Кинематика. Все определения, понятия, законы и теоремы
Определение кинематики
Кинематика точки
Способы задания движения точки
Существуют следующие способы задания движения точки:
1) векторный; 2) координатный; 3) естественный.
Векторный способ задания движения точки
При векторном способе задания движения точки, положение точки определяется ее радиус-вектором , проведенным из некоторого центра O . При этом, радиус-вектор является функцией от времени t .
Радиус-вектор – это вектор, проведенный от предварительно выбранного центра O к материальной точке M :
.
Годограф вектора – это линия, которую вычерчивает конец вектора при его изменении во времени. При этом начало вектора находится в определенной точке пространства и его положение не меняется со временем.
Таким образом, траектория точки является годографом ее радиус-вектора.
Координатный способ задания движения точки
При координатном способе задания движения точки, мы выбираем систему координат. Обычно это прямоугольная система, но можно выбрать любую другую: цилиндрическую, сферическую и т. п. Тогда положение точки в пространстве определяется тремя координатами. В прямоугольной системе, их обозначают, как правило, буквами x, y, z. Зависимости этих координат от времени определяют закон движения точки:
.
Если движение происходит в одной плоскости, то мы выбираем систему координат в этой плоскости. В результате получаем два уравнения движения:
.
Исключив из этих уравнений параметр t , можно определить траекторию движения в виде функции , или .
При прямолинейном движении, выбрав ось x системы координат вдоль линии движения, имеем одну зависимость . Эта зависимость называется законом прямолинейного движения точки.
Связь между координатным и векторным способами задания движения точки
Пусть x, y, z – координаты точки в прямоугольной системе координат. Тогда
,
где – единичные векторы, проведенные в направлениях координатных осей;
– модуль вектора ;
– направляющие косинусы вектора . То есть это косинусы углов между вектором и осями координат.
Естественный способ задания движения точки
При естественном способе, система координат связана с траекторией движения точки. При этом мы считаем, что сама траектория нам известна. На этой траектории, мы выбираем положение неподвижного центра O . Тогда положение точки определяется длиной дуги s кривой, измеренной вдоль траектории от центра O до положения точки в момент времени t . Закон движения точки определяется как зависимость .
Дуговая координата s – это длина дуги траектории от некоторого неподвижного центра O до текущего положения точки. При этом в качестве центра O выбирается любая точка, принадлежащая траектории. Она является началом отсчета длины дуги s .
Переход от координатного способа к естественному выполняется по формулам:
;
.
Скорость точки
В прямоугольной системе координат, вектор скорости можно записать так:
.
Проекции скорости на оси координат (компоненты) равны производным координат по времени:
.
Модуль скорости: .
Направляющие косинусы: – это косинусы углов между вектором скорости и осями координат.
Равномерное движение точки – это движение, при котором модуль скорости остается постоянным.
Скорость при естественном способе задания движения
Вектор скорости направлен по касательной к траектории:
,
где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону увеличения длины дуги s .
Абсолютная величина скорости равна абсолютной величине производной длины дуги траектории по времени:
.
Если , то движение происходит в сторону увеличения дуговой координаты s . Если , то дуговая координата уменьшается.
Удобно ввести алгебраическую величину скорости . Она равна проекции скорости на направление единичного вектора :
.
Это скалярная величина. В отличии от модуля скорости, она может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Далее мы будем использовать следующие обозначения:
– это вектор скорости;
– его абсолютная величина;
– алгебраическая величина скорости – проекция скорости на направление вектора . При движение происходит в сторону увеличения дуговой координаты. При – в сторону уменьшения. Тогда
; .
Ускорение точки
Проекции ускорения на оси координат:
.
Модуль ускорения: .
Направляющие косинусы: .
Ускорение при естественном способе задания движения
При естественном способе задания движения, ускорение раскладывают на два взаимно перпендикулярных вектора: касательное (тангенциальное) к траектории, и нормальное (перпендикулярное) ускорение:
.
Модуль ускорения .
Касательное ускорение:
.
Здесь, как и для скорости, мы считаем, что – это скалярная величина, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда
.
Продифференцировав модуль скорости по времени, получим:
.
Отсюда следует, что абсолютное значение производной модуля скорости по времени равно модулю касательного ускорения. Если угол между направлениями векторов ускорения и скорости острый, , то происходит увеличение скорости – ускоренное движение. Если угол тупой , то происходит уменьшение скорости – замедленное движение.
Нормальное ускорение перпендикулярно касательной к траектории и всегда направлено к центру кривизны:
.
Здесь – единичный вектор в направлении главной нормали траектории.
Пусть ρ – радиус кривизны траектории. Тогда модуль нормального ускорения
.
Вектор полного ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости к траектории. Поэтому его проекция на бинормаль равна нулю:
.
Скорость и ускорение точки в полярной системе координат
В полярной системе координат , положение точки M определяется по формулам:
.
Пусть – единичные векторы (орты), проведенные из точки M в сторону увеличения r и φ , соответственно. Тогда вектор скорости выражается через них по формуле:
.
Модуль скорости: ,
где – радиальная скорость; – поперечная скорость.
Ускорение точки
.
Радиальное ускорение: . Поперечное ускорение: . Модуль ускорения: .
Классификация движений точки
1) Прямолинейное равномерное движение.
. В этом случае скорость точки постоянна. Движение происходит по прямой, параллельной вектору скорости.
2) Криволинейное равномерное движение.
. Скорость точки постоянна по абсолютной величине, но движение происходит не по прямой, а по кривой.
3) Прямолинейное неравномерное движение.
. Скорость точки изменяется по абсолютной величине, но траектория прямолинейна.
4) Криволинейное неравномерное движение.
. Скорость точки меняется как по абсолютной величине, так и по направлению. Если направления векторов и совпадают, то это ускоренное движение. В противном случае – замедленное.
5) Равнопеременное криволинейное движение.
. Это частный случай криволинейного неравномерного движения. Здесь касательное ускорение постоянно. Алгебраическая величина скорости меняется по линейному закону: . Длина дуги траектории – по квадратичному: .
Кинематика твердого тела
Общие теоремы
Расстояния между любыми двумя точками абсолютно твердого тела не меняется в процессе его движения. Эти связи приводят к дополнительным ограничениям на скорости движения точек. В результате получаются уравнения, связывающие скорости и ускорения точек. Такие уравнения носят название формул Эйлера.
Формулы Эйлера
Скорости и ускорения двух точек A и B твердого тела с радиус-векторами и связаны соотношениями:
(Т1) ;
(Т2) .
Здесь – некоторый аксиальный вектор, который называется угловой скоростью;
– вектор углового ускорения.
Доказательство.
Это фундаментальные уравнения. Точку A , при такой форме записи, называют полюсом. Тогда движение твердого тела можно рассматривать как поступательное движение полюса и вращательное движение относительно него.
Отметим еще одну теорему, которую часто применяют в расчетах.
Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую
Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу:
.
Доказательство.
Далее приводится классификация видов движения тела и применение формул Эйлера в конкретных случаях.
Поступательное движение
При поступательном движении все точки тела имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения, их траектории конгруэнтны, а разность радиус-векторов любых двух точек равна вектору, который зависит от положений сравниваемых точек, но не зависит от времени.
При поступательном движении угловая скорость и угловое ускорение равны нулю:
. Тогда формулы Эйлера ⇑ принимают вид:
.
Вращательное движение вокруг неподвижной оси
Определение
При вращении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Их траекториями являются окружности с центром на оси вращения. Положение тела определяется углом поворота φ относительно произвольным образом выбранного нулевого положения. Зависимость угла поворота от времени определяет закон вращательного движения или, что тоже самое, уравнение вращательного движения. Единицей измерения угла поворота является радиан, который считается безразмерной величиной.
180° = π радиан ⇒ 1 радиан = 180/π = 57,29578°.
Угловая скорость и ускорение
Вектор угловой скорости параллелен оси вращения. Его направление определяется правилом правого винта. Он не имеет точки приложения и применим ко всем точкам твердого тела, то есть ко всему телу в целом. Однако, для наглядности, вектор угловой скорости изображают на оси вращения.
Единицей измерения угловой скорости является 1 рад/с или, что тоже самое, 1/с = с –1 . В технике встречаются другие единицы измерения. Пусть n – число оборотов в минуту. Тогда 1 оборот = 2π радиан ; 1 минута = 60 с ; ;
n об/мин = n·2π/60 рад/с. Тогда
.
Угловое ускорение – это производная угловой скорости по времени:
.
Единицей измерения углового ускорения является рад/с 2 или, что тоже самое, с –2 .
Вектор углового ускорения также параллелен оси вращения. При ускоренном вращении он совпадает с направлением угловой скорости. При замедленном – имеет противоположное направление.
Частные случаи вращения тела
Равномерное вращение. Угловая скорость постоянна; угловое ускорение равно нулю: .
Равнопеременное вращение. Угловая скорость линейно меняется со временем; угловое ускорение постоянно: .
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Скорости точек любого твердого тела связаны формулой Эйлера ⇑. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в качестве полюса удобно выбрать любую точку на оси вращения. Тогда скорость точки с радиус-вектором тела, вращающегося с угловой скоростью , определяются по формуле:
.
Здесь – радиус-вектор произвольной точки на оси вращения. Если ось вращения проходит через начало координат, то в качестве можно выбрать точку начала координат . Тогда
.
По правилам векторного произведения,
.
Здесь |CM| – расстояние от точки M до оси вращения (см. рисунок ⇓). Точка M движется по окружности радиуса |CM|. Вектор скорости направлен по касательной к этой окружности в сторону, которая задается направлением вектора угловой скорости.
При вычислении векторного произведения, полезно использовать следующие формулы:
.
Здесь – проекции угловой скорости на оси координат. Таким образом, проекции вектора скорости точки определяются так:
.
Если ось вращения совпадает с осью z, то , .
Скорость и ускорение точек твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси Oz .
Ускорение точки определяется по формуле:
.
Вращательное ускорение:
;
.
Оно направлено по касательной к траектории и связано с изменением скорости точки по абсолютной величине.
Центростремительное (осестремительное) ускорение:
.
Оно направлено по главной нормали – к центру окружности и по абсолютной величине равно
,
где R – расстояние до оси вращения.
Модуль полного ускорения:
.
Угол β между векторами полного и центростремительного ускорений:
.
Плоское движение твердого тела
При плоском движении, все кинематические величины (перемещения, скорости и т.д.) имеют одинаковые значения для всех плоскостей, параллельных плоскости движения. Поэтому для описания плоского движения, нам достаточно рассмотреть движение любого сечения тела, или как говорят, плоской фигуры. Все результаты, полученные для одной плоской фигуры применимы и для других сечений, параллельных плоскости движения. Хотя плоская фигура имеет свои контуры и характерные точки, но мы считаем, что она не ограничена в размерах, поскольку ее размер может зависеть от выбора сечения. Кроме этого имеются некоторые точки, например мгновенный центр скоростей, которые служат только для проведения расчетов и могут находиться за пределами тела.
Для описания плоского движения, мы выбираем плоскую фигуру; проводим в ней двумерную систему координат x, y. Далее, произвольным образом выбираем точку A . Эту точку мы будем называть полюсом. Тогда положение тела однозначно определяется координатами точки A и углом поворота φ , относительно, произвольным образом выбранного направления, например оси x . При этом движение тела определяется тремя уравнениями, которые называют уравнениями плоского (или плоскопараллельного) движения тела:
.
Эти уравнения также называют уравнениями движения плоской фигуры. При таком описании, движение тела слагается из поступательного движения полюса A , и вращательного движения вокруг него. Поступательное движение зависит от выбора полюса, а угол поворота φ – нет.
Определение скоростей
Скорость точки B с радиус-вектором определяется по формуле Эйлера ⇑:
(П1) .
То есть скорость точки B тела равна векторной сумме скорости полюса A и относительной скорости . Относительное движение является вращением с угловой скоростью относительно оси, проходящей через полюс A перпендикулярно плоскости фигуры. Поскольку вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости движения, то он перпендикулярен и вектору скорости. Тогда модуль относительной скорости равен произведению угловой скорости на расстояние от точки до полюса:
.
Мгновенный центр скоростей
Определения и свойства
Далее мы будем обозначать мгновенный центр скоростей буквой P . Для плоской фигуры – это точка. Для твердого тела – это ось, проходящая через точку P перпендикулярно плоскости движения. Эта ось может находиться за пределами тела.
Если плоская фигура движется непоступательно, то мгновенный центр скоростей всегда существует. Для поступательного движения, МЦС находится на бесконечности.
Приняв МЦС P в качестве полюса, получим значение вектора скорости произвольной точки B :
.
Поскольку движение плоское, то . Тогда модуль скорости точки B плоской фигуры равен произведению угловой скорости на расстояние до мгновенного центра скоростей:
.
Вектор скорости перпендикулярен отрезку, соединяющим точку с МЦС и направлен в сторону вращения плоской фигуры.
Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС:
(Ц1) .
Модуль угловой скорости плоской фигуры равен отношению модуля скорости произвольной точки к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей:
.
Теорема Шаля
Плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра, который называют центром вращений, или осью вращений.
Мгновенный центр вращений – это центр вращений, определяемый согласно теореме Шаля, при бесконечно малом перемещении фигуры.
Если рассматривать перемещение плоской фигуры со временем, то мгновенный центр вращений совпадает с мгновенным центром скоростей.
Неподвижная центроида – это геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на неподвижной плоскости.
Подвижная центроида – это геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на плоской фигуре.
Например, если колесо катится без проскальзывания по неподвижной прямой, то неподвижной центроидой является прямая, а подвижной – обод колеса.
Теорема Пуансо
При движении плоской фигуры, подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде.
Определение положения МЦС
1) Если скорости и точек A и B не параллельны, то МЦС есть точка пересечения прямых, проведенных через эти точки, перпендикулярно векторам их скоростей.
2) Если векторы и не равны, параллельны и перпендикулярны прямой AB , то для определения МЦС необходимо знать модули и направления скоростей, и применить формулу (Ц1).
3) Если векторы и равны, то МЦС находится на бесконечности, .
4) Если тело катится без скольжения по неподвижной поверхности, то МЦС находится в точке соприкосновения тела и поверхности.
Определение ускорений
Дифференцируя уравнение Эйлера (П1) по времени, получаем ускорение точки B :
(П1) ;
.
Итак мы нашли ускорение произвольной точки B плоской фигуры. Этот результат можно представить в следующем виде:
.
То есть ускорение произвольной точки B плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорению этой точки относительно полюса , которое определяется по формулам вращательного движения относительно неподвижного центра A . То есть равно геометрической сумме вращательного и центростремительного ускорений:
.
Вращательное ускорение относительно полюса перпендикулярно отрезку AB , соединяющим точку с полюсом. Центростремительное относительное ускорение направлено от точки B к A . Поскольку угловое ускорение также перпендикулярно AB , то
.
Мгновенный центр ускорений
Чтобы построить точку Q нужно выполнить следующие действия.
1) Из полюса A построить вектор ускорения .
2) Из полюса A провести луч AQ под углом к вектору ускорения полюса так, чтобы направление поворота от к AQ совпадало с направлением углового ускорения ε .
3) На луче AQ построить точку Q на расстоянии от точки A .
Приняв точку Q в качестве полюса, получим ускорение произвольной точки B твердого тела:
,
где – единичный вектор касательной к окружности радиуса QB ; – единичный вектор, направленный от B к Q .
Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений:
.
Векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и мгновенный центр ускорений один и тот же угол
.
Мгновенный центр скоростей P и мгновенный центр ускорений Q являются различными точками плоской фигуры.
Сферическое движение твердого тела
При сферическом движении, точки тела движутся по сферическим поверхностям. Положение тела часто определяют с помощью трех углов ψ, θ, φ , которые называются углами Эйлера. Для этого вводят две системы координат – неподвижную , и подвижную Oxyz , связанную с телом. Связь между ними осуществляется следующим образом.
1) Поворачиваем неподвижную систему координат на угол ψ вокруг оси . Получаем систему .
2) Поворачиваем систему координат на угол θ вокруг оси ON . Получаем систему ONK′z .
3) Поворачиваем систему координат ONK′z на угол φ вокруг оси Oz . Получаем систему координат Oxyz , связанную с телом.
Ось ON называется линией узлов; ψ – угол прецессии; θ – угол нутации; φ – угол собственного вращения. При движении тела, эти углы являются функциями от времени:
.
Теорема Эйлера – Даламбера
Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.
Следствие теоремы Эйлера – Даламбера
При сферическом движении твердого тела существует ось, на которой скорости точек равны нулю. Такая ось называется мгновенной осью вращения.
Угловое ускорение ε является касательной к годографу abc угловой скорости. P1, P2 – мгновенные оси вращения.
Угловая скорость тела параллельна мгновенной оси вращения. Для удобства ее вектор откладывают из неподвижной точки. При движении, угловая скорость изменяется как по абсолютной величине, так и по направлению. Конец вектора описывает годограф вектора угловой скорости.
Угловое ускорение – это скорость изменения угловой скорости:
.
Оно направлено по касательной к годографу вектора угловой скорости. При сферическом движении, в отличии от случаев вращения вокруг неподвижной оси и плоского движения, направление вектора углового ускорения может не совпадать с направлением вектора угловой скорости.
Скорости точек тела определяются по формуле Эйлера ⇑. В качестве полюса возьмем неподвижную точку O . Тогда для скорости произвольной точки с радиус-вектором имеем: . Если начало координат выбрать в точке O , то , тогда
.
Модуль скорости определяется по формуле:
,
где α – угол между векторами и ; h – расстояние от точки до мгновенной оси вращения.
Ускорение при сферическом движении твердого тела.
Ускорение точки определяется по формуле:
.
Вращательное ускорение направлено перпендикулярно плоскости, образованной векторами углового ускорения и радиус-вектором . Оно имеет модуль , где β – угол между векторами и ; – расстояние от точки до оси E, проведенной из неподвижного центра O параллельно вектору углового ускорения.
Центростремительное (осестремительное) ускорение направлено к мгновенной оси вращения P и перпендикулярно ей. По модулю оно равно .
Свободное движение твердого тела
Это самый общий случай движения твердого тела. Свободное тело имеет шесть степеней свободы. Для описания его движения, выберем произвольную точку A тела в качестве полюса. Далее вводим две системы координат – неподвижную OXYZ, и подвижную систему , начало которой в каждый момент времени совпадает с точкой A, а оси параллельны осям неподвижной системы OXYZ. Таким образом, система совершает поступательное движение относительно OXYZ. Тогда свободное движение твердого тела можно рассматривать как сложное движение, состоящее из поступательного движения по закону движения полюса A, и сферического движения в системе координат , с неподвижной точкой A.
Уравнения движения свободного твердого тела представляют собой шесть равенств:
.
Здесь ψ, θ, ϕ – углы Эйлера. Первые три уравнения определяют поступательную часть движения и зависят от выбора полюса. Последние три уравнения определяют сферическое движение, и от выбора полюса не зависят.
Скорость любой точки B тела равна векторной сумме скорости полюса и скорости этой точки при ее сферическом движении относительно полюса:
,
где – радиус-вектор, проведенный из точки A в точку B.
Ускорение точки свободного твердого тела равно векторной сумме ускорения полюса, центростремительного (осестремительного) ускорения точки и ее вращательного ускорения относительно полюса:
.
Сложное движение точки
Для описания сложного движения, мы выбираем неподвижную (основную) систему координат и подвижную . Будем считать, что подвижная система связана с некоторым движущимся твердым телом, относительно которого, в свою очередь движется точка. Например, человек, идущий в движущемся вагоне. Здесь неподвижная система координат – это система, связанная с рельсами и ландшафтом. Твердое тело – вагон. Точка – человек. Подвижная система координат – система, связанная с вагоном. Абсолютное движение – движение человека относительно рельс; относительное движение – движение человека относительно вагона; переносное движение – движение вагона относительно рельс.
Абсолютная скорость (ускорение) точки – это скорость (ускорение) точки в неподвижной системе координат.
Переносная скорость (ускорение) точки – это скорость (ускорение) той точки подвижной системы координат, в которой, в данный момент времени, находится точка, совершающая сложное движение.
Относительная скорость (ускорение) точки – это скорость (ускорение) точки относительно подвижной системы координат.
Теорема о сложении скоростей
При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей:
.
Модуль абсолютной скорости: .
Эту теорему также называют правилом параллелограмма или треугольника скоростей.
Теорема Кориолиса о сложении ускорений
При составном движении, абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного , относительного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение); – угловая скорость вращения подвижной системы координат.
Кориолисово ускорение также называют поворотным ускорением. Оно характеризует изменение направления относительной скорости точки, вызванное вращением подвижной системы координат. Если переносное движение является поступательным, то , кориолисово ускорение равно нулю.
Сложное движение твердого тела
Теперь рассмотрим сложное движение твердого тела – то есть такое движение, при котором твердое тело движется относительно некоторой системы координат , которая, в свою очередь движется относительно неподвижной системы координат . Такое движение часто называют сложением движений. Пусть A – произвольная точка тела, которую мы выберем в качестве полюса. Тогда скорость произвольной точки B тела относительно подвижной системы координат определяется по формуле:
.
В свою очередь, подвижную систему координат также можно рассматривать как твердое тело. Тогда скорость точки B при переносном движении:
.
Применяя теорему о сложении скоростей, найдем скорость точки B относительно неподвижной системы отсчета:
.
Отсюда следует, что скорость полюса относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скоростей полюса при переносном и относительном движениях:
.
Угловая скорость равна векторной сумме угловых скоростей:
.
Рассмотрим частные случаи сложного движения твердого тела.
Сложение двух поступательных движений
При сложении двух поступательных движений, . Тогда . Результирующее движение также является поступательным. Скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений:
.
Сложение вращательных движений вокруг пересекающихся осей
При сложении двух вращательных движений вокруг пересекающихся осей, результирующее движение также является вращательным. При этом ось вращения проходит через точку пересечения осей параллельно вектору абсолютной угловой скорости:
.
Если оси вращения изменяются со временем, то все сказанное выше имеет место для мгновенных осей вращения.
Аналогично предыдущему, при сложении нескольких вращательных движений вокруг пересекающихся осей, результирующее движение также является вращательным. Ось результирующего вращения проходит через точку пересечения осей параллельно вектору абсолютной угловой скорости:
.
Сферическое движение
Как было указано ранее, при сферическом движении, положение тела можно задать с помощью углов Эйлера. Они определяются последовательными переходами от неподвижной системы координат к системе координат , связанной с телом: . Такие переходы можно рассматривать как сложное движение, состоящее из серии вращений ⇑. При этом каждая последующая система координат является повернутой относительно предыдущей на соответствующий угол: ψ, θ, φ , изменяющиеся со временем. Дифференцируя эти углы по времени, получаем угловые скорости вращений систем координат, которые имеют следующие названия:
– угловая скорость прецессии; – угловая скорость нутации; – угловая скорость собственного вращения.
Связь угловых скоростей с углами Эйлера.
Векторы этих угловых скоростей направлены, соответственно, вдоль осей . Тогда вектор угловой скорости тела относительно неподвижной системы координат равен сумме угловых скоростей:
.
Его модуль:
.
Проекции вектора угловой скорости на оси подвижной системы координат Oxyz определяются с помощью кинематических уравнений Эйлера, которые имеют следующий вид:
;
;
.
Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей
Направления вращений совпадают
Если направления вращений совпадают, то угловая скорость, при абсолютном движении, равна сумме модулей угловых скоростей переносного и относительного движений: . Направление вектора совпадает с направлениями векторов и . Движение является плоскопараллельным. Мгновенная ось вращений проходит через точку C (см. рисунок), находящуюся между осями вращений. При этом
;
.
Вращения противоположны
В этом случае, угловая скорость, при абсолютном движении, равна модулю разности абсолютных значений угловых скоростей: , а направление совпадает с направлением наибольшей по абсолютной величине угловой скорости. Движение также является плоскопараллельным. Мгновенная ось вращений проходит через точку C (см. рисунок) так, что ось с наибольшей угловой скоростью оказывается между остальными осями. При этом
;
.
Пара вращений
Пара вращений – это такое сложное движение твердого тела, при котором угловые скорости противоположны по направлению и равны их абсолютные значения: . В этом случае тело совершает поступательное (или мгновенное поступательное движение). Скорости всех точек тела равны . Мгновенная ось вращения находится на бесконечности. Примером такого движения является движение педалей велосипеда относительно рамы.
Сложение поступательного и вращательного движений
Поступательное движение перпендикулярно оси вращения
Если скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения, то это плоскопараллельное движение. Оно имеет мгновенную ось вращения, находящуюся на расстоянии от оси и удаленную от нее в сторону, перпендикулярно вектору .
Винтовое движение
Если скорости и постоянны, то шаг винта также постоянен и определяется по формуле: . При постоянных скоростях и , траекторией любой точки, не лежащей на оси винта, является винтовая линия. При этом скорость точки направлена по касательной к винтовой линии и имеет абсолютное значение , где r – расстояние до оси вращения; – скорость вращательного движения, перпендикулярная оси винта.
Поступательное движение под произвольным углом к оси вращения
Здесь скорость поступательного движения можно разложить на две составляющие – параллельную и перпендикулярную оси вращения . Рассматривая движение в плоскости, перпендикулярной оси вращения, мы можем найти мгновенный центр скоростей P . Он находится на расстоянии от оси . Прибавив сюда скорость , получим винтовое движение с осью . Если скорости меняются со временем, то ось будет мгновенной винтовой осью, а все движение можно рассматривать как состоящее из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей. Такое движение называется мгновенно–винтовым движением.
Использованная литература:
А. А. Яблонский, В.М. Никифорова. Курс теоретической механики, часть 1, статика, кинематика. Москва, «Высшая школа», 1966.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 17-08-2015 Изменено: 29-01-2020
Кинематика
Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.
Кинематика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение.
Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если
- расстояние, которое проходит тело, много больше его размера;
- расстояние от данного тела до другого тела много больше его размера;
- тело движется поступательно.
Система отсчета — это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.
Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением за данный промежуток времени.
Важно!
В процессе движения путь может только увеличиваться, а перемещение как увеличиваться, так и уменьшаться, например, когда тело поворачивает обратно.
При прямолинейном движении в одном направлении путь равен модулю перемещения, а при криволинейном — путь больше перемещения.
Перемещение на замкнутой траектории равно нулю.
Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.
Механическое движение и его виды
Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение может быть:
1. по характеру движения
- поступательным — это движение, при котором все точки тела движутся одинаково и любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельна сама себе;
- вращательным — это движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, расположенным в параллельных плоскостях;
- колебательным — это движение, которое повторяется в двух взаимно противоположных направлениях;
2. по виду траектории
- прямолинейным — это движение, траектория которого прямая линия;
- криволинейным — это движение, траектория которого кривая линия;
- равномерным — движение, при котором скорость тела с течением времени не изменяется;
- неравномерным — это движение, при котором скорость тела с течением времени изменяется;
- равноускоренным — это движение, при котором скорость тела увеличивается с течением времени на одну и ту же величину;
- равнозамедленным — это движение, при котором скорость тела уменьшается с течением времени на одну и ту же величину.
Относительность механического движения
Относительность движения — это зависимость характеристик механического движения от выбора системы отсчета.
Правило сложения перемещений
Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:
где \( S \) — перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;
\( S_1 \) — перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;
\( S_2 \) — перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
Правило сложения скоростей
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:
где \( v \) — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;
\( v_1 \) — скорость тела относительно подвижной системы отсчета;
\( v_2 \) — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
Относительная скорость
Важно! Чтобы определить скорость одного тела относительно другого, надо мысленно остановить то тело, которое мы принимаем за тело отсчета, а к скорости оставшегося тела прибавить скорость остановленного, изменив направление его скорости на противоположное.
Пусть \( v_1 \) — скорость первого тела, а \( v_2 \) — скорость второго тела.
Определим скорость первого тела относительно второго \( v_ <12>\) :
Определим скорость второго тела относительно первого \( v_ <21>\) :
Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.
Если скорости направлены перпендикулярно друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме Пифагора:
Если скорости направлены под углом \( \alpha \) друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме косинусов:
Скорость
Скорость — это векторная величина, характеризующая изменение перемещения данного тела относительно тела отсчета с течением времени.
Обозначение — \( v \) , единицы измерения — м/с (км/ч).
Средняя скорость — это векторная величина, равная отношению всего перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:
Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, к промежутку времени, за которое этот путь пройден:
Важно! Чтобы определить среднюю скорость на всем участке пути, надо время разделить на отдельные промежутки и все время представить в виде суммы этих промежутков.
Чтобы определить среднюю скорость за все время движения, надо путь разделить на отдельные участки и весь путь представить как сумму этих участков.
Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.
Ускорение
Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Обозначение — \( a \) , единица измерения — м/с 2 .
В векторном виде:
где \( v \) – конечная скорость; \( v_0 \) – начальная скорость;
\( t \) – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.
В проекциях на ось ОХ:
где \( a_n \) – нормальное ускорение, \( a_ <\tau>\) – тангенциальное ускорение.
Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, а значит, направлено вдоль касательной к кривой:
Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость – векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.
Важно!
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.
Если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) = 0, то тело движется по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = 0, \( v \) ≠ 0, то тело движется равномерно по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) ≠ 0, тело движется равномерно по кривой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = const, то тело движется равномерно по окружности;
если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) ≠ 0, то тело движется неравномерно по окружности.
Равномерное движение
Равномерное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
Скорость при равномерном движении – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:
Проекция вектора скорости на ось ОХ:
Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:
График скорости (проекции скорости)
График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:
График скорости при равномерном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью \( t \) , тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью \( t \) , тело движется против оси ОХ.
Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:
Проекция вектора перемещения на ось ОХ:
График перемещения (проекции перемещения)
График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:
График перемещения при равномерном движении – прямая, выходящая из начала координат.
График 1 лежит над осью \( t \) , тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью \( t \) , тело движется против оси ОХ.
По графику зависимости скорости от времени можно определить перемещение, пройденное телом за время \( t \) . Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).
Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:
График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: \( x=x(t) \) .
График координаты при равномерном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется по направлению оси ОХ:
График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:
Прямолинейное равноускоренное движение
Прямолинейное равноускоренное движение – это движение по прямой, при котором тело движется с постоянным ускорением:
При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.
Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
При разгоне (в проекциях на ось ОХ):
При торможении (в проекциях на ось ОХ):
График ускорения (проекции ускорения) при равноускоренном движении представляет собой зависимость ускорения от времени:
График ускорения при равноускоренном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью t, тело разгоняется, \( a_x \) > 0.
График 2 лежит под осью t, тело тормозит, \( a_x \) \( v_ <0x>\) > 0, \( a_x \) > 0.
График 2 направлен вниз, тело движется равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ, \( v_ <0x>\) > 0, \( a_x \) \( v_ <0x>\) \( a_x \) \( t_2-t_1 \) . Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).
Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:
Перемещение в \( n \) -ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
Свободное падение (ускорение свободного падения)
Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.
Все тела при свободном падении независимо от массы падают с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли (вертикально вниз).
Обозначение – \( g \) , единицы измерения – м/с 2 .
Важно! \( g \) = 9,8 м/с 2 , но при решении задач считается, что \( g \) = 10 м/с 2 .
Движение тела по вертикали
Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:
Если тело падает вниз без начальной скорости, то \( v_0 \) = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:
Тело брошено вверх:
Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то \( v \) = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:
Движение тела, брошенного горизонтально
Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:
- равномерного движения по горизонтали со скоростью \( v_0=v_ <0x>\) ;
- равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения \( g \) и без начальной скорости \( v_<0y>=0 \) .
Скорость тела в любой момент времени:
Угол между вектором скорости и осью ОХ:
Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:
- равномерного движения по горизонтали;
- равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения.
Скорость тела в любой момент времени:
Угол между вектором скорости и осью ОХ:
Время подъема на максимальную высоту:
Максимальная высота подъема:
Максимальная дальность полета:
Важно!
При движении вверх вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равнозамедленно.
При движении вниз вертикальная составляющая скорости будет увеличиваться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равноускоренно.
Скорость \( v_0 \) , с которой тело брошено с Земли, будет равна скорости, с которой оно упадет на Землю. Угол \( \alpha \) , под которым тело брошено, будет равен углу, под которым оно упадет.
При решении задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, важно помнить, что в точке максимального подъема проекция скорости на ось ОУ равна нулю:
Это облегчает решение задач:
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.
Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.
Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением.
Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным.
Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.
Центростремительное ускорение – это ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора линейной скорости.
Обозначение – \( a_ <цс>\) , единицы измерения – м/с 2 .
Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Обозначение – \( T \) , единицы измерения – с.
где \( N \) – количество оборотов, \( t \) – время, за которое эти обороты совершены.
Частота вращения – это число оборотов за единицу времени.
Обозначение – \( \nu \) , единицы измерения – с –1 (Гц).
Период и частота – взаимно обратные величины:
Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности.
Обозначение – \( v \) , единицы измерения – м/с.
Линейная скорость направлена по касательной к окружности:
Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота к времени, за которое поворот произошел.
Обозначение – \( \omega \) , единицы измерения – рад/с .
Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика).
Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости.
Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:
Важно!
При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к. радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:
Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:
Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь относительно нее с линейной скоростью \( v_1 \) , и все точки обода колеса движутся относительно его центра с такой же линейной скоростью \( v_1 \) , то относительно дороги мгновенная скорость разных точек колеса различна.
Мгновенная скорость нижней точки \( (m) \) равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке \( (n) \) равна удвоенной скорости \( v_1 \) , мгновенная скорость точки \( (p) \) , лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке \( (c) \) – по теореме косинусов.
Векторные уравнения в кинематике
Как известно, при равноускоренном движении зависимости скорости \(\overrightarrow \upsilon\) и перемещения \(\overrightarrow S\) тела от времени задаются формулами
\[\overrightarrow \upsilon = \overrightarrow <<\upsilon _0>> + \overrightarrow a t\;\;\;\;(1)\]
где начальная скорость \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) и ускорение тела \(\overrightarrow a\) — не зависящие от времени векторы.
Упражнение 1. Из формул (1) и (2) получите следующие выражения:
\[\overrightarrow S = \frac<<\overrightarrow <<\upsilon _0>> + \overrightarrow \upsilon >><2>t\]
\[ <\upsilon ^2>– \upsilon _0^2 = 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow S\;\;\;\;(3)\]
Упражнение 2. Убедитесь, что из формулы (2) после дифференцирования по времени получается выражение (1).
Среди всевозможных случаев равноускоренного движения особое место занимает свободное падение тел в поле тяжести. Решение большинства задач на эту тему сводится, как правило, к применению формул (1), (2) и (3). На этом примере мы и рассмотрим основные методы работы с векторными уравнениями.
Задача 1
Тело, брошенное с поверхности земли под углом \(\alpha\) к горизонту, упало на расстоянии \(L\) от места броска. Определите время полета тела.
Рисунок 1
Решение 1. Выберем оси координат \(X\) и \(Y\) так, как показано на рисунке 1, и запишем векторное уравнение (2) в проекциях на эти оси:
Пусть \(\tau\) — искомое время полета. Из условия задачи следует, что при \(t = \tau\) тело имеет координаты \(X = L\) и \(Y = 0\). Уравнения (4), записанные для момента падения тела, дают систему из двух уравнений с двумя неизвестными
Отсюда, исключив \(\upsilon_0\), находим
Мы решили задачу стандартным методом, который можно назвать «проектированием на оси». С его помощью векторное уравнение сводится к системе скалярных, которая затем решается обычным образом. Именно так абитуриенты обычно и решают подобные задачи, однако при ответе даже несложные вопросы зачастую ставят их в тупик. Например, такие:
1) Какая разница между системами уравнений (4) и (5)?
2) Почему из трех уравнений (1) — (3), описывающих равноускоренное движение, для проектирования выбрано второе?
3) Почему именно так направлены оси координат?
Упражнение 3. Прежде чем читать ответы, подумайте, как бы вы ответили на эти вопросы.
Вы, конечно же, решали задачи с числовыми данными и знаете, что обычно требуется сначала получить буквенный ответ, или, как принято говорить, ответ в общем виде, а потом подставить в него числа. Понятно, что в буквенном ответе содержится несоизмеримо больше информации, чем в числовом. Так вот, система (4) находится примерно в таком же отношении к системе (5), как и буквенный ответ к числовому. Так, если первая система верна всегда, т. е. из нее можно найти координаты тела в любой момент времени, то вторая верна только для момента падения тела.
По поводу второго вопроса заметим, что три изменяющиеся со временем величины \(\overrightarrow \upsilon\), \(\overrightarrow S\) и \(t\) в уравнения (1) — (3) входят парами. В нашей задаче известна дальность \(\left( <\overrightarrow S >\right)\), а найти нужно время \(\left( t \right)\), поэтому мы и выбрали уравнение с парой \(\overrightarrow S\), \(t\), т. е. второе.
Упражнение 4. Как нужно переделать условие задачи, чтобы она решалась с помощью уравнений (1) или (3)?
Заметим, что эти соображения легко переносятся на задачи из любого раздела физики. Ведь все встречающиеся в задаче величины можно разбить на три группы: известные величины; неизвестные величины, которые необходимо найти; неизвестные величины, которые не требуется находить. Ясно, что если в формулы не входят первые два типа, то задачу не решить, а вот от третьих желательно по возможности избавиться.
Что касается третьего вопроса, то вы, наверное, посчитаете его глупым и скажете, что, конечно же, именно эти оси координат самые удобные. Вообще в такой задаче мысль направить оси куда-нибудь еще выглядит крамольной. И это легко обосновать. Действительно, естественно считать метод удобнее, если он позволяет получить ответ при меньшем количестве вычислений. В этом смысле наибольшие неприятности в уравнении (2) сулит член \(\frac<<\overrightarrow g
Рисунок 2
Решение 2. Направим ось \(Z\) перпендикулярно начальной скорости \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) (рис. 2). В проекциях на эту ось вместо уравнения (2) получим
При \(t = \tau\) \(z = L\sin \alpha\). Отсюда получаем ответ:
Это решение стало возможным потому, что величина третьего типа (по нашей классификации) \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) — векторная, и от нее можно избавиться удачным выбором оси координат, получив тем самым одно уравнение с одним неизвестным.
Впрочем, можно вообще обойтись без всяких осей…
Рисунок 3
Решение 3. Формула (2) утверждает, что при равноускоренном движении вектор перемещения тела в любой момент времени равен сумме векторов \(\overrightarrow <<\upsilon _0>> t\) и \(\frac<<\overrightarrow g
Рисунок 4
«Нарисуем» формулу (2) для момента падения тела \(\tau\) (рис. 4). Из получившегося прямоугольного треугольника легко найдем
Рисунок 5
Упражнение 5. Тело бросают под углом \(\beta\) к горизонту со склона горы, наклоненной под углом \(\alpha\) к горизонту. Тело упало на расстоянии \(L\) от места броска. 1) Напишите уравнения движения тела (уравнение (2)) в проекциях на оси 1—5 (рис. 5) для момента падения тела на склон горы. 2) Выберете любые два из этих уравнений и покажите, что оставшиеся можно получить из этих двух. 3) Для каждого из полученных уравнений придумайте задачу, в которой это уравнение сразу приводит к цели.
Задача 2
На гладкую неподвижную наклонную плоскость с углом наклона \(\alpha\) налетает стальной шарик под углом \(\beta\) к плоскости (рис. 6). При каких значениях \(\beta\) шарик сможет вернуться в точку его первого удара о плоскость? Все соударения считать упругими.
Рисунок 6
Ограничимся одним — наиболее разумным, с нашей точки зрения, решением этой задачи.
Решение. Движение шарика в целом в этом случае не является равноускоренным из-за ударов о плоскость. Однако в промежутках между ударами шарик движется под действием только силы тяжести и, следовательно, равноускоренно. Поэтому для каждого промежутка можно использовать формулы (1) — (3), правда для этого всякий раз нам придется искать начальную скорость.
Как известно, при упругом ударе составляющая скорости шарика, параллельная плоскости, не изменяется, а перпендикулярная плоскости составляющая лишь меняет знак, также не изменяясь по величине. Тогда, зная скорость шарика \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) перед первым ударом, найдем скорость после этого удара и подставим ее в формулу (2) для первого участка равноускоренного движения. Затем по формуле (1) найдем скорость шарика перед вторым ударом, и т. д. Другими словами, формулы (1) — (3) плюс условия упругого удара полностью определяют движение шарика.
Рисунок 7
Осталось только определиться с выбором осей. Если, по традиции, направить оси горизонтально и вертикально, то мы, конечно, выиграем при написании уравнений движения для отдельных участков (так как проекция шарика на горизонтальную ось движется равномерно), но зато очень сложными станут условия отскока шарика. Поэтому направим оси \(X\) и \(Y\) так, как показано на рисунке 7, и запишем уравнение (2) в проекциях на эти оси:
Шарик ударится о плоскость второй раз, когда координата \(y\) станет равна нулю (еще одно преимущество выбранных нами осей). Решив уравнение
найдем, что второй удар произойдет через время
Чтобы найти скорость шарика перед вторым ударом (т. е. через время \(\tau\)), запишем в проекциях на наши оси уравнение (1):
Подставляя \(t = \tau = \frac<<2<\upsilon _<0y>>>><< –
Рисунок 8
Ответить на вопрос задачи теперь удобнее всего, нарисовав друг под другом графики зависимости координат шарика от времени (рис. 8). Шарик вернется в ту же точку, если в некоторый момент \(x = y = 0\), что может быть, только если \(T = n\tau\), где \(n\) — целое число. Итак,
Интересно, что при четных и нечетных \(n\) шарик ведет себя несколько по-разному. При четных \(n\) средний удар шарика (всего ударов \(n + 1\)) происходит перпендикулярно плоскости, и шарик возвращается обратно по той же траектории. Если же \(n\) нечетно, то после половины ударов шарик летит вертикально вверх, падает обратно и также возвращается, повторяя весь пройденный путь.
Задача 3
В область пространства, где создано горизонтальное электрическое поле с напряженностью \(\overrightarrow E\), запускают шарик, масса которого \(m\), а заряд \(q\), со скоростью \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\), направленной вертикально вверх. Какова минимальная скорость шарика в процессе движения?
Вас не удивило присутствие здесь «электрической» задачи? Нет? И правильно, эта задача, конечно же, имеет прямое отношение к кинематике.
Обсудим два решения.
Рисунок 9
Решение 1. На шарик в полете действуют две постоянные силы: сила тяжести \(m\overrightarrow g\) и электрическая сила \(\overrightarrow E q\) (рис. 9). По второму закону Ньютона ускорение шарика постоянно и равно
Рисунок 10
На рисунке 10 показано, как изменяется со временем вектор скорости шарика («нарисована» формула (1)). Ясно, что минимальной скорость будет через время
и ее величина будет равна
Если вам хочется побольше формул, можно сделать по-другому.
Рисунок 11
Решение 2. Направим оси координат перпендикулярно и параллельно ускорению (рис. 11) и запишем уравнение (1) в проекциях на эти оси:
(Сравните co свободным падением тела, брошенного под углом к горизонту.) Так как оси перпендикулярны,
Так как \(<\left( <<\upsilon _0>\sin \alpha – at> \right)^2> \geq 0\),
Подставляя сюда выражение для \(\cos \alpha\), получим прежний ответ.
Если вы располагаете большим количеством свободного времени и чистой бумаги, убедитесь, что при другом выборе осей решение, мягко говоря, проще не становится.
Задачи для самостоятельной работы
- Шарик свободно падает с высоты \(H\) на наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha\) с горизонтом (рис. 12). Найдите отношение расстояний между точками, в которых подпрыгивающий шарик касается наклонной плоскости. Соударения шарика с плоскостью считать абсолютно упругими.
Рисунок 12
- Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будут падать мины, если время их полета \(\tau\)? Угол наклона горы к горизонту \(\beta\), миномет стреляет под углом \(\alpha\) к горизонту.
- Со стола высотой \(H\) сбрасывают упругий шарик, сообщая ему некоторую горизонтальную скорость. В момент, когда шарик испытывает одно из бесчисленных упругих соударений с полом, с того же стола горизонтально сбрасывают другой шарик, сообщая ему такую скорость, чтобы он столкнулся с первым шариком. На какой высоте произойдет встреча?
- Электрон влетает в плоский конденсатор, параллельно его пластинам, со скоростью \( <\upsilon _0>= 2 \cdot <10^6>\) м/с. Найдите модуль скорости электрона в момент его вылета из конденсатора. Напряженность поля в конденсаторе \(E = 100\) В/м, длина пластин \(L = 8\) см, заряд электрона \(e = 1,6 \cdot <10^< – 19>>\) Кл, его масса \(m = 9,1 \cdot <10^< – 34>>\) кг.
Источник: Журнал “Квант”, №2 1991 г. Автор: Д. Александров.
http://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/kinematika.html
http://easyfizika.ru/articles/vektornye-uravneniya-v-kinematike/