Какую замену необходимо выполнить при решении уравнения

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Урок 1. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Уравнения, приводящиеся к квадратным путем замены переменной. Квадратные уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

Урок 2. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.

Биквадратные уравнения. Уравнения 4-й степени. Замена переменной в уравнениях. Решение уравнений, приводящихся к квадратным, путем замены переменной. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

Урок 3. Замена переменной. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Алгебра 8 класс.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.

Урок 4. Замена переменной в уравнениях, приводящихся к квадратным.

Пример 1: Решите уравнение методом замены переменной:

Если необходимо решить уравнение вида (x+A)(x+B)(x+C)(x+D) = m где А, В, С, D и m — некоторые константы, то группируем попарно скобки таким образом, чтобы была равна сумма констант, входящих в эти скобки.

Например, если А+D = В+C, то записываем: (x+A)(x+D)(x+B)(x+C) = m

Попарно раскрываем скобки: (x2+Ax+Dх + AD)(x2+Bx+Cх +DC) = m (x2+(A+D)х + AD)(x2+(B+C)х + DC) = m
Делаем замену x2+(A+D)х = t Получаем уравнение (t + AD)(t + DC) = m
После раскрытия скобок получим обычное квадратное уравнение.

Урок 5. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Решение рационального уравнения заменой. Обратные числа. Какие числа называются взаимно обратными? Взаимно-обратные дроби. Как правильно сделать замену взаимно-обратных дробей. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 6. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной. Алгебра 8 класс.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Как правильно возвести в квадрат при замене переменной. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 7. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную?

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную? Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в рациональном уравнении? Уравнения 4-й степени. Понизить степень уравнения, сделав замену. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 8. Замена переменной. Решение уравнений. Однородные уравнения.

Однородные уравнения второй степени. Определение однородного уравнения. Методы решения однородных уравнений. Как понять, что уравнение однородное. Решение однородных уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом замены переменной. Решить уравнение. Решить заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Алгебра 8 класс.