Какую функцию используют для решения трансцендентного уравнения

Лекция «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

БИК Курс лекций по дисциплине «Численные методы»

для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем

Раздел 2. Численные методы

2.1.1. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Алгебраические и трансцендентные уравнения

Графический метод решения уравнений

1. Алгебраические и трансцендентные уравнения

При решении практических задач часто приходится сталкиваться с решением уравнений. Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

( x )= g ( x ), (1)

где (х) и g (х) — данные функции, определенные на некотором числовом множестве X , называемом областью допустимых значений уравнения .

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

F ( x ) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале .

 Совокупность значений переменной х, при которых уравнение (1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х : из этой совокупности называется корнем уравнения.

 Всякое число , обращающее функцию F ( x ) в нуль, т.е. такое, при котором F ( )=0, называется корнем уравнения (1).

 Число называется корнем k -той кратности, если при x =вместе с функцией F ( x ) равны нулю ее производные до ( k -1) порядка включительно:

F ( ) = F / () = … = F ( k -1) ( ) = 0.

Однократный корень называется простым.

 Решить уравнение – значит найти множество всех корней этого уравнения.

Оно может быть конечным или бесконечным.

 Два уравнения F ( x )=0 и G ( x =0) называются равносильными (эквивалентными), если всякое решение каждого из них является решением и для другого, то есть множества решений этих уравнений совпадают.

В зависимости от того, какие функции входят в уравнения (1) или (2), уравнения разделяются на два больших класса: линейные и нелинейные.

Нелинейные уравнения делятся, в свою очередь на: алгебраические и трансцендентные .

Уравнение (2) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

где a ₀, a ₁, . , a _n — коэффициенты уравнения, а x -неизвестное. Показатель n называется степенью алгебраического уравнения.

Если функция F ( x ) не является алгебраической, то уравнение (1) называется трансцендентным.

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Решение уравнения с одним неизвестным заключается в отыскании корней, т. е. тех значений х, которые обращают уравнение в тождество. Корни уравнения могут быть вещественными и невещественными (комплексными).

Найти точные значения корней уравнения можно только в исключительных случаях, обычно, когда есть какая-либо простая формула для вычисления значения корней, выражающая их через известные величины.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменой не решаются путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами.

При решении многих практических задач точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задача нахождения корней считается решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности.

 Решить уравнение – это значит

установить, имеет ли оно корни,

и найти значение корней с заданной точностью.

 Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения (2) обычно состоит из двух этапов:

отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых находится одно значение корня,

и уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (2) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод простой итерации. Применение того или иного метода для решения уравнения (2) зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F ( x ).

2. Графические методы решения уравнений

Одним из методов решения уравнений является графический. Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ. Все члены уравнения переносят в левую часть, т. е. представляют его в виде f (х) = 0. После этого строят график функции у = f ( x ), где f (х) – левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции у = f (х) с осью Ох и являются корнями уравнения, так как в этих точках у = 0 (рис. 1).

Рисунок 1

Второй способ. Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т. е. представляют его в виде f (х) = g (х).

После этого строят графики двух функций у = f (х) и у = g (х). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу х₀, ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т. е. f (х₀) = g (х₀). Из этого равенства следует, что х₀ – корень уравнения (рис. 2).

Рисунок 2

Пример 1. Решить графически уравнение х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 = 0.

Первый способ. Построим график функции у = х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 и определим абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох. Кривая пересекает ось Ох в точке х = 1, следовательно, уравнение имеет один корень (рис. 3). (Отметим, что алгебраическое уравнение третьей степени имеет или один действительный корень или три. Так как кривая пересекает ось абсцисс только в одной точке, то данное уравнение имеет только один действительный корень. Остальные два корня – комплексные.)

Рисунок 3 Рисунок 4

Второй способ. Представим данное уравнение в виде х 3 = 2 x 2 + 2х–1 и построим графики функций у = х 3 и у = 2 x 2 + 2х – 1. Найдем абсциссу точки пересечения этих графиков; получим х = 1 (рис. 4).

Пример 2. Найти приближенно графическим способом корни уравнения lg х — Зх + 5 = 0.

Перепишем уравнение следующим образом: lg х = Зх — 5.

Функции в левой и в правой части уравнения имеют общую область определения: интервал 0

Строим графики функций у = lg х и у = Зх — 5 (рис. 5). Прямая у = Зх-5 пересекает логарифмическую кривую в двух точках с абсциссами x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75. На рисунке трудно показать пересечение графиков этих двух функций в первой точке, однако, учитывая, что нижняя ветвь, логарифмической кривой неограниченно приближается к оси Оу, можно предполагать, что пересечение этих двух графиков произойдет вблизи точки пересечения графика функции у = Зх — 5 и оси Оу. Абсцисса точки пересечения приближенно равна 0,00001. Итак, корни уравнения x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75

Рисунок 5 Рисунок 6

Пример 3. Найти графически корни уравнения 2 х = 2х.

Решение. Строим графики функций у = 2 х и у = 2х. Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны х ₁ = 1 и х ₂ = 2. Данное урав­нение имеет два корня х ₁ = 1 и х ₂ = 2 (рис. 6).

Подводя итог вышеизложенному, можно рекомендовать для графического решения уравнения f (х) = 0, все корни которого лежат в промежутке [а, b ], следующую простую схему.

1. Представить указанное уравнение в виде (х) = g (х) с таким расчетом, чтобы функции у=(х) и у = g (х) были просты и удобны для исследования и построения.

2. На бумаге вычертить графики функций у =(х) и у = g (х) в промежутке [а, b ].

3. Если графики не пересекаются, то корней в данном промежутке нет. Если же графики пересекаются, то нужно определить точки их пересечения, найти абсциссы этих точек, которые и будут приближенными значениями корней рассматриваемого уравнения.

Первый этап численного решения уравнения (2) состоит в отделении корней, т.е. в установлении “тесных” промежутков, содержащих только один корень.

 Корень уравнения f (х) = 0 считается отделенным на отрезке [ a , b ] , если на этом отрезке уравнение f (х) = 0 не имеет других корней.

 Отделить корни – это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Отделение корней можно произвести двумя способами – графическим и аналитическим.

Графический метод отделения корней. При графическом методе отделения корней поступают так же, как и при графическом методе решения уравнений.

Графический метод отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции к орня. Далее корни уточняются одним из способов, указанных ниже.

Аналитический метод отделения корней. Аналитически корни уравнения f(х) =0 можно отделить, используя некоторые свойства функций, изучаемые в курсе математического анализа.

Сформулируем без доказательства теоремы, знание которых необходимо при отделении корней.

1) Если непрерывная на отрезке функция F ( x ) принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение (2) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень

2) Если функция F ( x ) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Рассмотрим примеры поведения некоторых функций:

Рисунок 7

Для отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ.

Пусть имеется уравнение F ( x )=0, причем можно считать, что все корни находятся на отрезке , в которой функция F ( x ) отделена, непрерывна и F ( A )* F ( B ) F ( x ), начиная с точки X = A , двигаясь вправо с некоторым шагом h .

Как только обнаружится пара соседних значений F ( x ), имеющих разные знаки, и функция F ( x ) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента X (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

Схема соответствующего алгоритма изображена ниже. Результатом решения поставленной задачи будут выводимые на дисплей в цикле значения параметров X ₁ и X ₂ (Концов выделенных отрезков).

Трансцендентные уравнения? «Подбор параметра» в Excel!

Нелинейные, трансцендентные уравнения функции одной переменной – это уравнения вида f (x) = 0, в которых нельзя найти алгебраическими методами корни. Функция f (x) – это, как правило, достаточно сложная и громоздкая функция, содержащая в своем составе.

. тригонометрические, логарифмические, степенные и иные нелинейные функции с различной глубиной вложенности. Например: f (x) = sin (3,14^x) + cos (x) = 0. Уравнения такого вида решаются численными методами.

В этой статье я постараюсь доступно и кратко рассказать и показать на примерах, как и когда такие задачи возникают и как их сегодня быстро и просто можно решать в Excel.

Чуть-чуть истории и теории.

Вы задумывались когда-нибудь — откуда и зачем в головах людей, живших в XVI…XVII веках, родились понятия дифференциалов, производных, интегралов? Объяснение, в общем-то, достаточно простое и понятное – эти ученые искали аналитические пути решения прикладных практических задач. И успешно находили.

Мне сегодня видится приблизительно такая «лестница» с качественными «ступенями инструментов» математики для решения практических и научных задач, которую изобрело человечество:

1. Арифметика — сложение, вычитание, умножение, деление.

2. Алгебра – применение элементарных функций (степенной, логарифмической, тригонометрической, …) и алгебраических уравнений функции одной переменной.

3. Гауссовские системы линейных уравнений.

4. Численные методы решения трансцендентных уравнений.

5. Численные методы решения систем трансцендентных уравнений функций нескольких переменных.

6. Дифференцирование и интегрирование функций одной переменной.

7. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных.

8. Системы дифференциальных и интегральных уравнений.

9. Масса разнообразных новых и старых специальных методик и подходов мне не известных и известных, но, безусловно, существующих и работающих.

Предлагаю остановиться и разобраться с достаточно высокой четвертой ступенью «лестницы».

Для численного решения нелинейных уравнений успешно применяются: метод половинного деления, метод простых итераций, метод хорд, метод касательных Ньютона, комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона. Для чего ученые-математики придумали множество различных методов решения трансцендентных уравнений? Они старались упростить и ускорить процесс расчетов. Надо помнить и понимать, что у них компьютеров не было, и расчеты выполнялись вручную.

Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки — они подробно описаны в литературе, и углубляться в них мы не будем. Скажу только, что из вышеперечисленных методов мне на практике довелось использовать все. При решении различных (в основном геометрических и теплотехнических) задач по разным причинам было удобно использовать то один, то другой подход. Метод Ньютона хорош своей быстрой сходимостью и простотой формулы. Комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона не требует нахождения производных, быстро «сходится», и главное – не требует анализа функции на сходимость. Метод половинного деления медленно сходится, но не требует никакого предварительного анализа функции.

Трансцендентные уравнения. Два метода решения в Excel.

Если у вас на компьютере нет программы MS Excel, то расчеты можно выполнить в программе OOo Calc из бесплатного пакета Open Office.

Задач, которые требуют для получения ответа составления и решения трансцендентных уравнений, вокруг нас очень много. Это — задачи и физики, и теплотехники, и астрономии, и элементарной геометрии в обычной жизни… Инженерам-конструкторам и программистам в повседневной работе необходимо уметь составлять и быстро решать численными методами нелинейные уравнения. На мой взгляд — это один из критериев профессионализма. Более того, уравнения, которые решаются аналитически, сегодня иногда гораздо проще и быстрее при наличии вычислительной техники решить численными методами, поэтому нужно уметь это делать.

Вычисление угла зацепления зубчатой передачи методом Ньютона (методом касательных)

Рассмотрим пример из статьи «Расчет геометрии зубчатой передачи». Необходимо найти угол зацепления зубчатой передачи atw . Я обещал в той статье рассказать, как это делается. Выполняю обещание.

Если расстояние между центрами колеса и шестерни не задано, то угол зацепления можно вычислить путем решения трансцендентного уравнения:

inv ( atw )=tg ( atw ) — atw =2* xs *tg ( a )/( z2 + T * z1 )+ tg ( at ) — at

Подставив данные из примера, рассмотренного в вышеупомянутой статье, получим после преобразований следующее уравнение:

inv ( atw )=0,020910

f ( atw )=tg ( atw )— atw -0,020910=0

Используем метод Ньютона, потому что взять производную представленной выше функции элементарно просто, а итерационная формула очень проста и компактна:

f’( atw )=1/(cos ( atw ))^2—1

atw (i+1) = atw i — f ( atw ) i/ f’( atw ) i

Открываем файл Excel и начинаем работу.

Исходные данные будем традиционно писать в ячейки со светло-бирюзовой заливкой. Результаты расчетов будем считывать в ячейках со светло-желтой заливкой.

1. Инволюту угла зацепления inv( atw ) заносим

в ячейку D3: 0,020910

2. Значение угла зацепления в нулевом приближении atw 0 в радианах записываем

3. Итерационную формулу atw (i+1)= atw i— f( atw )i/ f’( atw )i заносим

в D5: =D4- (TAN (D4) -D4-$D$3)/(1/(COS (D4))^2-1) =0,591706

atw 1= atw 0- (tg ( atw 0) — atw 0- inv ( atw ))/(1/(cos ( atw 0))^2-1)

и копируем в ячейки D6… D14

4. Видим, что уже после шестой итерации угол зацепления atw в радианах вычислен с нулевой абсолютной и относительной ошибкой:

atw =D13- (TAN (D13) -D13-$D$3)/(1/(COS (D13))^2-1) =0,389140

Решение найдено, расчет в Excel завершен!

Решение задачи ландшафтного дизайна с помощью сервиса «Подбор параметра» в Excel

Задача:

Вдоль отмостки стены дома длиной 14 метров необходимо разбить цветник в виде сегмента круга площадью ровно 16 квадратных метров. На сколько метров цветник будет отстоять от края отмостки по центру стены? Каким радиусом необходимо выполнить границу цветника?

1. Длину отмостки стены дома — хорды сегмента круга x в метрах записываем

в ячейку D17: 14,000

2. Площадь цветника – сегмента круга S в квадратных метрах вписываем

в D18: 16,000

3. Предположительное произвольное (не нулевое) значение центрального угла сегмента a в радианах пишем

Трансцендентное уравнение a / sin( a /2 ) -2*cos ( a /2) — (8* S / x ^2) *sin( a /2)=0 вводим

в объединенную ячейку E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2)

Включаем сервис «Подбор параметра» в Excel: «Сервис» – «Подбор параметра». Пишем в появившемся окне все как на рисунке слева и нажимаем кнопку OK.

В появившемся новом окне видим, что решение найдено, снова нажимаем на кнопку OK.

Считываем искомое значение центрального угла сегмента a в радианах

в D19: 0,950057

При этом видим, что значение трансцендентного уравнения равно нулю; считываем

в объединенной ячейке E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2) =0

4. Радиус наружной границы цветника – радиус сегмента круга r в метрах рассчитывается

в D20: =D17/2/SIN (D19/2) =15,305

r = x /2/sin( a /2)

5. Максимальная ширина цветника – высота сегмента круга h в метрах рассчитывается

в ячейке D21: =D20*(1-COS (D19/2)) =1.695

h = r *(1- cos( a /2))

Ответы получены, вторая задача успешно решена!

Я не приводил вывода использованных формул потому, что это не по теме поста, и, думаю, с геометрией и тригонометрией вы легко разберетесь. Будут вопросы – обращайтесь.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей вам нужно подписаться на анонсы в окне, расположенном вверху страницы. Введите адрес своей электронной почты и нажмите на кнопку «Получать анонсы статей». С этого момента к вам на почтовый ящик будет приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Краткие выводы

1. Итерационными численными методами удобно и быстро можно решать трансцендентные уравнения и громоздкие нелинейные алгебраические.

2. При написании расчетных модулей программ в Excel, если нежелательны лишние остановки по ходу вычислений, можно использовать вставки блоков с классическими методами решения нелинейных уравнений или макросов с вызовом инструмента «Подбор параметра».

3. Использование инструмента «Подбор параметра» в Excel является сегодня, безусловно, наиболее оптимальным и эффективным методом решения нелинейных, трансцендентных уравнений функций одной переменной, а также проведения анализа типа «Что будет? Если…».

Умение применять в работе сервис «Подбор параметра» существенно повышает ваш уровень, как специалиста вообще, так и как пользователя Excel – в частности.

Буду очень рад увидеть ваши комментарии к статье, уважаемые читатели!