Каноническое уравнение прямой перпендикулярной вектору

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть дана некоторая точка М₀ и вектор n. Проведем через точку М₀ прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).

Пусть M — произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор \(\overrightarrowM>\) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и \(\overrightarrowM>\) равнялось нулю:

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M₀ и M имеют координаты (x₀ ; у₀ ) и (x; у).

Тогда \(\overrightarrowM>\) = (x — x₀; у — у₀). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М₀ (x₀; у₀) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).

Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).

Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:

— 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0

или, окончательно, x — 5у — 17 = 0.

Задача 2. Даны точки M₁(2; -1) и M₂(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору \(\overrightarrowM_<2>>\).

Нормальный вектор искомой прямой n = \(\overrightarrowM_<2>>\) имеет координаты (2; 6) (рис. 84).

Следовательно, по формуле (2) получим уравнение

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M₁(-5; 2), M₂(5; 6) и M₃(1; -2) проведена медиана M₁А₁. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А₁ перпендикулярно медиане M₁A₁ (рис. 85).

За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = \(\overrightarrowA_<1>>\). Определим его координаты. Точка A₁ — середина отрезка M₂M₃, поэтому, если (x₁; y₁) — ее координаты, то \( x_1 = \frac<5+1><2>=3, \;\;а \;\; y_1=\frac<6-2><2>=2 \).

Тогда нормальный вектор n = \(\overrightarrowA_<1>>\) имеет координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид

Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).

За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = \(\overrightarrow\).

Так как n = (2-(-3); 7 — (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим

или, окончательно, 5х + 8у — 57 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .

По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = — 1 .

Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор — n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x — x 1 ) + B 2 · ( y — y 1 ) = 0 .

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x — x 1 a x = y — y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен — 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом — 1 k b в виде y — y 1 = — 1 k b · ( x — x 1 ) .

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , — 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x — 2 3 = y + 4 1 .

Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x — 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , — 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .

Получим уравнение вида: 3 · ( x — 7 ) + 1 · ( y — ( — 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y — 12 = 0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3 x + y — 12 = 0 .

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Имеем, что n b → = ( 2 , — 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , — 1 ) — координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , — 1 ) . Получим, что x — 0 2 = y + 0 — 1 ⇔ x 2 = y — 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Ответ: x 2 = y — 1 .

Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 .

Из уравнения y = — 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение — 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение — 1 — 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 , равна y — ( — 3 ) = 2 5 · x — 5 ⇔ y = 2 5 x — 5 .

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Аналитическая геометрия
• Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:

1) $\left\<\beginA_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\quad (P_1)\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\quad (P_2)\end\right. — $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$

2) $\frac=\frac=\frac

-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$ Вектор $\overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$

3) $\frac=\frac=\frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$

4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:

Расположение двух прямых в пространстве.

Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline_1\parallel\overline_2\Leftrightarrow$ $\frac=\frac=\frac.$

Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline_1\perp\overline_2\Leftrightarrow$ $\cdot+\cdot+p_1\cdot p_2=0.$

Угол между прямыми:

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.

Пусть прямая $L$ задана уравнением $\frac=\frac=\frac

,$ следовательно $\overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=\frac<|[\overline, \overline S]|><|\overline S|>.$$

Примеры.

2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:

а) вектору $q(2, -3, 5);$

е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$

Решение.

а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:

$\frac=\frac=\frac

-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$

По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $\overline=q(2,-3,5).$

б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $\frac<5>=\frac<2>=\frac<-1>$ имеет координаты $\overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):

в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$

д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей , поэтому Направляющий вектор прямой

$\left\<\begin3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end\right.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.

Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$

для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$

Находим векторное произведение:

Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end\right.$ имеет координаты $\overline S (-4, 8, 10).$

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(-4, 8, 10):$

е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:

Отсюда находим направляющий вектор $\overline S\left(1, 2, -\frac<1><2>\right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $\overline S_1(2, 4, -1).$

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(2, 4, -1):$

2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$

Решение.

Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:

$\frac=\frac=\frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$

Подставляем заданные точки:

2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми

Решение.

Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=\frac<|[\overline, \overline S]|><|\overline S|>,$$ где $M_1-$ произвольная точка прямой $L_1,$ $M_2 — $произвольная точка прямой $L_2,$ $\overline S -$ направляющий вектор прямой $L_2.$

Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)\in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)\in L_2,$ $\overline S=(3, 4, 2). $

Отсюда находим $\overline=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$

Ответ: 3.

2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\<\begin2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end\right.$

Решение.

Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.

Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:

Таким образом, $M=(-14, -\frac<25><2>, 0)$

Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$

для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$

Находим векторное произведение:

Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end\right.$

имеет координаты $\overline S (-2, -1, 2).$

Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=\frac<|[\overline, \overline S]|><|\overline S|>.$$

$\overline=\left(2-(-14),3-\left(-\frac<25><2>\right),-1-0\right)=\left(16, 15\frac<1><2>, -1\right)$

Ответ: $d(A, L)=15.$

2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: \frac<3>=\frac<-2>=\frac<2>.$

Решение.

Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$

$P: 3x-2y-3z-7=0\Rightarrow \overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $\overline N(3, -2, -3).$

$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 \Rightarrow$

Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:

Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$

Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:

Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$

Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой ( 3) $\frac=\frac=\frac :$

2.199.

б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$

б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $ L:$ $\left\<\beginx=3t+5,\\ y=2t,\\z=-2t-25. \end\right.$

2.206. Доказать, что прямые $L_1: \left\<\begin2x+2y-z-10=0,\\ x-y-z-22=0, \end\right.$ и $L_2: \frac<3>=\frac<-1>=\frac<4>.$ параллельны и найти расстояние $\rho(L_1, L_2)$

2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $\frac<5>=\frac<-2>=\frac<-1>$ и $\frac<4>=\frac<-6>=\frac<2>.$

2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $\frac<1>=\frac<4>=\frac<2>.$