Каноническое уравнение эллиптического параболоида его изображение

I. Теоретические сведения. 1. Эллиптический параболоид.

1. Эллиптический параболоид.

Определение. Эллиптическим параболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (1)

Уравнение (1) – каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Из уравнения параболоида следует:

1) Все точки эллиптического параболоида лежат выше плоскости xOy;

2) Плоскости симметрии эллиптического параболоида: yOz, xOz;

ось симметрии эллиптического параболоида: Oz;

центра симметрии у эллиптического параболоида нет.

3) Вершина эллиптического параболоида: О(0; 0; 0) – начало координат.

Исследование эллиптического параболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(2)

. (3)

а) Если , то линия пересечения эллипс;

б) если , то линия пересечения мнимый эллипс;

в) если , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся прямых с действительной точкой пересечения.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(4)

. (5)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу ;

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(6)

. (7)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, ветви направлены вверх. В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу .

2. Гиперболический параболоид.

Определение. Гиперболическим параболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (8)

Уравнение (8) – каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Из уравнения параболоида следует:

1) Гиперболический параболоид поверхность неограниченная;

2) Плоскости симметрии гиперболического параболоида: yOz, xOz;

ось симметрии: Oz;

центра симметрии у гиперболического параболоида нет.

3) Вершина: О(0; 0; 0) – начало координат.

Исследование гиперболического параболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(9)

. (10)

а) Если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Ох;

б) если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Oy;

в) если , то линия пересечения пара действительных пересекающихся прямых.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(11)

. (12)

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(13)

Или

. (14)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, ветви направлены вниз. В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу .

3. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Определение. Прямая l называется прямолинейной образующей поверхности второго порядка, если каждая точка этой прямой лежит на поверхности.

Очевидно, что образующие конических и цилиндрических поверхностей являются прямолинейными образующими. Кроме того, прямолинейные образующие имеют однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. У однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида существует два семейства прямолинейных образующих, таких что:

1) через каждую точку поверхности проходят по одной прямолинейной образующей из каждого семейства;

2) любые две прямолинейные образующие одного семейства являются скрещивающимися.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида задаются следующими системами уравнений:

I. II. (15)

где k и l – любые числа.

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида задаются следующими системами уравнений:

I. II. (16)

Дата добавления: 2014-12-30 ; просмотров: 30 ; Нарушение авторских прав

Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(7)

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

или (8)

из которых следует, что при плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h 0, q>0.

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение

(10)

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.

рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения

или

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h 0 и h

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду: