Каноническое уравнение мнимых пересекающихся прямых

Исследование уравнений второго порядка

Преобразование координат в уравнении второго порядка.

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением
$$
Ax^ <2>+ 2Bxy + Cy^ <2>+ 2Dx + 2Ey + F = 0,\label
$$
в котором коэффициенты $A$, $B$ и $C$ не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения \eqref не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол $\varphi$ старые координаты точки $x$, $y$ будут связаны с ее новыми координатами $x’$, $y’$ формулами
$$
x = x’\cos \varphi-y’\sin \varphi,\\ y = x’\sin \varphi + y’\cos \varphi.\nonumber
$$
В новых координатах уравнение \eqref примет вид
$$
A(x’\cos \varphi-y’\sin \varphi)^ <2>+ 2B(x’\cos \varphi-y’\sin \varphi) \times \\ \times (x’\sin \varphi + y’\cos \varphi) + C(x’\sin \varphi + y’\cos \varphi) + … = 0.\nonumber
$$
Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно $x’$, $y’$ и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением $x’y’$ в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при $x’y’$ есть
$$
B’ = -A\sin \varphi \cos \varphi + B(\cos^<2>\varphi-\sin^<2>\varphi) + C\sin \varphi \cos \varphi.\nonumber
$$
Если $B = 0$, то поворачивать систему координат не будем. Если же $B \neq 0$, то выберем угол $\varphi$ так, чтобы $B’$ обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению
$$
2B \cos 2\varphi = (A-C)\sin 2\varphi.\label
$$
Если $A = C$, то $\cos 2\varphi = 0$, и можно положить $\varphi = \pi/4$. Если же $A \neq C$, то выбираем $\varphi = \displaystyle\frac<1> <2>\operatorname \left[\frac<2B>\right]$. Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение
$$
A’x’^ <\ 2>+ C’y’^ <\ 2>+ 2D’x’ + 2E’y’ + F’ = 0.\label
$$
Выражения для коэффициентов уравнения \eqref через коэффициенты \eqref подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Если в уравнение \eqref входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, $A’ \neq 0$. Перепишем \eqref в виде
$$
A’\left(x’^ <\ 2>+ \frac<2D’>x’ + \frac>>\right) + C’y’^ <\ 2>+ 2E’y’ + F’-\frac = 0.\nonumber
$$
Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами $x″ = x’ + D’/A’$, $y″ = y’$, то уравнение приведется к виду
$$
A’x″^ <\ 2>+ C’y″^ <\ 2>+ 2E’y″ + F″ = 0,\nonumber
$$
как и требовалось.

Канонические виды уравнений второго порядка.

Предположим, что $A’C’ \neq 0$, то есть оба коэффициента отличны от нуля. Согласно утверждению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду
$$
A’x″^ <\ 2>+ C’y″^ <\ 2>+ F″ = 0.\label
$$

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

Случай A’C’ > 0.

Если $A’C’ > 0$, то коэффициенты $A’$ и $C’$ имеют один знак. Для $F″$ имеются следующие три возможности.

>> + \frac>> = 1,\label
$$
где $a^ <2>= -F″/A’$, $b^ <2>= -F″/C’$. Можно считать, что в этом уравнении $a > 0$, $b > 0$ и $a \geq b$. Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат
$$
x^ <*>= y″,\ y^ <*>= x″.\label
$$

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref при условии $a \geq b$, называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат.

При $a = b$ уравнение \eqref есть уравнение окружности радиуса $a$. Таким образом, окружность — частный случай эллипса.

Знак $F″$ совпадает с общим знаком $A″$ и $C″$. Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду
$$
\frac>> + \frac>> = -1,\label
$$
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду \eqref, называется уравнением мнимого эллипса.

$F″ = 0$. Уравнение имеет вид
$$
a^<2>x″^ <\ 2>+ c^<2>y″^ <\ 2>= 0.\label
$$
Ему удовлетворяет только одна точка $x″ = 0$, $y″ = 0$. Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref, называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с приведенным ниже уравнением \eqref.

Случай A’C’ Определение.

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref, называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат — ее канонической системой координат.

Случай $A’C’ = 0$.

Допустим теперь, что $A’C’ = 0$, и, следовательно, один из коэффициентов $A’$ или $C’$ равен нулю. В случае необходимости, делая замену \eqref, мы можем считать, что $A’ = 0$. При этом $C \neq 0$, так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя утверждение 1, мы приведем уравнение к виду
$$
C’y″^ <\ 2>+ 2D’x″ + F″ = 0.\nonumber
$$

Пусть $D’ \neq 0$. Сгруппируем члены следующим образом:
$$
C’y″^ <\ 2>+ 2D’\left(x″ + \frac<2D’>\right) = 0.\nonumber
$$
Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода $x^ <*>= x″ + F″/2D’$, $y^ <*>= y″$. Тогда уравнение примет вид
$$
C″y^ <*2>+ 2D’x^ <*>= 0,\nonumber
$$
или
$$
y^ <*2>= 2px^<*>,\label
$$
где $p = -D’/C″$. Мы можем считать, что $p > 0$, так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: $\tilde = -x^<*>$, $\tilde = y^<*>$.

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref при условии $p > 0$, называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат — ее канонической системой координат.

Допустим, что $D’ = 0$. Уравнение имеет вид $C’y″^ <\ 2>+ F″ = 0$. Относительно $F″$ есть следующие три возможности.

Если $C’F″ 0$ знаки $C’$ и $F″$ совпадают. Разделив на $C’$, приведем уравнение к виду
$$
y″^ <\ 2>+ a^ <2>= 0.\label
$$
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
Остался последний случай $F″ = 0$. После деления на $C’$ уравнение принимает вид
$$
y″^ <\ 2>= 0.\label
$$
Это уравнение эквивалентно уравнению $y″ = 0$, и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref, называется уравнением пары совпавших прямых.

Теперь мы можем объединить всё вместе.

Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка \eqref.

Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

Уравнение эллипса.
$$
\frac>> + \frac>> = 1;\nonumber
$$
Мнимый эллипс. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
$$
\frac>> + \frac>> = -1;\nonumber
$$
Уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (точка).
$$
a^<2>x^ <2>+ c^<2>y^ <2>= 0;\nonumber
$$
Уравнение гиперболы.
$$
\frac>>-\frac>> = 1;\nonumber
$$
Пересекающиеся прямые.
$$
a^<2>x^<2>-c^<2>y^ <2>= 0;\nonumber
$$
Уравнение параболы.
$$
y^ <2>= 2px;\nonumber
$$
Пара параллельных прямых.
$$
y^<2>-a^ <2>= 0;\nonumber
$$
Пара мнимых параллельных прямых. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
$$
y^ <2>+ a^ <2>= 0;\nonumber
$$
Прямая (пара совпавших прямых).
$$
y^ <2>= 0.\nonumber
$$

Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты

которых удовлетворяют уравнению вида:

в котором, по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ не равен нулю.

Инварианты кривых второго порядка.

Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:

— инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

— инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.

Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

— Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое

уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого

эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);

уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);

— Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют

уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных

(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;

— Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;

Таким образом, виды кривых второго порядка:

Канонический вид уравнений второго порядка.

Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному

каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты

Δ, D, I и корни характеристического уравнения .

источники:

http://www.calc.ru/1478.html