Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система уравнений вида
Числа называются коэффициентами системы ; — свободными членами , — неизвестными . Количество уравнений в системе может быть меньше, больше или равно числу неизвестных.
Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел такая, что после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной .
Система (5.1) называется однородной , если все свободные члены равны нулю:
В отличие от однородной, систему общего вида (5.1) называют неоднородной .
Систему (5.1) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы
свободные члены записываем в столбец свободных членов
а неизвестные — в столбец неизвестных
Матричная запись неоднородной системы уравнений (5.1) имеет вид
Матричную запись (5.3) системы уравнений можно представить в эквивалентной форме
Тогда решение системы представляется столбцом и удовлетворяет равенству
т.е. столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы.
Относительно системы уравнений нас интересуют ответы на следующие вопросы:
1. Совместна система или нет?
2. Если система совместна, то имеет ли она единственное решение или нет?
3. Если решение единственное, то как его найти?
4. Если система имеет бесконечно много решений, то какова структура множества решений?
5. Как в бесконечном множестве решений системы определить одно решение, наилучшее с практической точки зрения?
6. Если система несовместна, то как определить ее приближенное решение?
Правило Крамера
Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных , т.е. систему
где матрица системы — квадратная n-го порядка:
Ее определитель обозначим
Теорема 5.1 (правило Крамера). Если определитель матрицы системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам
где — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.
В самом деле, рассмотрим систему (5.6) как матричное уравнение . Так как определитель матрицы отличен от нуля, по теореме 4.2 заключаем, что матричное уравнение имеет единственное решение:
где — обратная матрица. Запишем i-й элемент столбца , учитывая, что в i-й строке присоединенной матрицы стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы
Заметим, что в скобках записано разложение определителя по i-му столбцу, т.е. , что и требовалось доказать.
1. На практике при больших правило Крамера не применяется, так как вычисление определителя n-го порядка требует большого числа арифметических операций. Поэтому применяются более экономичные алгоритмы. Обычно, правило Крамера используется, когда нужно найти только несколько неизвестных (например, одну) среди многих. В теоретических исследованиях правило Крамера незаменимо и используется весьма продуктивно.
2. Если и хотя бы один определитель , то система несовместна. Если , то возможны два случая: либо система несовместна, либо имеет бесконечно много решений.
Пример 5.1. Решить систему линейных уравнений с помощью правила Крамера
Решение. Составим матрицу системы . Вычислим ее определитель
Так как определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение (см. теорему 5.1). Находим определители и неизвестные
Условие совместности системы линейных уравнений
Рассмотрим систему (5.3) линейных уравнений с неизвестными. Составим блочную матрицу, приписав к матрице справа столбец свободных членов. Получим расширенную матрицу системы :
Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключением обозначений неизвестных.
Теорема 5.2 Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: .
Необходимость следует из равенства (5.5) и следствия 1 теоремы 3.3. Если система имеет решение, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Поэтому при вычеркивании столбца Ь из расширенной матрицы ее ранг не изменяется. Следовательно, .
Для доказательства достаточности нужно использовать теорему о базисном миноре. Из равенства следует, что базисный минор матрицы является базисным минором расширенной матрицы . Поэтому столбец является линейной комбинацией столбцов базисного минора матрицы , а, значит, и всех столбцов матрицы . Следовательно, существуют числа , удовлетворяющие условию (5.5), т.е. система совместна.
Замечание 5.2. Теорема Кронекера-Капелли дает лишь критерий существования решения системы, но не указывает способа отыскания этого решения.
Пример 5.2. Определить, имеет ли система уравнений решения
Решение. Составим матрицу системы и расширенную матрицу системы
Ранг матрицы равен 2, так как она имеет не равные нулю миноры второго порядка и третья строка этой матрицы равна сумме первых двух строк. Следовательно, третью строку можно вычеркнуть, при этом ранг матрицы не изменится. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как она имеет не равный нулю минор третьего порядка, например, минор, составленный из первого, второго и последнего столбцов расширенной матрицы
Следовательно, . Поэтому система несовместна (не имеет решений).
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Системы линейных уравнений
Обозначим через $ \mathbb A_<> $ любое из множеств $ \mathbb Q_<>, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $.
Примеры систем уравнений над $ \mathbb R $.
Относительно числа $ m_<> $ уравнений не делается ни какого предположения: оно может быть меньше, больше или равно числу переменных $ n_<> $. Если $ m_<>>n $ то система называется переопределенной. Решением системы уравнений называется любой набор значений переменных $ x_1=\alpha_<1>,\dots, x_n = \alpha_n $, обращающий каждое из уравнений в истинное равенство. Система называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.
Можно доказать (см. результаты ☟ НИЖЕ ), что все возможности для произвольной системы ограничиваются следующими вариантами:
1. система совместна и имеет единственное решение;
2. cистема совместна и имеет бесконечное множество решений;
3. cистема несовместна.
При этом все решения будут находиться в том же множестве $ \mathbb A_<> $, что и коэффициенты системы.
Матричная форма записи
Для системы линейных уравнений относительно переменных $ x_1,x_2,\dots,x_n $ $$ \left\< \begin
Исключение переменных (метод Гаусса)
метода достаточно проста.
Пример. Решить систему уравнений $$ \left\< \begin
Решение. Выразим из первого уравнения $ x_ <1>$ $$ x_1=\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3> <2>$$ и подставим в оставшиеся уравнения $$ 4 \left(\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3><2>\right) -3\,x_2-5\,x_3=6 \ <\color
Ответ. $ x_<1>=1/4, x_2=-5/8, x_3=-5/8 $.
Теперь осталось формализовать изложенную идею метода (сформулировав допустимые правила действия над уравнениями — те, что в принципе, очевидны из здравого смысла ), а также исследовать возможные последствия его применения к системам общего вида.
Исключение переменных
Элементарными преобразованиями системы л.у. называются преобразования следующих трех типов:
1. перестановка двух уравнений;
2. умножение обеих частей уравнения на любое отличное от нуля число;
3. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на произвольное число: пара уравнений $$ \begin
Теорема. Любое элементарное преобразование системы л.у. переводит эту систему в ей эквивалентную, т.е. имеющую то же множество решений, что и исходная.
Задача. С помощью элементарных преобразований привести систему л.у. к наиболее простому виду: такому, из которого легко было бы установить множество решений.
Предположим, что первое уравнение системы содержит явно неизвестную $ x_ <1>$, т.е. $ a_<11>^<> \ne 0 $. Исключим эту неизвестную из всех оставшихся уравнений. С этой целью вычтем из второго уравнения первое, домноженное на $ a_<21>/a_<11>^<> $. Получим $$\left(a_<22>— \frac
Понятно, что процесс исключения может быть продолжен и далее. Теперь посмотрим, где он может прерваться. Может так случиться, что очередная, $ \ell_<> $-я подсистема имеет коэффициент $ a_<\ell \ell>^ <[\ell-1]>$ равным нулю, что не позволит алгоритму идти дальше — т.е. исключить переменную $ x_<\ell>^<> $ из оставшихся уравнений (в принципе, такое могло случиться уже на первом шаге, если бы коэффициент $ a_<11>^<> $ был бы равен нулю). Возможные варианты дальнейших действий:
1. если хотя бы один коэффициент при $ x_<\ell>^<> $ в одном из оставшихся уравнений отличен от нуля: $ a_
2. если при всех $ j\ge \ell^<> $ коэффициенты $ a_
Поскольку число переменных конечно, то алгоритм исключения должен завершиться за конечное число шагов. Чем он может завершиться? Окончательная система должна иметь вид: $$ \left\< \begin
Предположение . Мы будем считать, что каждое из первых $ <\mathfrak r>_<> $ уравнений системы содержит в своей левой части хотя бы одну переменную с ненулевым коэффициентом.
Процесс получения системы такого вида из исходной системы уравнений называется прямым ходом метода Гаусса.
Исторический комментарий о Гауссе ☞ ЗДЕСЬ.
Установление множества решений
Теорема. Если хотя бы одно из чисел $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>,\dots , b_
Для простоты мы будем иллюстрировать наши рассуждения на системах л.у. над $ \mathbb R_<> $, в этом же множестве искать решения. Каждое из преобразований метода Гаусса будем обозначать $ \to_<> $.
Пример. Решить систему л.у.
$$ \left\< \begin
Решение. $$ \ \to \ \left\< \begin
Ответ. Система несовместна.
Пусть теперь $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>=0,<>\dots, b_
Теорема. Если прямой ход метода Гаусса заканчивается треугольной системой, т.е. $ \mathfrak r = n_<> $ и $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>=0,<>\dots, b_
Пример. Решить систему л.у.
$$ \left\< \begin
Ответ. $ x_1=1,\, x_<2>=2,\, x_3=-2 $ .
Исследуем теперь случай $ <\mathfrak r>1) : На основании предположения , в $ <\mathfrak r>$-м уравнении этой системы имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части, пусть $ a_ <<\mathfrak r><\mathfrak s>>^<[<\mathfrak r>-1]>\ne 0 $ — первый из них. Если $ <\mathfrak s>=n $, то из этого уравнения однозначно определится $ x_
Теорема. Если прямой ход метода Гаусса заканчивается трапециевидной системой, т.е. $ \mathfrak r 2) матрицы $ A_<> $ (третьего порядка). Понятие определителя распространяется и на квадратные матрицы бóльших порядков; образно говоря, определитель — это функция элементов матрицы, отвечающая за единственность решения системы уравнений.
Дальнейший матричный анализ метода Гаусса ☞ ЗДЕСЬ.
Формулы Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $, т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Теорема. Cистема
$$ \left\<\begin
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ
Пример. Решить систему уравнений
$$ \left\<\begin
Решение. $$ x_1=\frac<\left|\begin
Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $ является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что $ \det A_<> \ne 0 $.
Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.
Еще один способ решения системы основан на построении обратной матрицы: $$ AX= <\mathcal B>\quad \Rightarrow \quad X=A^<-1> <\mathcal B>\ . $$ Этот способ малоэффективен при фиксированных числовых $ A_<> $ и $ <\mathcal B>_<> $.
Найти достаточное условие существования общего решения систем уравнений:
$$ A_1 X = <\mathcal B>_1 \quad u \quad A_2 Y = <\mathcal B>_2 \ , $$ при квадратных матрицах $ A_1 $ и $ A_2 $ одинакового порядка.
Теорема Кронекера-Капелли
Матрица, получающаяся конкатенацией матрицы $ A_<> $ и столбца правых частей $ <\mathcal B>_<> $ $$ [ A| <\mathcal B>] = \left( \begin
Теорема [Кронекер, Капелли]. Система $ AX= <\mathcal B>$ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:
$$ \operatorname
Доказательство необходимости. Пусть существует решение $ x_1=\alpha_1,\dots,x_n=\alpha_n $ системы, тогда $$\alpha_1 A_<[1]>+\dots+\alpha_n A_<[n]>= <\mathcal B>\ ,$$ т.е. столбец $ <\mathcal B>$ линейно выражается через столбцы $ A_<[1]>,\dots,A_ <[n]>$. Но тогда $$ \operatorname
Доказательство достаточности проводится в следующем пункте. ♦
Пример. Исследовать совместность системы уравнений
Решение. В этом примере число уравнений совпадает с числом неизвестных. Это обстоятельство несколько облегчает рассуждения. Обратимся к замечанию из предыдущего пункта: система л.у. с числом уравнений, совпадающем с числом неизвестных, как правило, совместна. Тогда попробуем установить условия, обеспечивающие противоположное свойство — несовместность. Оно, фактически, единственно: за все отвечает определитель системы $ \det A_<> $. Если он отличен от нуля — система совместна. $$\det A = \left| \begin
Осталось исследовать критические случаи: $ <\color
При $ <\color
Ответ. Система несовместна при $ <\color
Система однородных уравнений
$$ \left\< \begin
Пример. Найти условие, при котором три точки плоскости с координатами $ (x_1,y_1), (x_2,y_2) $ и $ (x_3,y_<3>) $ лежат на одной прямой.
Решение. Будем искать уравнение прямой в виде $ ax+by+c=0 $ при неопределенных коэффициентах $ a,b,c_<> $. Если точки лежат на прямой, то получаем для определения этих коэффициентов систему линейных уравнений: $$ \left\< \begin
Доказать, что для совместности системы
$$ \left\< \begin
An elementary treatise on determinants
в следующей формулировке.
Теорема. Для того чтобы система $ n_<> $ неоднородных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы порядок наибольшего отличного от нуля минора был одинаков в расширенной и нерасширенной матрице системы.
Додсон — один из самых знаменитых математиков мира. Назовите его псевдоним.
Ответ ☞ ЗДЕСЬ
Общее решение
Пусть выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли: $ \operatorname
Пусть теперь $ \mathfrak
Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы уравнений:
Решение проведем двумя способами, соответствующими двум способам вычисления ранга матрицы. Вычисляем сначала ранг матрицы $ A $ по методу окаймляющих миноров: $$ |2| \ne 0,\quad \left| \begin
Ненулевой минор третьего порядка (базисный минор) находится в первой, второй и четвертых строках, что означает линейную независимость соответствующих уравнений. Третье уравнение линейно зависит от остальных, и может быть отброшено. Далее, указанный базисный минор образован коэффициентами при $ x_1,x_3 $ и $ x_4 $. Следовательно оставшиеся уравнения могут быть разрешены относительно этих переменных, т.е. они — зависимые, а $ x_2 $ и $ x_5 $ — основные. Использование формулы дает общее решение $$ \begin
Ответ. Общее решение системы: $ x_1=1/2 (x_2+x_5-1),\ x_3=3-4\,x_5,\ x_4=0 $.
Проанализируем теперь полученные общие формулы для общего решения. В этих формулах $ \beta_j $ представляет решение системы, получаемое при $ x_<\mathfrak
Вывод. Формула общего решения системы $ A X=\mathcal B $: $$ x_j=\beta_j + \gamma_
Теорема. Общее решение системы уравнений $ A X=\mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=\mathbb O $.
Доказательство тривиально если система $ A X=\mathcal B $ имеет единственное решение. Если же решений бесконечно много, то выбрав какое-то одно частное $ X=X_1 $ мы получаем, что любое другое частное решение $ X=X_2 $ должно быть связано с первым соотношением $$ A(X_2-X_1)=\mathbb O , $$ т.е. разность частных решений неоднородной системы обязательно является решением однородной системы уравнений $ AX=\mathbb O $. ♦
Теперь посмотрим как можно описать общее решение однородной системы.
Система однородных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все коэффициенты правых частей равны нулю: $$ \left\< \begin
Задача ставится о поиске нетривиального решения. Оно не всегда существует. Так, к примеру, если матрица $ A_<> $ системы — квадратная и имеет ненулевой определитель, то, согласно теореме Крамера, нетривиальных решений у однородной системы нет. Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что условие $ \det (A_<>) = 0 $ является и достаточным для существования нетривиального решения.
Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $ имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы $ \det (A_<>) = 0 $.
Для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A_<> $ имеет место следующий общий результат.
Теорема 2. Если $ \operatorname
Теорема 3. Множество решений системы однородных уравнений образует линейное подпространство пространства $ \mathbb A^
Пусть матрица системы $ AX=\mathbb O $ квадратная и
$$ \operatorname
Теперь обсудим способы нахождения ФСР.
1. Первый из них получается из общего метода решения системы линейных уравнений, рассмотренного в предыдущем пункте. Так же, как и в том пункте, сделаем упрощающее обозначения предположение, что зависимыми переменными являются первые $ x_<1>,\dots,x_ <\mathfrak r>$, т.е. общее решение задается формулами $$ x_j=\gamma_
Оформим этот способ построения ФСР в теорему:
Теорема 4. Если система уравнений $ AX=\mathbb O $ имеет структуру матрицы $ A_<> $ вида:
$$ A = \left[ E_ <\mathfrak r>\mid P_ <\mathfrak r \times (n-\mathfrak r)>\right] \ , $$ то ее ФСР состоит из столбцов матрицы $$ \left[ \begin
Пример. Найти ФСР для системы уравнений
Решение. Приводим систему к трапециевидному виду: $$ \left\< \begin
2. Этот способ напоминает вычисление обратной матрицы методом приписывания единичной матрицы. Транспонируем матрицу $ A_<> $ системы и припишем к ней справа единичную матрицу порядка $ n_<> $: $$ \left[ A^ <\top>| E_n \right] = \left(\begin
Пример. Найти ФСР для системы уравнений
$$ \left\< \begin
$$ \left(\begin
3. Еще один способ построения ФСР основан на теореме Гамильтона-Кэли.
Теорема. Пусть матрица системы $ AX=\mathbb O $ квадратная и $ \operatorname
Пример. Найти ФСР для системы уравнений
Решение. Здесь $$ A= \left( \begin
Блок-схемы зависимости множества решений системы уравнений $ AX= \mathcal B $ от комбинации чисел $ n, \mathfrak r $ ☞ ЗДЕСЬ.
Геометрическая интерпретация
Геометрический смысл введенных определений поясним на примере $ \mathbb R^ <3>$. Уравнение $$ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b $$ — при фиксированных вещественных коэффициентах $ a_1,a_2,a_3 $ (хотя бы один из них считаем отличным от нуля) и $ b_<> $ — задает плоскость. Если, к примеру, $ a_1\ne 0 $, то из уравнения получаем выражение для $ x_ <1>$ как функции $ x_2,x_3 $: $$ x_1=\frac
Теорема. Общее решение системы уравнений $ A X=\mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=\mathbb O $.
Координаты произвольной точки плоскости $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 $ задаются соотношениями $$ \left( \begin
Теперь рассмотрим систему из двух уравнений: $$ \left\<\begin
Мы рассмотрели пока только случай пересекающихся плоскостей в пространстве. Его можно считать общим, т.е. случаем «как правило»: две случайным образом выбранные плоскости в $ \mathbb R^ <3>$ пересекаться будут. Исследуем теперь исключительный случай — параллельности плоскостей. Исключительность этого случая может быть проверена и аналитикой. Для несовместности системы из двух уравнений необходимо, чтобы ранг ее матрицы $$ \left( \begin
Перейдем теперь к системе из трех уравнений: $$ \left\< \begin
Теорема Кронекера-Капелли в этом случае не нужна — нет, она остается справедливой! — но проверка условия на ранги матриц тривиальна: они оба равны $ 3_<> $. Если же указанный определитель обращается в нуль, то этот факт эквивалентен тому, что три строки определителя линейно зависимы. Например, возможно, что строка $ (a_<31>,a_<32>, a_<33>) $ может быть представлена в виде линейной комбинации первых двух строк. Вспомним геометрический смысл этих строк: они задают координаты векторов, перпендикулярных соответствующим плоскостям. Если система уравнений $$ \left\<\begin
Статья не закончена!
Ортогональность
Геометрические соображения из предыдущего пункта могут быть обобщены на случай когда размерности рассматриваемых пространств увеличиваются, и мы говорим о точках и векторах многомерных пространств. В последующих пунктах нам потребуются понятия линейной оболочки, линейного пространства, размерности, базиса и координат применительно к векторам-столбцам или векторам-строкам. Их можно найти ☞ ЗДЕСЬ.
Задача решения системы линейных уравнений $$ \left\< \begin
С другой стороны, к той же задаче решения системы уравнений, в предыдущем ПУНКТЕ мы подошли с другой стороны. Первое из уравнений системы $$ 3\,x_1+4\,x_2-x_3=2 $$ можно интерпретировать так: скалярное произведение векторов $ \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> $ и $ \vec<<\mathbf OX>> $ равно фиксированному числу $ 2_<> $. Здесь вектора рассматриваются в пространстве строк $ \mathbb R_<>^ <3>$; считается, что каждый вектор имеет начало в начале координат $ \mathbf O=[0,0,0] $, а конец — в точке с координатами $ [3,4,-1] $ или, соответственно, $ [x_1,x_2,x_3] $. Если скалярное произведение векторов обозначать скобками $ \langle <> \mbox < >\rangle $, то систему уравнений можно переписать в виде $$ \langle \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> ,\ \vec<<\mathbf OX>> \rangle=2,\ \langle \vec<<\mathbf OA>^<[2]>> ,\ \vec<<\mathbf OX>> \rangle=1 \quad npu \quad A^ <[1]>= [3,4,-1], A^<[2]>=[1,-2,3] $$ — строках матрицы $ A_<> $. И задачу решения такой системы понимать в смысле: найти координаты всех векторов-строк $ [x_1,x_2,x_3] $ которые обеспечат нам заданные значения скалярных произведений с двумя фиксированными векторами.
Геометрическая интерпретация еще более упрощается если рассмотреть случай однородной системы уравнений. Так, решить систему уравнений $$ \left\< \begin
Все эти геометрические соображения обобщаются в произвольное пространство $ \mathbb R_<>^
В терминах скалярного произведения, задачу решения системы линейных уравнений можно переформулировать как поиск строки $ X=[x_1,x_2,\dots,x_n] $, ортогональной всем строкам матрицы $ A_<> $: $$ \langle A^<[1]>,X \rangle=0, \langle A^<[2]>,X \rangle=0,\dots, \langle A^<[m]>,X \rangle=0 \ . $$ Множество таких строк образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R_<>^
Теорема. $ \operatorname
Системы линейных уравнений
Линейные уравнения с двумя переменными
У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?
Обозначим количество пирожных через x , а количество чашек кофе через y . Тогда стоимость пирожных будет обозначаться через выражение 25x , а стоимость чашек кофе через 10y .
25x — стоимость x пирожных
10y — стоимость y чашек кофе
Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y
Сколько корней имеет данное уравнение?
Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.
Говорят, что пара значений 6 и 5 являются корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Записывается как (6; 5) , при этом первое число является значением переменной x , а второе — значением переменной y .
6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25x + 10y = 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:
В этом случае корнями уравнения 25x + 10y = 200 является пара значений (4; 10) .
Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 8 и 0
Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 0 и 20
Попробуем перечислить все возможные корни уравнения 25x + 10y = 200 . Условимся, что значения x и y принадлежат множеству целых чисел. И пусть эти значения будут бóльшими или равными нулю:
Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.
Заметим, что при нечетном x невозможно достичь равенства ни при каком y . Тогда значениями x будут следующие числа 0, 2, 4, 6, 8. А зная x можно без труда определить y
Таким образом, мы получили следующие пары значений (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эти пары являются решениями или корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Они обращают данное уравнение в тождество.
Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными. Решением или корнями этого уравнения называют пару значений ( x; y ), которая обращает его в тождество.
Отметим также, что если линейное уравнение с двумя переменными записано в виде ax + b y = c , то говорят, что оно записано в каноническом (нормальном) виде.
Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.
Например, уравнение 2(16x + 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) можно привести к виду ax + by = c . Раскроем скобки в обеих частях этого уравнения, получим 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой. Тогда получим 32x − 16x + 6y + 2y = 24 + 8 . Приведём подобные слагаемые в обеих частях, получим уравнение 16x + 8y = 32. Это уравнение приведено к виду ax + by = c и является каноническим.
Рассмотренное ранее уравнение 25x + 10y = 200 также является линейным уравнением с двумя переменными в каноническом виде . В этом уравнении параметры a , b и c равны значениям 25, 10 и 200 соответственно.
На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25x + 10y = 200, мы искали его корни только на множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25x + 10y = 200 будет иметь бесчисленное множество решений.
Для получения новых пар значений, нужно взять произвольное значение для x , затем выразить y . К примеру, возьмем для переменной x значение 7. Тогда получим уравнение с одной переменной 25 × 7 + 10y = 200 в котором можно выразить y
Пусть x = 15 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × 15 + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −17,5
Пусть x = −3 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × (−3) + 10y = 200. Отсюда находим, что y = 27,5
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для уравнения ax + by = c можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y . Отдельно взятое такое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.
Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными. Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).
Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.
Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.
Вернемся к самому первому уравнению 25x + 10y = 200 . Одной из пар значений для этого уравнения была пара (6; 5) . Это случай, когда на 200 рублей можно можно было купить 6 пирожных и 5 чашек кофе.
Составим задачу так, чтобы пара (6; 5) стала единственным решением для уравнения 25x + 10y = 200 . Для этого составим ещё одно уравнение, которое связывало бы те же x пирожных и y чашечек кофе.
Поставим текст задачи следующим образом:
«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»
Первое уравнение у нас уже есть. Это уравнение 25x + 10y = 200 . Теперь составим уравнение к условию «количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе» .
Количество пирожных это x , а количество чашек кофе это y . Можно записать эту фразу с помощью уравнения x − y = 1. Это уравнение будет означать, что разница между пирожными и кофе составляет 1.
Либо второе уравнение можно записать как x = y + 1 . Это уравнение означает, что количество пирожных на единицу больше, чем количество чашек кофе. Поэтому для получения равенства, к количеству чашек кофе прибавлена единица. Это легко можно понять, если воспользоваться моделью весов, которые мы рассматривали при изучении простейших задач:
Получили два уравнения: 25x + 10y = 200 и x = y + 1. Поскольку значения x и y , а именно 6 и 5 входят в каждое из этих уравнений , то вместе они образуют систему. Запишем эту систему. Если уравнения образуют систему, то они обрамляются знаком системы. Знак системы это фигурная скобка:
Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Метод подстановки
Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.
В нашей системе ничего выражать не нужно. Во втором уравнении x = y + 1 переменная x уже выражена. Эта переменная равна выражению y + 1 . Тогда можно подставить это выражение в первое уравнение вместо переменной x
После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x , получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200 . Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:
Мы нашли значение переменной y . Теперь подставим это значение в одно из уравнений и найдём значение x . Для этого удобно использовать второе уравнение x = y + 1 . В него и подставим значение y
Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:
Пример 2. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:
Подставим первое уравнение x = 2 + y во второе уравнение 3x − 2y = 9 . В первом уравнении переменная x равна выражению 2 + y . Это выражение и подставим во второе уравнение вместо x
Теперь найдём значение x . Для этого подставим значение y в первое уравнение x = 2 + y
Значит решением системы является пара значение (5; 3)
Пример 3. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:
Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.
Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно выразить одну из переменных.
Выражать желательно ту переменную, которая имеет коэффициент единицу. Коэффициент единицу имеет переменная x , которая содержится в первом уравнении x + 2y = 11 . Эту переменную и выразим.
После выражения переменной x , наша система примет следующий вид:
Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y
Подставим y в первое уравнение и найдём x
Значит решением системы является пара значений (3; 4)
Конечно, выражать можно и переменную y . Корни от этого не изменятся. Но если выразить y, получится не очень-то и простое уравнение, на решение которого уйдет больше времени. Выглядеть это будет следующим образом:
Видим, что в данном примере выражать x намного удобнее, чем выражать y .
Пример 4. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:
Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:
Подставим первое уравнение во второе и найдём y
Подставим y в первое уравнение и найдём x . Можно воспользоваться изначальным уравнением 7x + 9y = 8 , либо воспользоваться уравнением , в котором выражена переменная x . Этим уравнением и воспользуемся, поскольку это удобно:
Значит решением системы является пара значений (5; −3)
Метод сложения
Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.
Решим следующую систему уравнений:
Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:
Приведем подобные слагаемые:
В результате получили простейшее уравнение 3x = 27 корень которого равен 9. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x во второе уравнение x − y = 3 . Получим 9 − y = 3 . Отсюда y = 6 .
Значит решением системы является пара значений (9; 6)
Пример 2. Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:
В результате получили простейшее уравнение 5 x = 20, корень которого равен 4. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x в первое уравнение 2 x + y = 11 . Получим 8 + y = 11 . Отсюда y = 3 .
Значит решением системы является пара значений (4;3)
Процесс сложения подробно не расписывают. Его нужно выполнять в уме. При сложении оба уравнения должны быть приведены к каноническому виду. То есть к виду ax + by = c .
Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.
Например, систему можно сразу решить методом сложения. При сложении обоих уравнений, слагаемые y и −y исчезнут, поскольку их сумма равна нулю. В результате образуется простейшее уравнение 11x = 22 , корень которого равен 2. Затем можно будет определить y равный 5.
А систему уравнений методом сложения сразу решить нельзя, поскольку это не приведёт к исчезновению одной из переменных. Сложение приведет к тому, что образуется уравнение 8x + y = 28 , имеющее бесчисленное множество решений.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.
Вернемся к самой первой системе , которая описывала сколько пирожных и чашек кофе купил школьник. Решением этой системы являлась пара значений (6; 5) .
Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3
В результате получили систему
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)
Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.
Вернемся к системе , которую мы не смогли решить методом сложения.
Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2
Тогда получим следующую систему:
Сложим уравнения, входящие в эту систему. Сложение компонентов 12x и −12x даст в результате 0, сложение 18y и 4y даст 22y , а сложение 108 и −20 даст 88. Тогда получится уравнение 22y = 88 , отсюда y = 4 .
Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:
Зная, что значение переменной y равно 4, можно найти значение x. Подставим y в одно из уравнений, например в первое уравнение 2x + 3y = 18 . Тогда получим уравнение с одной переменной 2x + 12 = 18 . Перенесем 12 в правую часть, изменив знак, получим 2x = 6 , отсюда x = 3 .
Пример 4. Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:
Сложим оба уравнения. Сложение компонентов x и −x даст в результате 0, сложение 5y и 3y даст 8y , а сложение 7 и 1 даст 8. В результате получится уравнение 8y = 8 , корень которого равен 1. Зная, что значение y равно 1, можно найти значение x .
Подставим y в первое уравнение, получим x + 5 = 7 , отсюда x = 2
Пример 5. Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:
Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения получим уравнение 8y = 16 , корень которого равен 2.
Подставим y в первое уравнение, получим 6x − 14 = 40 . Перенесем слагаемое −14 в правую часть, изменив знак, получим 6x = 54 . Отсюда x = 9.
Пример 6. Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12
В получившейся системе первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8
Сложим уравнения в получившейся системе. Тогда получим простейшее уравнение −13y = −156 . Отсюда y = 12 . Подставим y в первое уравнение и найдем x
Пример 7. Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как , а правую часть второго уравнения как , то система примет вид:
У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:
Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:
Получается, что система имеет бесчисленное множество решений.
Но мы не можем просто так взять с неба произвольные значения для x и y . Мы можем указать одно из значений, а другое определится в зависимости от значения, указанного нами. Например, пусть x = 2 . Подставим это значение в систему:
В результате решения одного из уравнений, определится значение для y , которое будет удовлетворять обоим уравнениям:
Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:
Найдём еще одну пару значений. Пусть x = 4. Подставим это значение в систему:
На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:
Пример 8. Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12
Перепишем то, что осталось:
Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:
Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения образуется уравнение 6b = 48 , корень которого равен 8. Подставим b в первое уравнение и найдём a
Система линейных уравнений с тремя переменными
В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:
Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z) которая обращает уравнение в тождество.
Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.
Пример 1. Решить следующую систему уравнений методом подстановки:
Выразим в третьем уравнении x . Тогда система примет вид:
Теперь выполним подстановку. Переменная x равна выражению 3 − 2y − 2z . Подставим это выражение в первое и второе уравнение:
Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:
Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z
Теперь найдём значение y . Для этого удобно воспользоваться уравнением −y + z = 4. Подставим в него значение z
Теперь найдём значение x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 3 − 2y − 2z . Подставим в него значения y и z
Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:
Пример 2. Решить систему методом сложения
Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.
Если второе уравнение умножить на −2, то оно примет вид −6x + 6y − 4z = −4 . Теперь сложим его с первым уравнением:
Видим, что в результате элементарных преобразований, определилось значение переменной x . Оно равно единице.
Вернемся к главной системе. Сложим второе уравнение с третьим, умноженным на −1. Если третье уравнение умножить на −1, то оно примет вид −4x + 5y − 2z = −1 . Теперь сложим его со вторым уравнением:
Получили уравнение x − 2y = −1 . Подставим в него значение x , которое мы находили ранее. Тогда мы сможем определить значение y
Теперь нам известны значения x и y . Это позволяет определить значение z . Воспользуемся одним из уравнений, входящим в систему:
Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:
Задачи на составление систем линейных уравнений
Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.
Задача 1. Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?
Решение
Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как x + y = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.
Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как x − y = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.
Либо второе уравнение можно записать как x = y + 5 . Этим уравнением и воспользуемся.
Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:
Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.
Подставим второе уравнение в первое и найдём y
Подставим найденное значение y в во второе уравнение x = y + 5 и найдём x
Длина первой дороги была обозначена через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 20. Значит длина первой дороги составляет 20 км.
А длина второй дороги была обозначена через y . Значение этой переменной равно 15. Значит длина второй дороги составляет 15 км.
Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:
Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.
Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км
Следующее условие: обратно машина возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой . Видим, что решение (20; 15) удовлетворяет и этому условию, поскольку 15 км короче, чем 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км
При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.
Так наша система содержит два уравнения. Эти уравнения в свою очередь содержат переменные x и y , которые обозначают одни и те же числа в обоих уравнениях, а именно длины дорог, равных 20 км и 15 км.
Задача 2. На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.
Решение
Пусть x дубовых и y сосновых шпал было погружено на платформу. Если всего шпал было 300, то первое уравнение можно записать как x + y = 300 .
Все дубовые шпалы весили 46x кг, а сосновые весили 28y кг. Поскольку дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем сосновые, то второе уравнение можно записать, как 28y − 46x = 1000 . Это уравнение показывает, что разница масс между дубовыми и сосновыми шпалами, составляет 1000 кг.
В результате получаем два уравнения, которые образуют систему
Решим данную систему. Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:
Подставим первое уравнение во второе и найдём y
Подставим y в уравнение x = 300 − y и узнаем чему равно x
Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.
Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:
Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.
Следующее условие: все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые . Видим, что решение (100; 200) удовлетворяет и этому условию, поскольку 46 × 100 кг дубовых шпал легче, чем 28 × 200 кг сосновых шпал: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.
Задача 3. Взяли три куска сплава меди с никелем в отношениях 2 : 1 , 3 : 1 и 5 : 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4 : 1 . Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго.
Решение
Пусть x — масса первого куска, y — масса второго куска, z — масса третьего куска. Если из этих кусков сплавлен кусок массой 12 кг, то первое уравнение можно записать как x + y + z = 12 .
Масса первого куска вдвое больше массы второго куска. Тогда второе уравнение можно записать как x = 2y .
Полученных двух уравнений недостаточно для решения данной задачи. Если второе уравнение подставить в первое, то мы получим уравнение 2y + y + z = 12 , откуда 3y + z = 12 . Это уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Составим ещё одно уравнение. Пусть это уравнение будет описывать количество меди, взятого с каждого сплава и сколько меди оказалось в получившемся сплаве.
Если первый сплав имеет массу x , а медь и никель находится нём в отношении 2 : 1 , то можно записать, что в новом сплаве содержится меди от первого куска.
Если второй сплав имеет массу y , а медь и никель находится в нём в отношении 3 : 1 , то можно записать, что в новом сплаве содержится меди от второго куска.
Если третий сплав имеет массу z , а медь и никель находится в отношении 5 : 1 , то можно записать, что в новом сплаве содержится меди от третьего куска.
Полученный сплав имеет имеет массу 12 кг, а медь и никель находится в нём в отношении 4 : 1 . Тогда можно записать, что в полученном сплаве содержится меди.
Сложим , , и приравняем эту сумму к 9,6. Это и будет нашим третьим уравнением:
Попробуем решить данную систему.
Для начала упростим третье уравнение. Подставим в него второе уравнение и посмотрим, что из этого выйдет:
Теперь в главной системе вместо уравнения запишем уравнение, которое мы сейчас получили, а именно уравнение 25y + 10z = 115,2
Подставим второе уравнение в первое:
Умножим первое уравнение на −10 . Тогда система примет вид:
Сложим оба уравнения. Тогда получим простейшее уравнение −5y = −4,8 откуда найдём y равный 0,96 . Значит масса второго сплава составляет 0,96 кг .
Теперь найдём x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 2y. Значение y уже известно. Осталось только подставить его:
Значит масса первого сплава составляет 1,92 кг .
Теперь найдём z . Для этого удобно воспользоваться уравнением x + y + z = 12 . Значения x и y уже известны. Подставим их куда нужно:
Значит масса третьего сплава составляет 9,12 кг.
http://vmath.ru/vf5/algebra2/linearsystems
http://spacemath.xyz/sistemy-linejnyh-uravnenij/