Какой вид имеет уравнение неразрывности для газового потока

Основные уравнения газового потока

Основные уравнения газового потока

• Если движение газа по каналу стабильно, то одинаковое количество газа в единицу времени протекает по каждому участку канала. В этом случае (рис. 10.1), при определенном расходе газа в каждом участке канала расход газа равен(10.1). Где O-2-й массовый расход газа. Рх, РГ-площадь поперечного сечения канала. w и r-это скорости потока соответствующих поперечных сечений. Определенный объем одного и того же поперечного сечения; формула (10.1) называется уравнением неразрывности или непрерывности, поскольку постоянство массового расхода всех участков канала в каждый момент времени устанавливает условия неразрывности струи.

В рассматриваемом процессе первый закон термодинамики. Форма газа урав-кг газа через канал является = Фунт / + 4-С—(- (3% Си、 (10.2), где же буква «Л». Основное количество тепла, подаваемого или отводимого к газу в целевом участке движения. L / — изменение внутренней энергии газа в соответствующем сечении. го /. ’- Работа газа против внешних сил; С-приращение кинетической энергии газа при движении газа в выбранной области. С ^ а ^ — элемент Сила против работы тары 10.1 Этот компонент в олове; газ можно проигнорировать. Работа газа по противодействию внешним силам движущегося газа — это работа, которая тратится на прессование. Рассмотрим поток газа в канале рис.

За пределами пограничного слоя градиент скорости, нормальный к направлению потока, обычно настолько мал, что вязкостью можно пренебречь. Людмила Фирмаль

В 1-мерном измерении stream. In в разделах/-/и 11-11 различают газы определенной массы. Поток, поступающий в секцию 1-1, действует как поршень, отталкивая газ, заполняющий канал. сила pP действует на массу газа, выделенную в левом канале, а сила (p + Lp) (P4-LR) действует справа. Учитывая признаки работы, признанные в термодинамике, работа движения является Л ’=(П 4-С / П)(П 4-ЛХ) (Н + Ла») — ППУ>-(10 3） Если вы уменьшите небольшое количество 2 или более и отбросите его, это будет выглядеть так: Л ’ — rRLchi 4-Рих / Р 4-shRLr, (10.4） L ’= pL (Pu>) 4-PsLr.

Где N-уравнение неразрывности ТЧ = ТС. Расход потока постоянн и в непрерывной среде Если мы связываем работу против внешних сил с 1 кг газа、 L ’=(1 (ri) = Рио + ойр. (U. Seven） Количество cir, масса экстрагируемого вещества Это за гранью несжимаемости. 2-й член pc1i представляет собой основную работу, выполняемую движущимся телом продукта газа в результате деформации под действием равномерно распределенного давления. При замене работы на внешние силы в уравнениях первого закона термодинамики записывается около 1 кг газа 1е = c1u + c1G + =(1и + С1 (ПУ) 4- = я(п + Пи)+.(10.8） Потому что, как известно,+ ri = I — Си+ .

• Эта формула показывает, что тепло, подводимое к движущемуся газу, расходуется в двух направлениях: увеличение энтальпии газа и увеличение внешней кинетической энергии. То есть скорость потока газа увеличивается. Формула (10.9) является основой течения газа или пара, она эффективна как для обратимых течений без действия сил трения, так и для необратимых течений с трением.

Для потока, в котором присутствует сила трения, необходимо добавить 2 члена к формуле (10.9).1 учитывает работу, затраченную на преодоление силы трения — / тр, еще 1 представляет собой приращение теплоты газового потока за счет трения-поскольку работа над силой трения проходит полностью, в тепле эти 2 элемента имеют одинаковый размер, а так как знаки различны, то они исчезают друг от друга. Поэтому наличие сил трения не может нарушить общий энергетический баланс.

Это явление, весьма важное для гидродинамики и теории теплообмена, было впервые установлено Людвигам Прандтлем в 1904 г. Людмила Фирмаль

В изолированных потоках газа, если тепло не передается при движении газа ПО КАНАЛУ (1 / = 0）、 Из уравнения (10.10) следует, что в изолированном стационарном потоке газа через канал сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии остается постоянной. Выражение (10.9), как и в (10.10), справедливо как для обратимых, так и для необратимых flows. It следует отметить, что эти формулы эффективны только в том случае, если газ на ходу выполняет работу расширения и не производит полезной (технической) работы (например, вращение рабочего класса турбины).

Приводимый в движение потоком газа. Первый закон термодинамики (10.8). Вам нужно записать В форме че = ух + ^(Р’) + ^ МС,+ — ^ г — = а + г(ТЭН+ -^ -, (10.11） Здесь/ т» — техническая работа*. Если техническая работа осуществляется потоком, то работа деформации при расширении отдается внешнему потребителю, но в канале она воспринимается соседними элементами, изменяя его кинетическую энергию. Из сравнения формулы (10.11) и формулы первого закона термодинамики (4.9) получается интегральная форма, записанная о выделенных элементах деформированного, но не смещенного потока. ’тек = С П’ ^ + P1V!-.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Основные уравнения газового потока

Если движение газа через канал установившееся, то через каждое сечение канала в единицу времени протекает одно и то же количество газа.

Для этого случая (рис. 12.1) при определенной скорости газа в каждом сечении канала расход газа будет равен

(12.1)

где G — секундный массовый расход газа;

w₁,w₂,w₃— расходные скорости в соответствующих поперечных сечениях;

v₁, v₂, v₃ — удельные объемы в отдельных поперечных сечениях.

Постоянство массового расхода для всех сечений канала в каждый момент времени устанавливает условие неразрывности струи, поэтому уравнение (12.1) называют уравнением неразрывности или сплошности.

Для рассматриваемого процесса течения газа через канал уравнение первого закона термодинамики для G кг газа имеет вид

(12.2)

где — элементарное количество тепла, подводимое или отводимое от газа на рассматриваемом участке движения;

— изменение внутренней энергии газа в соответствующих сечениях;

— элементарная работа газа против внешних сил;

— приращение кинетической энергии газа при eго перемещении на выделенном участке.

Рис. 12. 1

Работа газа против внешних сил в движущемся газе является работой, затраченной на его проталкивание.

Рассмотрим поток газа в канале
(рис. 12.1) при одномерном течении. Выделим сечениями I—I и II—II некоторую массу газа. Притекающий к сечению I—I поток выполняет функцию поршня, который вытесняет заполняющий канал газ. На выделенную массу газа в канале будет действовать слева сила pF, а справа — сила (р+dp) (F + dF).

Работа перемещения, учитывая принятые в термодинамике знаки работ, будет равна

(12-3)

После сокращения и отбрасывания малых величин второго и высшего порядка получим

(12.4)

(12.5)

Так как по уравнению неразрывности Fw = Gv и, учитывая то, что расход G есть величина постоянная, в сплошной среде

(12.6)

(12.7)

Относя работу против внешних сил к 1 кг газа, получим

(12.8)

Величина определяет работу, произведенную элементарным объемом газа при условии, что выделенная масса газа несжимаема.

Второе слагаемое представляет собой работу, которую перемещающийся объем газа должен совершить в результате деформации под действием равномерно распределенного давления.

Подставляя работу против внешних сил в уравнение первого закона термодинамики, записанное для 1 кг газа, будем иметь

(12.9)

Как известно из уравнения (3.10),

(12.10)

(12.11)

Это уравнение показывает, что теплота, сообщаемая движущемуся газу, расходуется в двух направлениях: на приращение энтальпии газа и на приращение внешней кинетической энергии, т. е. идет на увеличение скорости газового потока.

Уравнение (12.11) является основным для потока газа или пара, причем оно справедливо как для обратимых, не сопровождающихся действием сил трения, так и для необратимых течений, сопровождающихся трением.

Для течений при наличии сил трения уравнение (12.11) должно быть дополнено 2-мя членами: один, учитывающий работу, расходуемую на преодоление сил трения, другой, выражающий приращение тепла в газовом потоке. Так как работа против сил трения полностью переходит в тепло, то эти два члена одинаковы по величине, имеют различный знак и поэтому взаимно уничтожаются. Наличие сил трения не может нарушить общего баланса Энергии, а лишь приводит к преобразованию одного вида энергии в другой.

При адиабатном течении газа, когда при движении газа через канал тепло ему не сообщается (dq = 0), будем иметь

(12.12)

Из уравнения (12.12) следует, что при теплоизолированном стационарном течении газа через канал сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии сохраняет постоянное значение.

Уравнение (12.12) так же, как и (12.11), сохраняет силу как для обратимых, так и для необратимых течений. Следует отметить, что эти уравнения справедливы лишь в том случае, когда газ или жидкость при своем движении совершает работу расширения и не производит полезной (технической) работы (например, вращение рабочего колеса какой-либо машины, приводимой в движение потоком газа).

Для обратимого процесса истечения газа одновременно с уравнением (12.11) сохраняет силу и уравнение (4.7):

Подставив последнее уравнение в формулу (12.11), получим

Приращение внешней кинетической энергии тела является как бы располагаемой работой, которая может быть использована в машинах и превращена в другие виды энергии.

Обозначим располагаемую работу через l₀, тогда

(12.13)

Равенство (12.12) устанавливает основные особенности истечения газов. Из этого равенства видно, что w и dp имеют обратные знаки, т. е. при обратимом процессе увеличение скорости всегда связано с понижением давления, и наоборот, уменьшение скорости сопровождается повышением давления.

Рис. 12.2

Каналы. в которых происходит расширение газа с уменьшением давления (dp 0), называются соплами.

Каналы, в которых происходит сжатие га­за с увеличением давления (dp > Q) и уменьшением скорости (dw 0. Если в течение процесса давление будет оставаться постоянным с/р = 0, то располагаемая работа будет равна нулю. Если процесс изменения состояния газа при его течении изобразить линией в координатах р—v (рис. 12.2), то для процесса истечения А — В располагаемая работа

изобразится в виде площади, ограниченной кривой процесса, изобарами р = р₁ и p = p₂ и осью ординат. Работа расширения газа

будет по-прежнему изображаться площадью под кривой процесса, которая ограничена крайними ординатами и осью абсцисс.

В зависимости от вида процесса значение располагаемой работы может быть подсчитано на основе общих термодинамических положений. Располагаемая работа в политропном процессе, в котором изменение состояния подчиняется уравнению (pv n = const), после подстановки в уравнение (12.13) значения текущего объема

(12.14)

В общем случае располагаемая работа может быть больше или меньше работы расширения или равна ей, причем это соотношение будет определяться величиной показателя политропы. Так, для политропного процесса, в котором работа расширения газа определяется по формуле

сравнение с располагаемой работой приводит к равенству

Для адиабатного процесса расширения газа

Для адиабатного течения газа располагаемая работа может быть определена и через энтальпию газа. Используя уравнение (12.12), видим, что

Интегрируя это выражение, получим

(12.15)

Следовательно, располагаемая работа газа при адиабатном течении будет равна разности энтальпий в начальном и конечном состояниях. Эта разность энтальпий обозначается через h₀ и носит название располагаемого теплоперепада.

На рис. 12.3 и 12.4 показаны располагаемый теплоперепад и располагаемая работа в диаграмме i — s.