Кинематические уравнения движения двух материальных

Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид X1 = A1t + B1t2 + C1t3 и X2 = A2t + B2t2 + C2t3, где B1 = 4 м/с2, C1 = -3 м/с3, B2 = -2 м/с2, C2 = 1 м/с3.

Готовое решение: Заказ №8334

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Физика

Дата выполнения: 06.08.2020

Цена: 209 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид X1 = A1t + B1t2 + C1t3 и X2 = A2t + B2t2 + C2t3, где B1 = 4 м/с2, C1 = -3 м/с3, B2 = -2 м/с2, C2 = 1 м/с3. Определите момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

Найдём законы изменения скорости материальных точек . Найдём законы изменения ускорения материальных точек . Найдём момент времени , в который ускорения точек будут равны:

• Две материальные точки движутся согласно уравнениям: X1 = A1t + B1t2 + C1t3 и X2 = A2t + B2t2 + C2t3, где A1 = 4 м/с; B1 = 8 м/с2; C1 = – 16 м/с3; A2 = 2 м/с; B2 = – 4 м/с2; C2 = 1 м/с3
• Прямолинейное движение двух материальных точек описывается уравнениями х1 = A1t + B1t2 + C1t3 и х2 = A2t + B2t2 + C2t3, где A1 = 4 м/с; B1 = 8 м/с2; C1 = – 16 м/с3; A2 = 2 м/с; B2 = – 4 м/с2; C2 = 1 м/с3
• Два шара массами 2 и 3 кг, движущиеся по одной прямой навстречу друг другу со скоростями 8 и 4 м/с, соответственно, неупруго сталкиваются и двигаются после удара совместно
• Кинетические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x1 = A1 + B1t + C1t2 и x2 = A2 + B2t + C2t2, где C1 = -2 м/с2, C2 = 1 м/с2

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Схема решения задач по кинематике

Записав условие задачи, сделать рисунок, на котором указать систему координат, изобразить траекторию движения точки. Отметить на рисунке кинематические характеристики движения: перемещение, скорость, ускорение. Если указывается, что на отдельных участках движение имеет различный характер, то необходимо рассматривать движение на каждом из них отдельно.

Установить связь между величинами, отмеченными на рисунке. Поскольку для решения системы уравнений и расчетов используется скалярная форма уравнений, то необходимо спроецировать входящие в уравнения векторы на оси выбранной системы координат. Полученную систему уравнений дополнить уравнениями, составленными на основе вспомогательных условий задачи и, проверив равенство количества уравнений и количества неизвестных, входящих в нее, решить систему кинематических уравнений относительно искомых величин.

Практическое занятие 1.

Теория

Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-векторомг:

где i, j, k — единичные векторы направлений (орты); х, у, z — координаты точки.

Кинематические уравнения движения в координатной форме:

где— перемещение материальной точки за интервал времени.

Средняя путевая * скорость

где — путь, пройденный точкой за интервал времени .

где — проекции скорости v на оси координат.

• Ускорение

где проекции ускорения a на оси

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих (рис.1.1):

Модули этих ускорений:

где R — радиус кривизны в данной точке траектории.

• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

где — начальная координата; t — время. При равномерном движении

• Кинематическое уравнение равнопеременного движения( )вдоль оси x

где v₀ —начальная скорость; t— время.

Скорость точки при равнопеременном движении

Примеры решения задач

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct 3 , где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с 2 . Для момента времени t₁=2 с определить:

1) координату x₁ точки, 2) мгновенную скорость v₁, 3) мгновенное ускорение a₁.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t₁:

Подставим в это выражение значения A, В, С, t₁ и произведем вычисления:

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени: .

Тогда в заданный момент времени t₁ мгновенная скорость

v₁=B+3Ct₁ 2 Подставим сюда значения В, С, t₁ и произведем вычисления:

Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t₁ равно a₁=6Ct₁. Подставим значения С, t₁и произведем вычисления:

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид, x=A+Bt+Ct 2 , где A=5 м, B=4 м/с, С=-1 м/с 2 . Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость за интервал времени от t₁=1 с до t₂=6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость за тот же интервал времени.

Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты — начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту t=0. Ее значение равно

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты повремени:

, откуда t=—B/2C=2 с Максимальная координата

Момент времени t, когда координата х=0, найдем из выражения x=A+Bt+Ct 2 =0.

Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:

Таким образом, получаем два значения времени: t’-=5 с и =-1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию задачи (t>0).

График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка со­держит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ра­нее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t₁=l с и t₂=6 с:

Полученные данные представим в виде таблицы:

Время, с Координата, м

t1=0 x0=A=5

t1=1 x0=8

tB=2 xmax=9

=5 x=0

t2=6 x2=-7

Используя данные таблицы, чертим график зависимости координаты от времени (рис. 1.2).

График пути построим, исходя из следующих соображений:

1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают; 2) начиная с момента возврата (t_B) точки она движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.

Следовательно, график пути до момента времени t_B =2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента яв­ляется зеркальным отображением графика координаты.

2. Средняя скорость за интервал времени t₂—t₁ определяется выражением

Подставим значения x₁, x₂, t₁, t₂. из таблицы и произведем вычисления

3. Среднюю путевую скорость находим из выражения

где s — путь, пройденный точкой за интервал времени t₂.—t₁. Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: S₁=x_max—x₁, который точка прошла за интервал времени t_B—t₁, и S₂=x_max+|x₂|, который она прошла за интервал

Подставим в это выражение значения x_max , |x₂|, x₁ и произведем вычисления :

Тогда искомая средняя путевая скорость

Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.

Задачи

1.1. Две прямые дороги пересекаются под углом =60°. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью v₁=60 км/ч, другая со скоростью v₂=80 км/ч.

Определить скорости v’ и v», с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

1.2. Точка двигалась в течение t₁=15c со скоростью v₁=5 м/с, в течение t₂=10 с со скоростью v₂=8 м/с и в течение t₃=6 с со скоростью v₃=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость точки.

1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v₁=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью v₂=80 км/ч. Какова средняя путевая скорость автомобиля?

1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v₁=2 м/с, вторую — со скоростью v₂=8 м/с. Определить среднюю путевую скорость .

1.5. Тело прошло первую половину пути за время t₁=2 с, вторую — за время t₂=8 с. Определить среднюю путевую скорость тела, если длина пути s=20 м.

1.6. -Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость за время t=14

1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость за время t=8 с. Начальная скорость v₀=0.

1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At+Bt 2 , где A=3 м/с, B=—0,25 м/с 2 . Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения.

1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось.

1.10. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =4 м/с, В=—0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

1.11. Написать кинематическое уравнение движения x=f(t) точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой позиции рисунка — а, б, в, г — изображена координатная ось Ох, указаны начальные положение x₀ и скорость v₀ материальной точки А, а также ее ускорение а.

1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии l==100 м от стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вращается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т=20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой четверти оборота; 2) скорость v, с которой светлое пятно движется по стене, в момент времени t=2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС.

1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а=0,1 м/с 2 , человек начал идти в том же направлении со скоростью v=1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v₁ поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком.

1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью v₁==l м/с и ускорением a₁=2 м/с 2 , вторая — с начальной скоростью v₂=10 м/с и ускорением а₂=1 м/с 2 . Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую?

1.15. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:

В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v₁ и v₂ и ускорения a₁ и а₂ точек в этот момент:

1.16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям;

В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v₁ и v₂ точек в этот момент.

1.17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t=0,1 с?

1.18. Камень падает с высоты h=1200 м. Какой путь s пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

1.19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v₀==20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с 2 .

1.20. Вертикально вверх с начальной скоростью v₀=20 м/с брошен камень. Через =1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

1.21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом t=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

1.22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v₀=5 м/с. Через t=2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

1.23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v₀=10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h=12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость с момента бросания до момента падения на землю.

1.24. Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =2 м/с, В=—0,5 м/с 2 . Определить среднюю путевую скорость движения точки в интервале времени от t₁=l с до t₂=3 с.

1.25. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt 3 , где A=6 м/с, В == —0,125 м/с 3 . Определить среднюю путевую скорость точки в интервале времени от t₁=2 с до t₂=6 с.