формулу р(А) = mesD / mesΩ. Пусть коэффициенты р и q квадратного уравнения ‒ наудачу взятые числа. Их возможные значения: 0 2 – 4q > 0, откуда следует, что q ≤ р 2 / 4.
Построим границы области, которой принадлежат точки плоскости, удовлетворяющие условиям:
Граничные прямые р = 0, р = 2, q = 0, q = 2 являются сторонами квадрата, ограничивающего область возможных значений р и q. Граничная кривая q = р 2 /4 представляет собой параболу. Решениями составленной системы неравенств являются координа-ты всех точек плоскости, расположенных на рис. 1.14 заштрихованной области, то есть между граничными линиями р = 0, q = 2, q = р 2 /4 и на самих этих линиях. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятст-вующие событию А. Площадь заштрихованной области равна
Таким образом, вероятность события А равна р(А) = Sg / SG = 1 / 6.
Какова вероятность что корни уравнения разных знаков
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 53. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
Используя теорему Виета, можно, не решая уравнения x 2 + px + q = 0. определить, какими будут его корни: положительными или отрицательными. Но при этом, конечно, нужно быть уверенным в том, что рассматриваемое уравнение имеет корни. Если же корней нет, то говорить о знаках корней не имеет смысла. Поэтому на протяжении всего этого параграфа мы будем предполагать, что рассматриваемое приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет корни, то есть дискриминант его неотрицателен.
1) Пусть q > 0; тогда оба корня имеют одинаковые знаки, поскольку x1 • х2= q > 0.
Если к тому же р 0, значит, оба корня положительны.
Если р > 0, то x1 + х2 = — р 0, то x1 + х2 = — р 0. Это возможно только тогда, когда положительный корень больше абсолютной величины отрицательного корня.
При р = 0 x1 + х2 = 0, откуда x1= — х2 в этом случае корни равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
3) Осталось рассмотреть случай, когда q = 0. Тогда x1 • х2 = 0, поэтому хотя бы один из корней равен нулю.
Пусть для определенности x1 = 0, тогда другой корень найдется из условия x1 + х2 = — р, откуда х2 = — р. Значит, в этом случае один корень равен нулю, а другой представляет собой число, противоположное коэффициенту р.
Если же и р = 0, то уравнение имеет , два равных корня: x1= х2 = 0.
Полученные результаты исследования знаков корней представлены в таблице .
Еще раз отметим, что приведенные здесь рассуждения верны лишь в предположении, что исследуемое уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант неотрицателен.
Рассмотрим несколько примеров на исследование знаков корней квадратных уравнений.
1) x 2 — 8х — 9 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 64 + 36 = 100 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Вследствие того, что x1 • х2 = — 9, корни должны иметь разные знаки,
а так как x1 + х2 = 8, то абсолютная величина отрицательного корня меньше положительного корня.
2) x 2 + 7х + 10 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 49 — 40 = 9 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Так как x1 • х2 = 10 > 0, то корни имеют одинаковые знаки.
Кроме того, x1 + х2 = —7, значит, оба корня отрицательны.
3) x 2 — х + 1 = 0. Для данного уравнения
D = (—1) 2 — 4 = — 3 2 + bx + c = 0 . Для этого сначала нужно посредством деления на а привести данное уравнение к приведенному квадратному уравнению x 2 + b /a х + c /a = 0, а затем для этого уравнения провести описанные выше рассуждения.
Пусть, например, нужно исследовать знаки корней уравнения —3x 2 + 5х — 2 == 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 25 — 24 = 1 > 0. Поэтому оно имеет два различных действительных корня.
Разделив обе части уравнения на — 3, получим: x 2 — 5 /3х + 2 /3 = 0. Отсюда видно, что корни данного уравнения имеют одинаковые знаки, так как x1 • х2 = 2 /3 > 0. Кроме того, x1 + х2 = 5 /3 > 0. Следовательно, оба корня положительны.
Не решая данных уравнений (№ 391—400), определить знаки их корней:
Проверить себя, да и вообще исследовать квадратные уравнения полные и приведенные можно, с помощью соответствующих алгоритмов в программе EXCEL. Алгоритм можно усовершенствовать для отображения промежуточных результатов вычислений.
401. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
402. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
Случайное квадратное уравнение
Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2bx + c = 0 вещественны?
Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b, c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B (рис. 1). Решим задачу при фиксированном B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.