Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5) Здесь надо сначала привести к нормальному виду. 3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5) Возводим в квадрат 9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5 9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0 9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него: 9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5 9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5 9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9 9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9 -1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам
Две точки с координатами
Первая координата
Вторая координата
Каноническое уравнение гиперболы
Большая полуось гиперболы
Малая/мнимая полуось гиперболы
Эксцентриситет гиперболы
Фокальный параметр
Фокальное расстояние
Перицентрическое расстояние
Уравнение гиперболы в каноническом виде имеет вот такой вид.
Так же как и при расчете уравнения эллипса по двум точкам, мы можем по двум точкам однозначно построить гиперболу, выраженную через вышеуказанную формулу.
Используя универсальный калькулятор расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам, мы легко определим значения и
Кроме этого, зная эти параметры можно рассчитать следующее:
Большая полуось — расстояние от центра гиперболы, до одной из вершин
Фокальное расстояние — расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов
Мнимая полуось — расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат
Связь между тремя параметрами выражена в одной формуле
Эксцентриситет — коэффициент, численно равный, отношению фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы
Перицентрическое расстояние — расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы
Примеры задач
Cоставить каноническое уравнение гиперболы по двум точкам
Вводим данные в поля ввода. Можем писать как выражение, учитвая что квадратный корень обозначается sqrt, а можем сначала получить численные значения и подставить уже окончательные результаты.
В результате получим
Каноническое уравнение гиперболы
Большая полуось гиперболы
Малая/мнимая полуось гиперболы
Эксцентриситет гиперболы
Фокальный параметр
Фокальное расстояние
Перицентрическое расстояние
Есть небольшая погрешность в вычислениях, вместо 2.9999999999 должно быть 3. Но думаю, что клиенты отнесутся с снисхождением, к одной десяти миллионной погрешности.
d — \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c
n — n-\u0439 \u0447\u043b\u0435\u043d \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 $$ d = \\frac$$
m — m-\u0439 \u0447\u043b\u0435\u043d \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 $$ d = \\frac<2*\\frac-2a_1>$$
S — \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u0438 \n
With this calculator find the nth term of arithmetic sequence, calculate common difference, sum of arithmetic sequence.
What is arithmetic sequence? \n
Arithmetic sequence (algebraic) or arithmetic progression is a list of numbers (progression members) in which each number, starting from the second, is obtained from the previous one by adding to it a constant number d known as common difference . \n
Definition: An arithmetic sequence is a sequence of the form $$ a, \\ a+d, \\ a+2d, \\ a+3d, \\ a+4d. $$ \n
If the first term a and common difference d of the arithmetic sequence are known, then it is possible to calculate any member of the arithmetic sequence: $$ a_1 \\ a_2 = a_1+d \\ a_3 = a_2+d=a_1+2d \\ a_4=a_3+d=a_1+3d \\ . $$ \n
How to find the arithmetic sequence? \n
The nth term of the arithmetic sequence can be obtained by adding (n \u2212 1) differences to the first term of the progression. \n
The general formula of the arithmetic sequence: $$ a_n = a+d*(n-1) $$ where n — is the nth term of an arithmetic sequence, a — is the first member of the sequence, d — is the common difference. \n
given an arithmetic sequence ($ a_n $), where a = 0 and d = 2.
Find the 10th element of an arithmetic sequence $$ a_n = a + d(n-1) = \\implies a_ <10>= 0 + 2 * (10 -1) = 2*9 = 18 $$ \n
What is the common difference in arithmetic sequence? \n
The common difference-(d, step, progression difference) is the difference between the next and the previous term of the arithmetic sequence.
If the common difference of the arithmetic sequence is positive, then such a sequence called increasing arithmetic sequence , if the difference is negative, then decreasing arithmetic sequence . \n
How to find common difference in arithmetic sequence? \n
The common difference of the arithmetic sequence can be calculated using the following formulas: $$ d = a_ — a_n $$
d — common difference
n — nth term of arithmetic sequence $$ d = \\frac$$
m — m-th term of arithmetic sequence $$ d = \\frac<2*\\frac-2a>$$
S — sum of arithmetic sequence
a — first element of arithmetic sequence \n
What is sum of arithmetic sequence? \n
The sum of an arithmetic progression is the result of the addition of all terms in a row. $$ S_n = \\displaystyle\\sum_^ a_i = n=<2a_1 + d(n-1) \\over 2>n=n $$ \n
Arithmetic sequence sum formula:
$$ S_n = n* \\left(\\frac<2>\\right) $$ $$ S_n = \\frac<2>*(2a+d*(n-1)) $$ «,»meta_title»:»Arithmetic sequence calculator»,»meta_keyword»:»arithmetic sequence, arithmetic progression, arithmetic progression calculator, arithmetic progression definition, arithmetic progression formula, arithmetic sequence calculator»,»meta_description»:»Arithmetic progression (algebraic) is a sequence of numbers (progression members) in which each number, starting from the second, is obtained from the previous one by adding to it a constant number d (step, or progression difference).»>,<"id":368,"conversion_id":184,"locale":"ru","title":"\u0410\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u044f","url":"Arifmeticheskaya-progressiya","abbreviation":"a\u2099","summary":"
d — \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c
n — n-\u0439 \u0447\u043b\u0435\u043d \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 $$ d = \\frac$$
m — m-\u0439 \u0447\u043b\u0435\u043d \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 $$ d = \\frac<2*\\frac-2a_1>$$
S — \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u0438 \n
