Какой математический символ содержится в иррациональном уравнении

Тест проверка среднего образования: выборочные вопросы из школьной программы

Вы давно закончили школу и с тех пор не знаете, на каком уровне ваши знания? Давайте проверим. Но вы должны быть готовы к тому, что результат может не обрадовать. Если вы не наберёте 9 из 10, то можно считать, что 11 лет за партой прошли даром. Если вы готовы к самым разнообразным интеллектуальным задачкам, начиная от вопросов про одноклеточные организмы и заканчивая хронологией Западной Римской империи, мы начинаем!

Единственная птица, у которой есть ушные раковины:

Сова может повернуть голову на 270 градусов, то есть сделать три четверти полного оборота!

Кто написал роман «Отцы и дети»?

Замысел романа «Отцы и дети» появился у Тургенева в 1860 году во время пребывания в Великобритании на острове Уайт.

Что из перечисленного не относится к одноклеточным организмам?

Насчитывается около 40 тысяч видов одноклеточных животных.

Во что Онегин играл сам с собой в доме своего дяди?

На написание романа «Евгений Онегин» у Пушкина ушло более семи лет.

Какой математический символ обычно содержится в иррациональном уравнении?

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

Сколько хромосом у человека?

При наличии лишней хромосомы или при отсутствии хотя бы одной из 46 у человека наблюдаются мутации и серьезные отклонения в развитии.

Когда закончилась Вторая мировая война?

2 сентября 1945

В настоящее время Вторая мировая война является единственным конфликтом, в котором было применено ядерное оружие.

1 сентября 1946

Какая страна не входила в состав Югославии?

Словакия до 1993 года входила в состав другого государства -Чехословакии.

В каком году пала Западная Римская империя?

Ромул Август остался в веках как последний император Западной Римской империи, которого сверг вождь германского варварского племени Одоакр в 476 году.

Вопрос 10 из 10

Что измеряет альтиметр?

Альтиметр — прибор для измерения уровня высоты. Применяется, в основном, пилотами, альпинистами, геологами и учеными.

После распада СССР в стране началась масштабная приватизация государственного имущества. Как полагается русскому народу, всё это происходило с множеством нарушений. В итоге самые огромные предприятия были проданы с молотка за копейки, а мы получили кучку олигархов. Давай пройдемся по самым интересным сделкам 90-х и проверим, что ты о них знаешь.

Наверное, не нужно даже намекать о какой пословице будет один из вопросов теста, а ещё у вас есть шанс проверить свои знания как на общие, так и на самые хитроумные и редкие вопросы! Не можете извлечь знания из хранилища памяти? Используйте интуицию — её также нужно тренировать!

Как работает ваш логический аппарат? Надеемся, что он не барахлит и всегда исправен! Проверьте и потренируйте способность своего мышления — выясните для себя: насколько точно и последовательно движется ваша мысль! Логику можно и нужно тренировать!

Думаете, что знаете о компьютерах все? Мы собрали лучшие вопросы из итогового теста по информатике за 11 класс. Пройди его и проверь свои знания в этой области!

В нашем сегодняшнем тесте собраны вопросы на логику и внимание. Вам нужно будет проявить смекалку, чтобы ответить на все наши вопросы верно. Проверьте свои силы и заодно расшевелите Ваш ум.

“Век живи — век учись” и вправду. Учиться нужно постоянно, ведь чем больше мы знаем, тем больше мы понимаем, что ничего не знаем. Поэтому нужно постоянно и непрерывно учиться. Чтобы получить много полезной и интересной информации, пройдите наш тест на эрудицию.

В тесте вы встретите здания на внимательность, логику, эрудицию — потренируйте скорость своего мышления и проверьте, насколько всесторонне развит ваш интеллект! Устройте себе испытание и усильте мозговую активность!

Хотите быстро проверить свой уровень интеллекта? Тогда Вам стоит пройти наш тест. Ответив на все вопросы, Вы сможете узнать, насколько развито у Вас логическое и критическое мышление, а также определить Ваш примерный уровень интеллекта.

Готовы бросить вызов самому себе? Тогда мы предлагаем вам пройти тест на общие знания! Вам придется полагаться только на свой ум!

Проверьте, какую сферу вы знаете лучше всего — музыку, скульптуру или живопись? В тесте все вопросы из данных категорий будут чередоваться, чтобы ваш интеллект мог переключаться с одной темы на другую, заставляя работать память и смекалку!

Освежите свою память — вспомните даты и суть эпохальных событий ушедших веков — событий также ушедших, но не забытых. Также вопросы из теста подтолкнут вас вспомнить исторические детали, а если ваша память не хочет или не может предоставить нужную информацию, то выбирайте ответ наугад и запоминайте правильный, чтобы обогатить свои знания!

На сегодняшний день эрудированным считается тот, кто всесторонне образован и имеет широкие познания во многих областях. А самый популярный способ проверить твою эрудицию – это тестирование. Мы подготовили вопросы из различных сфер. Если ответишь на все, то ты — самый умный и сообразительный. Поехали!

Наверняка каждому хотелось побывать на месте знатоков и блеснуть своими знаниями. С помощью этого теста предлагаем проверить свои силы и узнать, на что стоит рассчитывать в реальных условиях программы.

Многие шедевры живописи известны нам не под теми названиями, которые давали своим работам художники. Пройдя этот тест, ты сможешь блистать своими знаниями даже перед самыми умными людьми. Удачи!

Устройте смекалке и сообразительности испытание — в помощь вам задачи, загадки, вопросы с подвохом. Ответьте верно как минимум на 7 вопросов из 10, чтобы успешной пройти тест! Удачи!

В тесте вас ждут неожиданные вопросы для смекалки, знаний и догадки. Обогатите свой лексический запас, развивайте интуицию, извлеките нужные знания из памяти! Ответьте правильно на большую часть вопросов, чтобы успешно пройти тест, а если вы наберёте 10 баллов из 10, то вашей эрудицией и силой догадки можно только восхищаться!

Подготовьте свою память — придётся извлечь из неё некоторые знания, включите мышление на полную мощность — вас ждут задачи и задания разной сложности для полноценного развития мышления. Развивайте мозг всесторонне — вопросы из теста не дадут ему заскучать!

Расширяйте свой кругозор и обогащайте лексический запас — ответьте правильно на вопросы и «заберите» новую информацию в свою копилку «знайки». Испытайте силу памяти, знаний и догадки!

Вспомните интересные мелочи и основные детали, потренируйте память и подтолкните к работе догадку — наша подборка вопросов не оставит ваше мышление равнодушным! Мозг обязательно «включится», а память заработает! Приступайте и пройдите тест успешно, ответив на большую часть вопросов.

В тесте вас ждут вопросы для эффективной работы ума и испытания эрудиции. Для расшифровки анаграмм и подбора искомого слова вам непременно понадобится широкий кругозор и богатый лексический запас, ну и, конечно, у вас есть шанс проверить своё логическое мышление и смекалку!

Математика

Тестирование онлайн

Определение

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

При решении иррациональных уравнений после получения корней лучше всегда делать проверку!

Решение иррациональных уравнений

При решении иррационального уравнения вида можно использовать следующее правило

Замена переменной при решении иррационального уравнения.

Что такое иррациональные уравнения? Определения, примеры.

Прежде чем говорить про решение иррациональных уравнений, следует хорошо разобраться с вопросом, что такое иррациональные уравнения. Сейчас мы этим и займемся: познакомимся с определением иррационального уравнения и рассмотрим примеры уравнений этого вида.

Следует заметить, что определения немного отличаются от одной математической книги к другой. Поэтому давайте найдем и выпишем определения из учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации, а также из других источников, чтобы проанализировать их, и выбрать для себя лучшее.

Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с. 174] утверждается, что

Иррациональным уравнением называют уравнение, если в нем переменная содержится под знаком квадратного корня.

Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x , значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.

В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]

иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.

Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более обширную группу уравнений.

Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.

Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. — здесь под знаком кубического корня расположена переменная x , поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: — здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .

Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.

Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот — из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.

Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.

В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Здесь, помимо уравнений с переменной под знаком корня, иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x 2 +2·x≥0 ) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений. Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.

Избежать подобных спорных моментов можно и через более строгое определение. Пример такого определения можно найти в справочнике советских времен [7, с. 64]:

Иррациональным называется уравнение, в котором некоторое рациональное или алгебраическое выражение от неизвестного находится под знаком радикала.

Согласно этому определению в иррациональном уравнении под знаком радикала может находиться только выражение, в котором над переменной не совершается иных действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень (натуральную) и извлечения корня. Это определение исключает нахождения переменной в иррациональном уравнении под знаками логарифмов, тригонометрических функций, в показателе степени и др.

Какое из приведенных выше определений предпочесть? Наверное, стоит называть иррациональными только такие уравнения, которые не противоречат ни одному из записанных определений, а остальные называть просто уравнениями без уточнения, что это за уравнение.

Пара слов о количестве переменных в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x , то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .

Но при этом обязательно нужно заметить, что в школе обычно рассматривается решение иррациональных уравнений только с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются не для решения, а в составе систем уравнений или при алгебраическом описании геометрических объектов. Например, можно встретить задание «решите систему уравнений », или увидеть описание полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, при помощи уравнения .

В школе также рассматриваются иррациональные уравнения с параметром. Приведем пример: , здесь x – переменная, a — параметр. Как понять, что это уравнение с параметром, а не уравнение с двумя переменными? Как правило, это указывается в задании.

В заключение скажем, что встречается термин «простейшие иррациональные уравнения». Так что рекомендуем ознакомиться, что понимают под простейшими иррациональными уравнениями.