Канонические уравнения невырожденных поверхностей второго порядка

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Каноническое уравнение поверхности второстепенный Определяет его геометрическую форму в соответствии с заданным уравнением квадратичной поверхности (т. Е. Поверхности, у которой уравнение декартовой системы координат является квадратичным алгебраическим уравнением). фДля этого мы применяем так называемый метод section.

1. эллипсоид Изучите поверхность, заданную уравнением x2 y2 z2 Рассмотрим сечение (1) поверхности с плоскостью, параллельной плоскости xOy. Уравнение для такой плоскости: z = A, где h — любое число. Линия, полученная в сечении, определяется двумя уравнениями x2. £ _ n h2 7 + V

1 «(2) z = h. Изучите уравнение (2): 2 а) Если / / i |> c, c> 0, то + pr Людмила Фирмаль

2 2 б) если \ h \ = c, т.е. h = ± c, ^ r + pg

0-пересечение (2) Уменьшите до двух точек (0; 0; c) и (0; 0; -c). Плоскости z-c и r = -c касаются указанной поверхности. c) Если | | i | Примеры решения и задачи с методическими указаниями

Решение задач	Лекции
Сборник и задачник	Учебник

fx2 h2 [* 2 i, y2 u = U = l. Как видите, эта линия представляет собой полуосевой эллипс b1 = + и 6, = 1 + Полуось ai достигает минимального значения при Л = 0. Qi = a, & i = 6. По мере увеличения полуось эллипса увеличивается.Если вы пересекаете грань (3) с плоскостью x = h или y = A, вы получите гиперболу в поперечном сечении. Например, найдите пересечение поверхности (3), которая является уравнением (x = 0), и плоскости Ойза. Эта линия пересечения является уравнением Как видите, эта линия — гипербола. Анализ этих разделов показывает, что поверхность, определяемая уравнением (3), имеет бесконечно расширяющуюся форму трубки.

Примечание. Вы можете доказать, что в любой точке (3) на гиперболоиде есть две линии. 2 гиперболоида Поверхность задается уравнением 2-, 2 2 Jr + Jr-FR — 1-. (4) Если поверхность (4) пересекает плоскость r = h, линия пересечения определяется уравнением (X2 l Y1 h2

7 «lj (5) (Z- / г. Это так. а) Если если | / i | Людмила Фирмаль

c) Для \ h > c уравнение (5) можно переписать в виде:f + f8 i 1 Эти уравнения определяют эллипс, полуось которого равна [A | Пересечение поверхности (4) с координатными плоскостями Oyz (x = 0) и Oagg (y = 0) приводит к уравнению в гиперболическом сечении.У каждого есть форма .2 2 x2 б Z _ 1 — t — 1 и -g _ 1 ? В обеих гиперболах действительной осью является ось O-g.

Используя метод поперечного сечения, поверхность, определенная уравнением (4), может быть нарисована как поверхность, состоящая из двух полостей с бесконечной выпуклой формой чаши. Поверхность (4) называется двухрезонаторным гиперболоидом. 3. Параболоид Эллиптический параболоид Изучите поверхность, заданную уравнением -4- = 2z, P I Где p> 0, q> 0. Разрезать поверхность (б) в плоскости сечения d и уравнение (6) ч. в

П я z = h. Если h 0, сечение Имеет эллипс уравнений + J / 1 = 1 2pK + 2qh ‘ .g = ч Его полуось увеличивается с увеличением h. При пересечении поверхности (6) в координатной плоскости g2 y2 Oxz и Oyz получают parabola.r = u и 2 = u соответственно. Следовательно, поверхность, определяемая уравнением (b), имеет форму выпуклой бесконечной чаши. Поверхность (6) называется эллиптическим параболоидом.

Гиперболическая парабола Изучите поверхность, определяемую уравнением X2 U2 —— = (7) П я Где p> 0, q> 0. Разрезать плоскость (7) с плоскостью z = h. Вы получаете кривую 2 ph 2 qh ‘z = h Это гипербола для всех значений h ^ 0. Если h> 0, то Действительная ось параллельна оси Ox. если h

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

(15.22)

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями.

1. Эллипсоид: (рис. 15.1).

2. Конус второго порядка: (рис. 15.2).

3. Гиперболоиды

1) однополостный:

(рис. 15.3);

2) двуполостный:

(рис. 15.4).

Рис. 15.3 Рис. 15.4

4. Параболоиды

1) эллиптический:

(рис. 15.5);

2) гиперболический:

(рис.15.6).

Рис. 15.5 Рис. 15.6

5. Цилиндры

1) эллиптический:

(рис. 15.7);

2) гиперболический:

(рис. 15.8);

Рис. 15.7 Рис. 15.8

3) параболический: (рис. 15.9).

Основным методом исследования формы поверхности является метод параллельных сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о типе поверхности. Таким образом можно изучать основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.

В определенных случаях уравнение (15.22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим, так называемые, вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев:

– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

– точка (0, 0, 0);

– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);

– прямая (ось Oz);

– пара пересекающихся плоскостей;

– пара параллельных плоскостей;

– пустое множество точек;

– плоскость (пара совпадающих плоскостей).

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

Решение. 1) Воспользуемся методом выделения полных квадратов.

Преобразуем левую часть уравнения:

Значит, заданное уравнение равносильно уравнению

или

Имеем уравнение однополостного гиперболоида, центр которого находится в точке (–1, 1, 2). Его ось симметрии – прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (–1, 1, 2).

2) Поскольку

то заданное уравнение равносильно уравнению

или что приводит окончательно к уравнению гиперболического параболоида смещенного в точку (–1, 0, 1).

3) Выделяем полные квадраты в выражении, стоящем в левой части уравнения:

Поэтому заданное уравнение принимает вид:

или (после деления на 36)

Это уравнение эллипсоида с центром в точке (3, – 1, 2).

4. Методом выделения полных квадратов уравнение приводится к уравнению

т. е.

Почленное деление на 36 дает:

Это уравнение эллиптического цилиндра, смещенного в точку
(–2, 5, 0).

Пример 2. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее:

Решение. Для исследования геометрических свойств и формы поверхности используем метод сечений.

Определим сечение поверхности плоскостями где параллельными координатной плоскости Oxy:

Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнением

(15.23)

Уравнение (15.23) при не имеет решений относительно Это означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости При уравнение (15.23) определяет эллипс

с полуосями и вырождающийся в точку (0, 0, 1) при Заметим, что все эллипсы, которые получаются в сечениях поверхности плоскостями подобны между собой, причем с уменьшением h их полуоси неограниченно монотонно возрастают.

Дальнейшее уточнение формы можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:

В первом случае имеем кривую т. е. параболу с параметром вершиной в точке и ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz. Во втором – параболу с параметром вершиной в точке и аналогичным направлением ветвей.

Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 15.10). Это эллиптический параболоид с вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значений z с осью симметрии Oz.

Пример 3. Построить тело, ограниченное поверхностями

Решение. Уравнение задает плоскость. Перейдя к уравнению плоскости «в отрезках», получим:

т. е. плоскость пересекает координатные оси в точках (3, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 3) соответственно.

Уравнение задает круговой цилиндр, осью которого служит Oz. Уравнение определяет координатную плоскость Oxy.

Сделаем рисунок тела (рис. 15.11, 15.12), ограниченного заданными поверхностями.

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду: