Какой математический символ обязательно содержится в иррациональном уравнении

Тест проверка среднего образования: выборочные вопросы из школьной программы

Вы давно закончили школу и с тех пор не знаете, на каком уровне ваши знания? Давайте проверим. Но вы должны быть готовы к тому, что результат может не обрадовать. Если вы не наберёте 9 из 10, то можно считать, что 11 лет за партой прошли даром. Если вы готовы к самым разнообразным интеллектуальным задачкам, начиная от вопросов про одноклеточные организмы и заканчивая хронологией Западной Римской империи, мы начинаем!

Единственная птица, у которой есть ушные раковины:

Сова может повернуть голову на 270 градусов, то есть сделать три четверти полного оборота!

Кто написал роман «Отцы и дети»?

Замысел романа «Отцы и дети» появился у Тургенева в 1860 году во время пребывания в Великобритании на острове Уайт.

Что из перечисленного не относится к одноклеточным организмам?

Насчитывается около 40 тысяч видов одноклеточных животных.

Во что Онегин играл сам с собой в доме своего дяди?

На написание романа «Евгений Онегин» у Пушкина ушло более семи лет.

Какой математический символ обычно содержится в иррациональном уравнении?

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

Сколько хромосом у человека?

При наличии лишней хромосомы или при отсутствии хотя бы одной из 46 у человека наблюдаются мутации и серьезные отклонения в развитии.

Когда закончилась Вторая мировая война?

2 сентября 1945

В настоящее время Вторая мировая война является единственным конфликтом, в котором было применено ядерное оружие.

1 сентября 1946

Какая страна не входила в состав Югославии?

Словакия до 1993 года входила в состав другого государства -Чехословакии.

В каком году пала Западная Римская империя?

Ромул Август остался в веках как последний император Западной Римской империи, которого сверг вождь германского варварского племени Одоакр в 476 году.

Вопрос 10 из 10

Что измеряет альтиметр?

Альтиметр — прибор для измерения уровня высоты. Применяется, в основном, пилотами, альпинистами, геологами и учеными.

Приглашаем вас в очередное визуальное путешествие по прекраснейшим местам мира — вы знаете эти достопримечательности? После прохождения теста у вас не возникнет вопроса «Куда поехать отдыхать» (только, возможно, «когда». ) — вы будете точно знать где находятся одни из самых красивых и уникальных мест планеты.

Чтобы мы ни думали, а учёные, как ни крути, будут всегда правы — ведь у них есть исследования, статистика, наблюдения. Проверьте, насколько отличается то, что вы думаете о мире вокруг от аналогичных результатов исследований!

Покорите вершину знаний, ответив правильно на большую часть вопросов теста! Расширьте свой кругозор, проверьте память и дополните интеллектуальную копилку. Если не знаете ответ — то просто попытайтесь угадать, возможно, именно ваша интуиция помогает вам выбирать верный вариант?

Начиная проходить тест, обязательно включите логику на полную мощность, соберите весь свой богатый лексический запас и захватите эрудицию — всё это вам понадобится для успешного прохождения теста! Конечно, смекалка и внимательность также пригодятся не в последнюю очередь!

В этом тесте вы встретите загадки, задачи и визуальные задания разной сложности! Напрягите свой ум и потренируйте интеллект, получите свой результат теста и определите, какие способности вам следует развивать в первую очередь — внимательность, логику, а может, терпение? Ведь оно также играет не последнюю роль в способности сконцентрироваться и подумать!

Человек, имеющий широкие знания во многих областях человеческой жизни: науках, технологиях, политике и др., может смело называть себя эрудитом. С таким человеком интересно общаться, его занимательно слушать, учиться у него чему-то новому. С такими людьми никогда не бывает скучно и, благодаря своей эрудиции, они могут находить верные решения в трудных жизненных ситуациях. Относишься ли ты к их числу? Давай проверим!

Эрудиту не составит труда ответить на наши вопросы, а человеку, который мало читает, не занимается самообразованием придется «попотеть». Ведь мы подобрали факты обо всем на свете, которые затрагивают твои общие знания. Твоя задача проста: определить правдивый ли этот факт, или же – вымысел. Удачи!

Организм человека – целая вселенная со своими невероятными способностями и тайнами. Насколько хорошо ты знаешь свое тело, его скрытые функции и удивительные возможности? Проверь свои знания, ответив на наши вопросы.

Сокровище каждого эрудита — это его знания, поэтому не забывайте регулярно дополнять их и вспоминать то, что вы уже знаете! Встряхните память и устройте испытание интуиции, дополните свою интеллектуальную сокровищницу! Ответите на большую часть вопросов правильно?

Проверьте свои знания по темам история, культура, театр, искусство, география — «узнайте» знаменитую сказку и театральную постановку, вспомните или угадайте имя брата Господня, обогатите свои знания и испытайте интуицию!

Знать много и обо всем — не так уж и сложно, если Вы все время работаете над собой. В таких случаях достаточно постоянно проходить тесты на эрудицию. Поэтому пройдите наш тест, чтобы пополнить Ваш “багаж знаний”.

Чтобы развить аналитическое мышление, концентрацию внимания, логическое мышление и образное мышление, достаточно проходить тесты на IQ. Ведь в них Вы встретите вопросы, которые будут “ломать голову”, но при этом заставят Ваш ум работать.

Развивайте мыслительные процессы, тренируйте ум и интеллектуальные способности! Проверьте скорость своей логики и смекалки — в тесте вас ждут как задачи на мышление, так и загадки, для которых нужно иметь не только наполненный багаж эрудита, но и хорошее воображение!

В этом тесте мы подготовили для вас сложные и не очень вопросы для развития эрудиции и пополнения интеллектуального багажа. Темы, которые вас встретят в данном тесте — искусство, литературы, факты, история! Вы добудете новые знания и проверите имеющиеся из самых разных областей!

«Подкормите» свой ум новыми задачами на логику и внимательность! Внимание! Для прохождения данного теста вам обязательно понадобится и ваша эрудиция, поэтому не забудьте её! Не спешите отвечать — думайте, и помните, что главная задача теста — не пройти его быстро, а пройти его качественно, с пользой для вашего интеллекта!

Отвлеките свой ум от сложных задач и переключите его на более лёгкие вопросы. Этот тест мы посвятили одному из русских символов — матрёшке. А вы знаете, «кто» был прародителем матрёшки? Вопросы и загадки из теста можно встретить только на Руси!

Насколько хорошо вы разбираетесь в географии, а именно — как хорошо вы знаете названия столиц государств мира? Предлагаем вам пройти этот тест и проверить себя.

Расширьте свой кругозор и «поднимите планку» эрудиции, совершив виртуальное путешествие по городам и странам. Предупреждаем! Вас ждут неожиданные вопросы — некоторые могут поставить в тупик даже заядлых путешественников! Проверьте свои знания и приобретите новые, ведь из вояжа всегда возвращаются с наполненным интеллектуальным багажом!

Вас не путают длинные условия задачи? Вы можете найти правильный ответ к загадке по нескольким фразам? Как быстро «думает» ваш мозг? Подкиньте «пищи» вашему мышлению — пусть мозг будет занят работой, всегда оставаясь в тонусе!

Утихомирьте вихрь знаний, ответив правильно на большую часть вопросов! Если же вы не знаете правильных ответов, то вихрь промчится дальше — искать других умников, не задев вас. Остановите круговорот полностью, правильно ответив на все вопросы!

Математика

Тестирование онлайн

Определение

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

При решении иррациональных уравнений после получения корней лучше всегда делать проверку!

Решение иррациональных уравнений

При решении иррационального уравнения вида можно использовать следующее правило

Замена переменной при решении иррационального уравнения.

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3