Каноническое уравнение прямой на плоскости перпендикулярной

Уравнения прямой, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна к заданной плоскости.

В этой статье мы разберемся с нахождением уравнений прямой, которая в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве проходит через заданную точку и перпендикулярна к заданной плоскости. Сначала разберем принцип составления уравнений такой прямой, после чего перейдем к решению задач.

Навигация по странице.

Принцип составления уравнений прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости.

Прежде чем приступить к составлению уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости, освежим в памяти один момент.

В 10 классе на уроках геометрии доказывается теорема: через любую точку трехмерного пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная к заданной плоскости. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую, указав точку, через которую она проходит, и плоскость, к которой она перпендикулярна.

Сформулируем условие задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка , плоскость и требуется написать уравнения прямой a , проходящей через точку М₁ перпендикулярно к заданной плоскости .

Решим эту задачу.

Нам известны координаты точки M₁ , через которую проходит прямая a , уравнения которой нам требуется найти. Но этого мало, чтобы записать уравнения прямой a . Если мы будем знать еще координаты направляющего вектора прямой a , то сможем записать канонические уравнения прямой a в пространстве и параметрические уравнения прямой a в пространстве.

Как же определить координаты направляющего вектора прямой a ? Да очень просто. Так как по условию прямая a перпендикулярна к плоскости , то нормальный вектор плоскости является направляющим вектором прямой a . Таким образом, нам остается отыскать координаты нормального вектора плоскости , принять их за соответствующие координаты направляющего вектора прямой a и записать требуемые уравнения прямой a .

В свою очередь координаты нормального вектора плоскости находятся в зависимости от способа задания плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz . Если плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz отвечает общее уравнение плоскости вида , то нормальным вектором плоскости является вектор . Если плоскость задается уравнением плоскости в отрезках , то от него следует перейти к общему уравнению плоскости , откуда станут видны координаты нормального вектора плоскости : . Если плоскость задана каким-либо другим способом (например, с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой, или с помощью уравнений двух пересекающихся прямых, или с помощью уравнений двух параллельных прямых), то на основании этих данных следует определить общее уравнение плоскости , откуда получить координаты ее нормального вектора.

Итак, задача нахождения уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к заданной плоскости, решена. Осталось лишь рассмотреть несколько решенных примеров.

Примеры нахождения уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к заданной плоскости.

В этом пункте статьи мы приведем подробные решения наиболее характерных задач, в которых находятся уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.

Начнем с самого простого случая, когда требуется написать уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к одной из координатных плоскостей.

Напишите канонические уравнения прямой a , которая проходит через точку и перпендикулярна координатной плоскости Oyz .

Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор . Так как прямая a перпендикулярна плоскости Oyz , то является ее направляющим вектором. Итак, мы знаем координаты точки, лежащей на прямой a , и координаты ее направляющего вектора, то есть, можем написать ее канонические уравнения: .

.

Аналогично решается задача, в условии которой даны координаты точки, через которую проходит прямая, и задана плоскость с помощью общего уравнения плоскости.

Составьте параметрические уравнения прямой a , проходящей через точку перпендикулярно к плоскости .

Направляющим вектором прямой a является нормальный вектор плоскости , то есть, . Теперь мы можем записать требуемые уравнения прямой a . Они имеют вид .

.

В заключении рассмотрим пример составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к плоскости, заданной тремя не лежащими на одной прямой точками.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки . Напишите уравнения прямой a , проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскости ABC .

Направляющим вектором прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскости АВС , является нормальный вектор плоскости АВС . Нормальным вектором плоскости АВС является векторное произведение векторов и . Найти указанное векторное произведение мы сможем, если будем знать координаты векторов и . Вычислим координаты векторов и по координатам точек А , В и С (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала): .

Тогда, , а в координатной форме (при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора).

Теперь мы можем записать требуемые уравнения прямой a , которая проходит через точку и перпендикулярна к плоскости ABC : .

Приведем второй способ решения этой задачи.

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А , В и С , , откуда виден нормальный вектор этой плоскости . Далее принимаем этот вектор за направляющий вектор прямой a и записываем ее уравнения.

.

Уравнение перпендикулярной прямой

Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).

Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /₉x – 1 /₃ (a = 4 /₉). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости

Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M₀(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :

(4)

Подставляя координаты точки M₀(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим: