Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Нахождение уравнений прямой, заданной пересечением двух плоскостей
Этот онлайн калькулятор находит уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей в пространстве.
Этот онлайн калькулятор предназначен для проверки решений задач, которые можно сформулировать следующим образом:
Записать канонические уравнения прямой, заданной уравнениями двух плоскостей
Вы задаете коэффициенты уравнений плоскостей, калькулятор выдает уравнения прямой в канонической форме. Немного теории, как обычно, можно почерпнуть под калькулятором
Нахождение уравнений прямой, заданной пересечением двух плоскостей
Канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей
Если плоскости пересекаются, то система уравнений, приведенная в начале статьи, задает прямую в пространстве. Для записи уравнений этой прямой в каноническом виде, надо найти какую либо точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор.
Точка, принадлежащая прямой, также принадлежит и каждой из плоскостей, то есть является одним из решений системы уравнений выше. Для нахождения точки, принадлежащей прямой, переходят от системы из двух уравнений с тремя неизвестными к системе из двух уравнений с двумя неизвестными, произвольно принимая какую-либо координату точки за ноль. Как правило, при решении задач, выбирают ту координату, при занулении которой решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными дает в ответе целые числа. Калькулятор учитывает этот факт и также пытается найти целочисленное решение, зануляя все координаты по очереди.
Направляющий вектор прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей, которые задаются коэффициентами A, B и С в общем уравнении плоскости . Таким образом его можно найти как результат векторного произведения нормальных векторов плоскостей .
Точка и вектор дают нам канонические уравнения прямой:
Существуют частные случаи, когда одна или две координаты направляющего вектора равны нулю.
В случае, если нулю равны две координаты, направляющий вектор коллинеарен одной из координатных осей. Соответственно, точки прямой могут принимать любое значение по этой оси, при этом значения по двум другим осям будут постоянны. Например, если двумя нулевыми координатами будут y и z, канонические уравнения прямой будут выглядеть так:
В случае. если нулю равна одна координата, направляющий вектор лежит в одной из координатных плоскостей (плоскостей, образованных парами координатных осей), значение координаты по третьей оси, ортогональной этой плоскости (как раз той, для которой координата направляющего вектора равна нулю), опять будет постоянным. Например, если нулевой координатой будет x, то канонические уравнения прямой будут выглядеть так:
Эти случаи также учитываются калькулятором.
Расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам
| Элементы кривой второго порядка или координаты |
| Уравнения Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 |
| A= |
| B= |
| C= |
| D= |
| E= |
| F= |
| Полученная формула | ||||||||||||||||||
| Коэффициенты через пробел Калькулятор предназначен для расчета и создания уравнения кривых второго порядка на декартовой плоскости по нескольким точкам, от двух до пяти. Не является секретом то, что уравнение кривой второго порядка может быть представлена формулой Мы будем использовать чуть измененную формулу, разделив все коэффициенты на a6 отсюда видно, что кривую второго порядка можно однозначно определить по пяти точкам. Кривая второго порядка при различных коэффициентах может превращатся в следующие «типы»: — пара пересекающихся прямых — пара паралельных несовпадающих прямых — пары совпадающих прямых — линии, вырождающиеся в точку — «нулевые линии», то есть «линии», вовсе не имеющие точек Если Вам интересны формулы при которых получаются все эти типы, то пожалуйста — пара пересекающихся прямых — пара параллельных прямых — пара совпадающих прямых Этот сервис позволяет Вам по заданным точкам определить, какую же кривую второго порядка провести через эти точки. Кроме этого, Вы увидите все основные параметры полученной кривой второго порядка. От Вас лишь понадобится предоставить боту от двух до пяти декартовых координат, что бы бот мог решить эту задачу. ИНВАРИАНТЫ И СВОДНАЯ ТАБЛИЦАЛюбая кривая второго порядка характеризуется тремя инвариантами, имеющими вид И одним семиинвариантом если Вам интересно, откуда они появились, то рекомендуем прочитать книгу «Аналитическая геометрия — Делоне» Характеристическое уравнение кривой второго порядка: Таким образом сводная таблица имеет вид
Анализируя написанные онлайн калькуляторы по этой теме, нашел интересную «особенность». Попробовав рассчитать по трем точкам кривую второго порядка, зная что эти точки принадлежат окружности, я с завидным постоянством получал ответ, что графиком(формой)полученного уравнения кривой является эллипс. Нет формально, конечно стоит признать что окружность является частным примером эллипса, но ведь можно пойти дальше и признать что и эллипс и гипербола и парабола, являются лишь частным примером кривой второго порядка общего вида, и в ответах таких калькуляторов выдавать ответ пользователю «вы получили уравнение второго порядка» и всё. не соврали же. Такое сверхлегкое трактование и смешение определений геометрических фигур, никак не способствует пониманию и сути решаемых задач. Это как в анекдоте «А теперь нарисуем квадрат со сторонами 3 на 4″(с) И не поймешь то ли рисовать квадрат, то ли прямоугольник. СИНТАКСИСJabber: kp2 Строкой является список чисел разделенное пробелами. А каждое «число» представляет собой абсциссу и ординату точки разделенные двоеточием. Координат или их «замен» должно быть ровно шесть То есть если мы знаем пять координат то 6 элементом у нас будет единица. В вкладке Пример Вы сможете увидеть решения некоторые. Если в строке есть числа не имеющие : то это означает что это неизменяемый соответствующий коэффициент кривой второго порядка. Например если в строке стоит ноль на первой позиции строки то это означает что A1=0 Бот вычисляет численные параметры кривой. Если же Вам надо нарисовать кривую второго порядка на плоскости, просьба использовать программу GeoGebra и материал Построить график функции c помощью GeoGebra ПРИМЕРЫНачнем сразу с проверочного примера Вообще, убедимся правильно ли считает бот? Итак, есть у нас функция x*x+3x-11=y определим значения при x=1,2,3,4,5 значения получились такие y=-7,-1,7,17,29 и зададим эти точки в качестве исходных пишем kp2 1:-7 2:-1 3:7 4:17 5:29 в результате получаем следующее: На первый взгляд получилось далеко не то, что должно получится. Но если мы уберем нулевые коэффициенты, и разделим все на 0.09091 то результат будет такой то есть Что и требовалось доказать в качестве правильности расчетов нашего бота. Теперь пусть у нас есть всего лишь три точки С координатами x=1,2,3 и y=-7,-1,7 Логично, что это тоже самое уравнение параболы что мы разбирали в первом примере. НО! при трех точках такое решение не единственное. Давайте попробуем задать боту всего три координаты и скажем ему какого вида уравнение мы хотим получить. Это частное уравнение кривой второго порядка в котором коэффициенты а1 и а5 равны нулю Скажем об этом боту kp2 0 1:-7 2:-1 3:7 0 1 где 0- показывает какие коэффициенты нам НЕ надо учитывать, а 1 — это постоянный коэффициент, то есть его находить нет необходимости. Он известен. Видим что не учитываем 1 и 5 коэффициент. Кривая второго порядка a1*x*x+a2*y*y+a3*x*y+a4*x+a5*y+a6 = 0 источники: http://planetcalc.ru/8815/ http://abakbot.com/ru/online-2/krivaya-two |
