Какой вид имеет кривая роста описанная данным уравнением

Кривые роста: понятие, классификация, наиболее часто используемые кривые роста

Закономерное изменение уровней временного ряда (без сезонных колебаний) можно описать с помощью гладкой функции (кривой роста):

где f(t) — кривая роста (линия тренда);  — случайная (остаточная) составляющая.

В используемых математических функциях задействован лишь один аргумент — время t, которое условно заменяет всю совокупность причинных факторов, влияющих на изменение показателя Y.

Кривая роста описывают процессы двух основных типов:

без предела роста;

с пределом роста.

Для описания процессов первого типа наиболее часто используются линейная , показательная и полиноминальную функции (модели).

Коэффициент а₁ линейной модели показывает, на сколько в среднем возрастает показатель Y (если , то уменьшается) за один временной промежуток.

Параметр а₁ показательной модели показывает, во сколько раз в среднем возрастает Y (если , то уменьшается) за один временной промежуток.

Если тенденция во временном ряду изменяет свое направление, то выбирают полиноминальную модель. Для описания процессов с пределом роста используются специальные функции.

3.2.Кривые роста и их свойства

Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени, получают путем аналитического выравнивания временных рядов. Они представляют од- нофакторные модели прогнозирования; фактором выступа- ет время.

Кривые роста часто используются в исследовании динамики реальных процессов различной природы. Они применяются при анализе миграционных процессов в человеческом и биологических сообществах

Аналитическое выравнивание состоит из следующих этапов:

выбор типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения временного ряда;

определение численных значений (оценивание) параметров кривой.

Найденная функция позволяет получить выравненные уровни ряда. Выбор типа кривой предполагает знакомство с основными видами кривых и изучение их основных свойств. Основной интерес представляют преобразования приростов, которые можно представить в виде линейной функции. Эти характеристики используются при выборе вида кривой роста.

Основные типы кривых роста подробно описаны и иллюстрированы графически в монографии Е.М. Четырки- на (9):

Общий вид многочлена:

yt= а0 + ajt + a2t2 + . + aktk, (3-1)

где Оо, ct/, a2, . — параметры многочленов, t — независимая переменная, к — показатель степени многочлена. Параметры полиномов невысоких степеней могут быть интерпре- тированы в зависимости от содержания ряда динамики. Их можно характеризовать как : параметр ао — уровень ряда при t= 0, параметр а> — скорость роста, параметр а2 — уско-рение роста, параметр аз — изменение ускорения.

Действительно, полином первой степени на графике представляет прямую, т.е. предполагается постоянство приростов ординат.

цт=yt — уы=Эо+ajt — Эо -ajt +al = al ^const.

Линейная зависимость может иметь место в процессах экстенсивного развития, однако это не может происходить в течение длительного периода. Со временем скорость изменяется и либо происходит ускорение, либо спад.

Полином второй степени характеризует динамику с равномерными приростами, положительными для одной ветви параболы и отрицательными для другой. Легко показать, что приросты (первые конечные разности ординат параболы) могут быть охарактеризованы уравнением прямой:

ut(1)=yt — yt_j= a0+ajt +a2t2 — a0 — a^ + a1-a2(t-l)2=(a1-a2)+2a2t.

Соответственно приросты второго порядка (вторые разности) постоянны:

Парабола второй степени применима для описания процессов, характеризующихся равноускоренным ростом или равноускоренным снижением. Если параметр а2>0, то ветви направлены вверх, функция имеет минимум. Если а2 1, то функция явля-

ется возрастающей с ростом t и убывающей при Ъ —оо, если Ъ> 1, и

Кривая роста

Что такое Кривая роста?

Кривая роста – это графическое представление того, как определенное количество увеличивается с течением времени. Кривые роста используются в статистике для определения типа модели роста величины – линейной, экспоненциальной или кубической. После определения типа роста компания может создать математическую модель для прогнозирования будущих продаж. Примером кривой роста является изменение численности населения страны во времени.

Ключевые моменты

• Кривая роста – это способ визуально представить развитие некоторых явлений с течением времени, либо в прошлом, либо в будущем, либо в обоих случаях.
• Кривые роста обычно отображаются на наборе осей, где ось x – время, а ось y – количественное выражение рассматриваемого явления.
• Кривые роста легко используются в различных приложениях, от популяционной биологии и экологии до финансов и экономики.

Понимание кривых роста

Форма кривой роста может иметь большое значение, когда предприятия решают, запускать ли новый продукт или выходить на новый рынок. Рынки с медленным ростом вряд ли будут привлекательными, потому что там меньше возможностей для получения прибыли, в то время как экспоненциальный рост может означать, что рынок может увидеть, как на рынок выходит много конкурентов.

Кривые роста начались в физических науках, таких как биология; сегодня они также являются общим компонентом социальных наук. Развитие цифровых технологий и бизнес-моделей теперь требует от аналитиков учета моделей роста, уникальных для современной экономики. Например, феномен “ победитель получает все ” – довольно недавняя разработка таких компаний, как Amazon, Google и Apple. Исследователи изо всех сил пытаются понять кривые роста, уникальные для их бизнес-моделей и платформ.

Будущие изменения в демографии (старении), характере работы и искусственном интеллекте еще больше усложнят традиционные методы анализа кривых или тенденций роста.

Кривую роста экспрессии можно считать более зарезервированной для научных подходов к тому, что неспециалист может описать как тенденции роста. Помимо определения, кривые роста играют важную роль в определении будущего успеха продуктов, рынков и общества как на микро-, так и на макроуровне.

Пример: экспоненциальный рост населения

На изображении ниже отображаемая кривая роста представляет рост некоторого населения (в миллионах) за десятилетия. Эта форма кривой роста считается экспоненциальным ростом, при котором кривая роста начинается медленно, некоторое время остается почти плоской, а затем быстро увеличивается и становится почти вертикальной. Это следует общей формуле: V = S * (1 + R) t

Текущее значение V начальной начальной точки, подверженной экспоненциальному росту, может быть определено путем умножения начального значения S на сумму единицы плюс процентная ставка R, возведенная в степень t, или число истекших периодов.

В финансах экспоненциальный рост чаще всего проявляется в контексте сложных процентов. Сила начисления процентов – одна из самых мощных сил в финансах. Эта концепция позволяет инвесторам создавать большие суммы с небольшим начальным капиталом. Распространенными примерами являются сберегательные счета с начислением сложных процентов.