Каждое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость

Плоскость как поверхность первого порядка.

Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство. Рассмотрим произвольную плоскость π и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем на плоскости p какую-нибудь точку М₀(x₀; y₀; z₀); выберем кроме этого, произвольный вектор (не нулевой) перпендикулярный к плоскости π. ^ π. =<А; В; С>. Пусть М(x; y; z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору :

^ .

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

=0; y- y₀; z- z₀>; =<А; В; С>.

× =0 Þ А(x- x₀)+В(y- y₀)+С(z- z₀)=0. (1)

Это и есть искомое уравнение плоскости π, т.к. ему удовлетворяют координаты x; y; z точки М тогда и только тогда, когда М лежит на плоскости π.

Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде Аx+Вy+Сz+(-Аx₀-Вy₀-Сz₀)=0. Далее, обозначая число -Аx₀-Вy₀-Сz₀ буквой D, получим:

Мы видим, что плоскость π действительно определяется уравнением первой степени. Теорема доказана.

Произвольный ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным к ней вектором. Употребляя это название, мы можем сказать, что уравнение А(x-x₀)+В(y-y₀)+С(z-z₀)=0 есть уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀; y₀; z₀) и имеющей нормальный вектор =<А; В; С>.

называется общим уравнением плоскости.

Теорема. В декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени Аx+Вy+Сz+D=0 (А, В, С одновременно не равны нулю).

Пусть x₀, y₀, z₀ произвольная тройка чисел, удовлетворяющая уравнению (2):

Вычтем из уравнения (2) тождество (3), получим

которое по предыдущему представляет собой уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀;y₀; z₀) и имеющей нормальный вектор =<А; В; С>. Но уравнение (2) равносильно уравнению (1), т.к. уравнение (1) получается из уравнения (2) путем почленного вычитания тождества (3), а уравнение (2) в свою очередь получается из уравнения (1) путем почленного прибавления тождества (3). Следовательно, уравнение (2) является уравнением той же плоскости. Теорема доказана.

Докажем теперь следующее важное утверждение: если два уравнения А₁x+В₁y+С₁z+D₁=0 и А₂x+В₂y+С₂z+D₂=0 определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны. Действительно =<А₁; В₁; С₁> и =<А₂; В₂; С₂> перпендикулярны к одной и той же плоскости, следовательно вектора и — коллинеарны, тогда

Пусть М₀(x₀;y₀; z₀) — любая точка плоскости: ее координаты должны удовлетворять каждому из данных уравнений, таким образом А₁x+В₁y+С₁z+D₁=0 и А₂x+В₂y+С₂z+D₂=0. Умножим второе из этих равенств на m и вычтем из первого: получим

D₁ — D₂m=0 или D₁= D₂m и .

Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка.

Плоскость.

Рассмотрим в декартовом базисе произвольную плоскость Р и вектор нормали (перпендикулярный) к ней `n (А, В, С). Возьмем в этой плоскости произвольную фиксированную точку М<sub>0</sub>(х<sub>0</sub>, у<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) и текущую точку М(х, у, z). Очевидно, что ×`n = 0 (1.53)

(см.(1.20) при j = p /2). Это уравнение плоскости в векторной форме. Переходя к координатам, получим общее уравнение плоскости

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0 ÞАх + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах₀– Ву₀ – Сz₀; А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0).

Можно показать, что в декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет плоскость, (т.е. плоскость есть поверхность первого порядка и поверхность первого порядка есть плоскость).

Рассмотрим некоторые частные случаи расположения плоскости, заданной общим уравнением:

А = 0 – параллельна оси Ох; В = 0 – параллельна оси Оу; С = 0 – параллельна оси Оz. (Такие плоскости, перпендикулярные одной из координатных плоскостей, называют проектирующими); D = 0 – проходит через начало координат; А = В = 0 – перпендикулярна оси Оz (параллельна плоскости хОу); А = В = D = 0 – совпадает с плоскостью хОу (z = 0). Аналогично анализируются все остальные случаи.

Если D ¹ 0, то, разделив обе части (1.54) на —D, можно привести уравнение плоскости к виду: (1.55),

а = – D /А, b = –D/ В, с =–D /С. Соотношение (1.55) называетcя уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Оz, а |a|, |b|, |c| – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на соответствующих осях от начала координат.

Умножая обе части (1.54) на нормирующий множитель (mD

Тест 11.

1) Даны точки М₁(0,-1,3) и М₂(1,3,5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной к вектору Выбрать верный ответ:

а) ; б) .

2) Найти угол между плоскостями и . Выбрать верный ответ:

а) 135 о , б) 45 о

1.7.2. Прямая.Плоскости, нормали которых не коллинеарны, или пересекаются, однозначно определяя прямую как линию их пересечения, что и записывается следующим образом:

(1.63)

Через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей (пучок плоскостей (1.62)), в том числе и проектирующие ее на координатные плоскости. Чтобы получить их уравнения, достаточно преобразовать (1.63), исключив из каждого уравнения по одной неизвестной и приведя их, например, к виду (1.63`).

Поставим задачу – провести через точку М₀(х₀,у₀,z₀) прямую, параллельную вектору `S (l, m, n) (его называют направляющим). Возьмем на искомой прямой произвольную точку М(х,у,z). Векторы идолжны быть коллинеарны, откуда получаем канонические уравнения прямой.

(1.64) или (1.64`)

где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора `S. Из (1.64) легко получить уравнение прямой, проходящей через заданные точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) (она параллельна )

или (1.64«)

(Значения дробей в (1.64) равны для каждой точки прямой и могут быть обозначены через t, где t R. Это позволяет ввести параметрические уравнения прямой

Каждому значению параметра tсоответствует набор координат х, у, z точки на прямой или (иначе) — значения неизвестных, удовлетворяющих уравнениям прямой).

Используя уже известные свойства векторов и операций над ними и канонические уравнения прямой легко получить следующие формулы:

Угол между прямыми: (1.65)

где `S<sub>1</sub> и `S₂ – направляющие векторы прямых.

Условие параллельности (1.66).

Угол между прямой и плоскостью (легко получить, найдя угол между прямой и нормалью к плоскости, составляющий в сумме с искомым p/2)

(1.68)

Из (1.66) получаем условие параллельности Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

и перпендикулярности (1.70) прямой и плоскости. Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых в одной плоскости легко получить из условия компланарности (1.25).

(1.71)

контрольные вопросы.

1) Каковы способы задания прямой линии в пространстве?

Тест 12.

1) Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4,3,0) и параллельной вектору Указать верный ответ:

а) ; б) .

2) Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(2,-1,3) и В(2,3,3). Указать верный ответ.

а) ; б) .

3) Найти точку пересечения прямой с плоскостью: , . Указать верный ответ:

1.7.3. Поверхности второго порядка. Если линейное уравнение в трехмерном декартовом базисе однозначно определяет плоскость, любое нелинейное уравнение, содержащее х, у, z описывает какую – то иную поверхность. Если уравнение имеет вид

Ах 2 + Ву 2 + Cz 2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0,то оно описывает поверхность второго порядка (общее уравнение поверхности второго порядка). Выбором или преобразованием декартовых координат уравнение можно максимально упростить, приведя к одной из следующих форм, описывающих соответствующую поверхность.

1. Канонические уравнения цилиндров второго порядка, образующие которых параллельны оси Oz, а направляющими служат соответствующие кривые второго порядка, лежащие в плоскости хОу:

(1.72), (1.73), у 2 = 2рх (1.74)

эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры соответственно.

(Напомним, что цилиндрической называют поверхность, полученную перемещением прямой, называемой образующей, параллельно самой себе. Линию пересечения этой поверхности с плоскостью, перпендикулярной образующей, называют направляющей – она определяет форму поверхности).

По аналогии можно записать уравнения таких же цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси Оу и оси Oх. Направляющую можно задать, как линию пересечения поверхности цилиндра и соответствующей координатной плоскости, т.е. системой уравнений вида:

2. Уравнения конуса второго порядка с вершиной в начале координат:

(1.75)

(осями конуса служат оси Oz, Oy и Ох соответственно)

3. Каноническое уравнение эллипсоида: (1.76);

Частными случаями являются эллипсоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением эллипса вокруг оси Оz (При

а > с эллипсоид сжат, при a 2 + у 2 + z 2 + = r 2 – уравнение сферы радиусаrс центром в начале координат).

4. Каноническое уравнение однополостногогиперболоида

(1.77)

(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части – это изменяет только положение поверхности в пространстве). Частные случаи – однополостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг осиOz (мнимой оси гиперболы).

5. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида

(1.78)

(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части).

Частные случаи – двухполостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Оz (действительной оси гиперболы).

6. Каноническое уравнение эллиптического параболоида

(p >0, q >0) (1.79)

(переменная z может поменяться местами с любой из переменных х и у – изменится положение поверхности в пространстве).

7. Каноническое уравнение гиперболического параболоида

(p >0, q >0) (1.80)

(переменная z может поменяться местами с любой из переменных х и у– изменится положение поверхности в пространстве).

Отметим, что представление об особенностях (форме) этих поверхностей легко получить, рассматривая сечения этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными осям координат.

контрольные вопросы.

1) Какое множество точек в пространстве определяет уравнение ?

2) Каковы канонические уравнения цилиндров второго порядка; конуса второго порядка; эллипсоида; однополостного гиперболоида; двухполостного гиперболоида; эллиптического параболоида; гиперболического параболоида?

Тест 13.

1) Найти центр и радиус сферы и указать верный ответ:

а) С(1,5;-2,5;2), ; б) С(1,5;2,5;2), ;

2) Определить вид поверхности, заданной уравнениями: . Указать верный ответ:

а) однополостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.

б) двухполостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.

Плоскость в R3.

Рассмотрим ПДСК i,`j,`k> в пространстве R 3 . Пусть a – некоторая плоскость и вектор `N перпендикулярен a. Зафиксируем на плоскости a произвольную точку М<sub>0</sub> и возьмем текущую точку М пространства.. Обозначим `r = и`r<sub>0</sub> = . Тогда = `r –`r<sub>0</sub>, а точка МÎa тогда и только тогда, когда векторы `N и ортогональны. Последнее возможно, когда

`N . = 0, т.е. `N .(`r –`r₀) = 0, (9)

это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Вектор `N называют нормальным вектором плоскости.

Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Как известно, через три точки можно провести единственную плоскость. Пусть М₁(х₁, у₁, z₁), М₃(х₂, у₂, z₂), М₃(х₃, у₃, z₃)Îa. Найдем уравнение этой плоскости. Согласно векторному уравнению (9), чтобы записать это уравнение, необходимо знать точку плоскости и нормальный вектор. Точка у нас есть (например М₁). А в качестве нормального вектора подойдет любой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Известно, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, в которой лежат эти векторы. Следовательно, векторное произведение векторов и можно взять в качестве нормального вектора плоскости a:

`N = ´

Тогда уравнение плоскости a в векторной форме имеет вид

.( ´ ) = . . = 0.

(заметим, что получили условие компланарности векторов , , ).

Через координаты точек М₁, М₂, М₃ и М это уравнение запишется так

, (11)

Рассмотрим вновь уравнение (9), преобразуем его:

называетсяобщим уравнением плоскости. Здесь вектор`N = (A, B, C) – нормальный вектор плоскости (т.е. вектор, перпендикулярный плоскости).
Справедлива теорема:

В пространстве R 3 всякая плоскость может быть описана линейным относительно переменных x y, z уравнением и наоборот, любое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость.

Изучим расположение плоскости относительно системы координат по ее общему уравнению Ах + Ву + Cz +D = 0 .

Если коэффициент D = 0, то координаты точки О(0, 0, 0) удовлетворяют уравнению Ах + Ву + Cz = 0, значит, эта точка лежит на плоскости, т.е. плоскость с уравнением Ах + Ву + Cz = 0 проходит через начало координат.

Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных (соответствующий коэффициент равен нулю), то плоскость параллельна одноименной оси координат. Например, уравнение Ах + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси ОУ. Действительно, вектор нормали имеет координаты `N = (А, 0, С) и легко проверить, что `N^`j. Но если плоскость и вектор перпендикулярны одному и тому же вектору, то они параллельны. Плоскость с уравнением Ву + Cz = 0, в таком случае, проходит через ось ОХ (т.е. эта ось лежит на плоскости)

Отсутствие двух переменных в уравнении плоскости означает, что плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости, например, уравнение вида Ах + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости УОZ. Вектор нормали имеет координаты `N = (А, 0, 0), он коллинеарен вектору `i, и ,следовательно, плоскость перпендикулярна вектору `i , или параллельна плоскости УОZ.

Уравнения координатных плоскостей имеют вид:

пл. ХОУ: z = 0, пл. XOZ: y = 0, пл. YOZ: x = 0.

Действительно, плоскость ХОУ проходит через начало координат (D = 0) и вектор `k =(0, 0, 1) – ее нормальный вектор. Аналогично плоскости ХОZ и УОZ проходят через начало координат(D = 0) и векторы `j =(0, 1, 0) и `i = (1,0,0) – их нормали соответственно.

Если D¹0, то преобразуем общее уравнение так

Ах + Ву +Сz = –D, , .

Обозначив здесь , , , получим уравнение
, (13)

которое называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Здесь а, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (рис.). Это уравнение удобно использовать для построения плоскости в системе координат. Нетрудно убедиться, что точки (а, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, с) лежат на плоскости. Прямые, проходящие через эти точки, называются следами плоскости на координатных плоскостях.

Например, построим плоскость

Приведем это уравнение к виду (13), получим

Для построения плоскости в системе координат, отметим на оси ОХ точку (6, 0, 0), на оси ОУ точку (0, -4, 0), на оси ОZ – (0, 0, 3), соединим их отрезками прямы (следы плоскости). Полученный треугольник есть часть искомой плоскости, заключенная между осями координат.

Таким образом, чтобы найти уравнение плоскости, достаточно знать

— либо нормальный вектор этой плоскости и любую ее точку (уравнение (10));

— либо три точки, лежащие на плоскости (уравнение (11)).

Взаимное расположение плоскостейв пространстве удобно изучать с помощью соответствующих им векторов. Если a – плоскость с нормальным вектором `N, то

· a₁ || a₂ Û `N<sub>1</sub> ||`N₂;

· Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами или является смежным к нему, причем .

· Расстояние от точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах + Ву + Сz +D = 0 находят по формуле

.

Вывод формулы аналогичен тому, как это было проделано для прямой на плоскости. Провести его самостоятельно.

Дата добавления: 2015-04-15 ; просмотров: 9 ; Нарушение авторских прав