Карточки на тему показательные уравнения и неравенства

Материалы для проведения зачетов по темам «Показательные уравнения и неравенства», «Логарифмические уравнения и неравенства»

Разделы: Математика

Главная цель при работе с предлагаемыми билетами:

1. научить учащихся видеть общее в решении соответствующих уравнений и неравенств и различие при записи ответов;
2. экономия времени;
3. умение ориентироваться в содержании данного материала.

Если первая цель не вызывает вопросов, то экономия времени сразу не чувствуется. Хотя именно нехватка времени и сказалась на структуре билетов. Они составлены по единому принципу. Уравнения и неравенства расположены так, чтобы легче было установить соответствие между ними.

И не смотря на рекомендацию учителя: решать уравнение и сразу же за ним оформлять решение соответствующего неравенства, половина учеников предпочитала сначала решить все уравнения из первого столбца, а потом уж приниматься за решение неравенств. При записи ответа обращать внимание на то, что из-за отсутствия корней у уравнения не следует, что и у неравенства не будет решений.

При сдаче второго зачёта уже таких проблем не возникало, так как у многих сформировалось умение “видеть” и выработались определённые навыки.

В каждом билете материал подобран так, что, кроме, уравнений (неравенств), решаемых по определению и свойствам, даны уравнения (неравенства), решаемые разложением на множители; заменой переменных. И, естественно, повторяется решение квадратных уравнений и неравенств, второй степени.

В билетах всего 26 заданий. Поэтому ученикам предлагались такие нормы:“5” – 26 зад. , “4” – 19–25 зад. , “3” – 14–18 зад. , “2” – менее 14 зад.

Ученик, претендующий на оценку “5”, должен успеть решить за урок все уравнения и неравенства. Первые четырнадцать заданий – это обязательный минимум. Зачёт, конечно, можно и пересдать. Но желательно, чтобы укладывались в отведённое время.

При подготовке к ЕГЭ, когда навыки решения уравнений (неравенств) будут уже сформированы, задания могут быть заменены. Например, такие:

1. указать сумму (произведение) корней уравнения;
2. указать наименьший (наибольший) корень уравнения;
3. найти наименьшее (наибольшее) целое решение неравенства;
4. найти сумму (произведение) целых решений неравенства.

Конечно, каждый учитель может сам дополнить этот список. В зависимости от класса возникает необходимость на одни задания обратить больше внимания, на другие – меньше.

Билеты могут быть использованы как для зачётов, так и для самостоятельных работ. Каждый билет состоит из двух блоков: базовый уровень (1 уровень) и повышенный (2 уровень). Блок состоит из двух частей: уравнения и неравенства, которые разделены на два столбца, чтобы ученику легче было устанавливать соответствие между ними.

Ниже приведено по шесть вариантов билетов по каждой теме. К ним даны ответы.

Приложение 1. Логарифмические уравнения и неравенства.

Приложение 2. Показательные уравнения и неравенства.

Приложение 3. Ответы к билетам по алгебре и началам анализа.

дидактические карточки по показательным уравнениям
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

алгоритм решения показательных уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Алгоритм решения показательного уравнения

1. Определить, можно ли свести уравнение к одному основанию степени

1. Определить вид уравнения и способ решения

Представить с в виде степени с основанием а

Метод решения: Функционально- графический

Разделить обе части уравнения на >0 или >0

Разделить обе части уравнения на

Вынести за скобки общий множитель , где — наименьший из

(приводимое к квадратному)

Ввести новую переменную

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Дидактическая игра по теме «Показательные уравнения»

Авторская игра «Составь слово» ориентирована на отработку навыков решения показательных уравнений дифференцированных по уровню сложности. В ходе игры обучающиеся заменяют полученные ответы к зад.

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: «Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства».

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител.

Контрольные работы по теме » Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства.»

Контрольные работы по теме » Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства » для учащихся 11 класса подготовлены в6 вариантах.

Дидактический материал по теме: «Показательные уравнения» (математика, 11 класс)

В дидактических материалах предоставлены теоретические материалы по теме «Показательные уравнения», рассмотрены методы решения уравнений, предложены задания для самос.

Дидактический материал по темам: «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы», «Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества»

Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак.

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения», 10- 11 классы. Разрезные карточки с ответами.

Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений»

Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений&quot.

Карточки-задания по решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 1

Решите уравнение: а) 3 4х – 7 = 1

(Указание: а 0 = 1, поэтому можно заменить единицу числом 3 0 ).

б) 7 2х -3 = 49. в) = 1. г) ( 2х – 3 = 7 2 – 3х (указание: а – м = (1/а) м применяя эту формулу, получаем 7 2-3х = 3х-2 . Попытайтесь решить это уравнение, преобразовав его левую часть.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 2

Решите уравнение: 3 2х – 1 – 3 2х + 3 2х + 3 = 237.

Это уравнение решается способом вынесения общего множителя за скобки. За скобки выносится член с наименьшим показателем степени: 3 2х – 1 . Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель. Деление выполняется по правилу: a m : a n = a m – n . Производим деление: 1) 3 2х-1 :3 2х-1 =1; 2) 3 2х : 3 2х-1 =3 2х – (2х-1) = 3 2х – 2х +1 = 3;

3) 3 2х+3 :3 2х-1 =3 2х+3-2х+1 =3 4 =81. Запишем результат: 3 2х-1 (1 – 3 + 81) = 237. Произведем действия, заключенные в скобки 3 2х-1 79 = 237. Разделим обе части уравнения на 79, получим 3 2х-1 =3, откуда 2х – 1 = 1; х = 1. Ответ: х = 1.

Решите самостоятельно уравнения:

5 х + 1 + 5 х + 5 х – 1 = 155; 2 х – 2 х – 2 = 3.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 3

Решите уравнение 2 2х — 5 . 2 х – 24 = 0 по следующему образцу:

Рассмотрим решение уравнения 3 2х – 10 . 3 х + 9 = 0 1) заменим 3 х = у, тогда 3 2х = (3 х ) 2 = у 2 ; 2) уравнение приводится к виду у 2 – 10у + 9 = 0, корни которого у 1 = 1; у 2 = 9; 3) получаем совокупность двух показательных уравнений простейшего вида: 3 х = 1; 3 х = 9; 4) решим показательное уравнение 3 х = 1. Так как 1 = 3 0 , то 3 х = 3 0 , откуда х = 0; 5) решим показательное уравнение 3 х = 9. Так как 9 = 3 2 , то 3 х = 3 2 , откуда х = 2. Ответ: х = 0 и х = 2. Сделайте проверку корней.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 4

Рассмотрим решение уравнения 2 . 2 х + 4 х = 80: 1) 4 х = 2 2х ; 2) 2 . 2 х + 2 2х = 80; 3) 2 х = у, 2 2х =у 2; 4) 2у + у 2 = 80, у 2 + 2у -80 = 0, у 1 = -10; у 2 = 8; 5) 2 х = -10 – не имеет решения, так как 2 х > 0 при любом значении х; 6) 2 х = 8; 2 х = 2 3 ; х = 3.

По этому образцу решите самостоятельно уравнение 4 х + 3 . 2 х – 4 = 0.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 5

Решите уравнение: 4 х + 1,5 – 2 х = 1. Указание: 1) преобразуем член уравнения 4 х + 1,3 = 2 2(х+1,5) =2 2х + 3 = 2 2х . 2 3 = 8 . 2 2х ; 2) получаем уравнение 8 . 2 2х – 2 х – 1 = 0. Способ вынесения общего множителя не годится. Почему? Данное показательное уравнение сводится к квадратному путем введения вспомогательного переменного. Закончите решение примера.

Решите уравнение: 2 2х – 5 . 2 х+1 + 16 = 0. Указание: 1) замените 2 х + 1 =2 х . 2, тогда 5 . 2 х+1 = 10 . 2 х ; 2) приведите данное уравнение к квадратному заменой переменной 2 х =у.

Решите уравнение 3 х + 2 + 3 2х + 2 – 810 = 0. Указание: уравнение заменой переменного приводится к квадратному.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических уравнений К – 1

Рассмотрим решение уравнения loq 4 ( x – 1) = loq 4 (5 – x ) Область определения находится из системы неравенств: х – 1 > 0 и 5 – x > 0, откуда x > 1 и x x loq 4 ( x – 1) = loq 4 (5 – x ) следует, что х – 1 = 5 – х; 2х = 6, х = 3 входит в область определения. Ответ: х = 3.

Решите самостоятельно уравнение: loq 3 (2 x – 1) = loq 3 ( x + 3).

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических уравнений К – 2

Решите уравнение loq 3 ( x 2 – 6 x + 17) = 2. Указание: 1) Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство x 2 – 6 x + 17 > 0; 2) замените 2 на loq 3 9; 3) решите уравнение loq 3 ( x 2 – 6 x + 17) = loq 3 9; 4) проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область определения; 5) запишите ответ.

Решить это уравнение можно иначе: сначала уравнение x 2 – 6 x + 17 = 9 решить без нахождения области определения, а затем проверить полученные корни. Если при подстановке значения переменной х получается истинное равенство, то это значение х является корнем данного уравнения.

Решите самостоятельно уравнение loq 1/3 ( x 2 + 8 x ) = -2.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 1

Решите неравенство 5 х 25. План и примерное оформление решения:

Представьте число 25 как значение показательной функции у = 5 х , то есть как степень с основанием 5: 25 = 5 2 ; 5 х 5 2 .

Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая) у = 5 х , сравнив основание 5 с единицей: у = 5 х возрастающая, так как 5 1.

Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции (5 х 5 2 ), определите соотношение между аргументами: у = 5 х возрастает, и 5 х 5 2 : следовательно х 2.

Запишите решение полученного простейшего неравенства х 2: Ответ: х ]2; ∞[.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 2

Решите неравенство (2/3) х > 8/27. План и примерное оформление решения:

Представьте число 8/27 как значение показательной функции у = (2/3) х , то есть как степень с основанием 2/3: 8/27 = (2/3) 3 ; (2/3) х > (2/3) 3 .

Определите характер монотонности функции у = (2/3) х (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 2/3 с единицей: у = (2/3) х – убывающая, так как (2/3) х – убывающая: следовательно, х х Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 3

Решите неравенство (3/4) х 4/3. План и примерное оформление решения:

1) Представьте число 3/4 как значение показательной функции у = (3/4) х , то есть как степень с основанием 3/4: 4/3 = (3/4) — 1 ; (3/4) х (3/4) — 1 .

2) Определите характер монотонности функции у = (3/4) х (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 3/4 с единицей: у = (3/4) х – убывающая, так как (3/4) х – убывающая: следовательно, х -1.

4) Запишите решение полученного простейшего неравенства х -1: Ответ: х∈ [-1; ∞[.

Решите неравенство (7/2) х 2/7.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 4

Решите неравенство 12 х 1/12. План решения:

1) Представьте число 1/12 как значение показательной функции у = 12 х .

2) Определите характер монотонности функции у = 12 х .

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами.

4) Запишите решение полученного простейшего неравенства.

Решите неравенство 2,5 х Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 1

Решите неравенство loq 4 x loq 4 x , то есть как логарифм с основанием 4: 3 = loq 4 4 3 , тогда loq 4 x loq 4 4 3 .

Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 4 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 4 с единицей: у = loq 4 x – возрастающая, так как 4 > 1.

Определите соотношение между аргументами (х и 4 3 ), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции. Укажите ОДЗ ( loq ): ]0; ∞[. у = loq 4 x – возрастающая, и loq 4 x loq 4 4 3 ; следовательно х 3 и х > 0.

Запишите решение полученной системы: ]0 ; 4 3 [. Ответ х∈ ]0; 64[.

Решите неравенство loq 3 x > 2.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 2

Решите неравенство loq 1/2 x 1/2 x, то есть как логарифм с основанием 1/2: 4 = loq 1/2 (1/2) 4 , тогда loq 1/2 x 1/2 (1/2) 4 .

2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 1/2 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/2 с единицей: у = loq 1/2 x – убывающая, так как 1/2 4 ), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции. Укажите ОДЗ (loq): ]0; ∞[. у = loq 1/2 x – убывающая, и loq 1/2 x 1/2 (1/2) 4 ; следовательно х > (1/2) 4 и х > 0.

4) Запишите решение полученной системы: ]1/16 ; ∞ [. Ответ х∈ ]1/16; ∞ [.

Решите неравенство loq 1/2 x > 2.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 3

Решите неравенство а) loq 5 x loq 5 > 4.

1) Представьте правую часть неравенства в виде значения логарифмической функции у = loq 5 x, то есть как логарифм с основанием 5.

2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 5 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 5 с единицей.

3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.

4) Запишите ответ данного неравенства.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 4

Решите неравенство а) loq 1/8 x loq 1/8 > 1.

1) Представьте правую часть неравенства в виде значения логарифмической функции у = loq 1/8 x, то есть как логарифм с основанием 1/8.

2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 1/8 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/8 с единицей.

3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.

4) Запишите ответ данного неравенства.

Карточка – инструкция по теме «Метод интервалов»

Пусть дано неравенство вида (х – х 1) (х – х 2 )(х – х 3 )(х – х 4 )…..(х – х n ) > 0, где f ( x ) =(х – х 1) (х – х 2 )(х – х 3 )(х – х 4 )…..(х – х n ) – многочлен.

Корнями выражения, стоящего в левой части неравенства будут х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , …х n -1 , x n . Расположим их в порядке возрастания и отложим на числовой прямой.

х 1 х 2 х 3 х n -1 x n

Вся числовая прямая этими корнями будет разбита на промежутки, где справа располагаются все числа, большие, чем наименьший корень. В каждом из этих интервалов многочлен (в силу своей непрерывности) имеет определенный знак, одинаковый для каждой точки данного интервала. При переходе из интервала в интервал, то есть при переходе х через одно из значений х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , …х n -1 , x n , знак многочлена меняется. Таким образом, достаточно установить знак многочлена в одном из таких интервалов.

Рассмотрим решение неравенства (х – 3)(х + 2)(х – 5) > 0.

Корнями многочлена с одной переменной (х – 3)(х + 2)(х – 5) являются значения переменной, при которых значения переменной при которых значение многочлена равно нулю. Значит, для нахождения корней данного многочлена нужно решить уравнение (х – 3)(х + 2)(х – 5) = 0. В левой части этого равенства – произведение трех множителей. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравнивая к нулю отдельно каждый из множителей, получаем три корня: х – 3 = 0; х = 3; х + 2 = 0; х = -2; х – 5; х = 5. Отметим эти точки значения на числовой прямой:

— 2 3 5 они разобьют эту прямую на четыре промежутка, в каждом из которых многочлен имеет определенный знак. Наибольший корень х = 5. При всех значениях х > 5 многочлен будет положителен, так как каждый из множителей положителен.

Карточка – инструкция по теме

«Решение неравенств второй степени с одной переменной»

Неравенства вида а х 2 + b x + c > 0 и а х 2 + b x + c 2 + b x + c относительно оси Ох.

Это расположение определяется двумя условиями: Знаком коэффициента а квадратичного трехчлена у = а х 2 + b x + c и значением дискриминанта D ( D = b 2 – 4 ac ). От знака коэффициента а зависит направление «ветвей» параболы, если а D зависит положение параболы относительно оси Ох: если D > 0, то парабола имеет с осью Ох две точки (пересекает ось Ох в этих точках); если D = 0 – имеет одну общую точку (касается оси Ох в этой точке), если D Рассмотрим решение неравенства: 6х 2 – 7х + 2 > 0. 1) находим дискриминант D = b 2 – 4 ac . В нашем случае a = 6, b = -7, c = 2. D = 49 – 4 . 6 . 2 = 49 – 48 = 1; 2) находим корни квадратного трехчлена по формуле х = ; х 1 = ; х 2 = ; 3) покажем примерное расположение графика данной квадратичной функции относительно оси Ох; а) «ветви» параболы направлены вверх, так как а = 6 > 0. б) парабола пересекает ось Ох в двух точках, так как D = 1 > 0; точки пересечения ½ и 2/3; в) отметим точки пересечения параболы с осью Ох и наметим направление «ветвей» параболы. Эти точки разбивают прямую на три промежутка. В промежутке от ½ до 2/3 трехчлен 6х 2 – 7х + 2 отрицателен (парабола расположена под осью Ох), а в двух других положителен. Следовательно, решение неравенства 6х 2 – 7х + 2 > 0: х)

Решите неравенство 4х 2 – 4х + 15

Повторение производной функции В – 1

Точка движется по закону S = t 3 + 10, где S – расстояние в м; t – время в с. Найдите скорость движения точки в момент времени t = 2 с.