Кинематическое уравнение пуассона для кватернионов

Кинематические уравнения (в кватернионной форме)

Рассмотрим поворот подвижной системы координат СКm относительно неподвижной – СКs. Ориентацию подвижной системы координат относительно неподвижной зададим кватернионом .

Зададим в системе координат СКs вектор . Тогда

. (1.48)

Продифференцируем выражение (1.58)

. (1.49)

и . (1.50)

Т.к. ; то . (1.51)

. (1.52)

Следовательно, выражение (1.49) примет вид

. (1.53)

(1.54)

. (1.55)

(1.56)

Сравнивая формулы (1.53) и (1.55), можем записать выражение для угловой скорости поворота системы координат СКm относительно неподвижной системы СКs, выраженное в проекциях на оси системы координат СКm.

. (1.57)

Тогда кинематические уравнения принимают вид:

(1.58)

В развернутом виде уравнение (1.58) имеем вид:

(1.59)

Или в матричной форме записи

(1.60)

; (1.61)

1.6. Контрольные вопросы

1. Что такое «углы ортогонального поворота»?

2. Сколько имеет место вариантов задания угловой ориентации твердого тела?

3. Дайте определение угла курса ЛА.

4. Дайте определение угла тангажа ЛА.

5. Дайте определение матрицы направляющих косинусов по Литвин-Седому, определяющей ориентацию связанной системы координат относительно географической.

6. В чем проявляется свойство ортогональности матрицы направляющих косинусов?

7. Постройте матрицу направляющих косинусов, определяющей ориентацию связанной системы координат относительно географической.

8. Как определить угловую скорость системы координат относительно неподвижной при известной матрице направляющих косинусов, определяющей ее ориентацию?

9. Нарисуйте кинематическую схему связей между используемыми системами координат для задания ориентации ЛА.

10. Составьте граф-схему ортогональных поворотов для связи систем координат, заданных в п.9.

11. Дать определение кватерниону и записать его в разных возможных формах записи.

12. Запишите кинематическое уравнение (уравнение Пуассона) через матрицы направляющих косинусов.

13. Запишите кинематическое уравнение (уравнение Пуассона) через кватернионы в матричной форме.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ ЛА ПО ПОКАЗАНИЯМ ГИУ

Постановка задачи.

На борту летательного аппарата установлено n гироскопических измерительных устройств (ГИУ), позволяющих определять/измерять угловые перемещения летательного аппарата. ГИУ установлены на борту ЛА с разной ориентацией своих осей подвеса (см. Рис.2.1.). Таким образом каждый из ГИУ может измерить разные параметры ориентации ЛА Г_i (обычно два параметра) из рассматриваемого набора параметров ориентации ЛА Г. По результатам измерений ГИУ Г_gi , поступающих на блок обработки сигналов (БОС), в последнем по заданным алгоритмам определяются/вычисляются оценки

параметров ориентации ЛА Г о.

Связь между системами координат, используемых при решении задач определения ориентации ЛА, определим схемой (см. рис.2.2).

Рис.2.2. Связь между системами координат

Здесь использованы следующие системы координат:

X₀Y₀Z₀ – инерциальная система координат;

X_gY_gZ_g – географическая система координат;

X_ujY_ujZ_uj – установочная система координат j-ого измерительного устройства;

Y_j – ось, совпадающая с главной осью гироскопического измерительного устройства.

Введем схему ГИУ (см. Рис.2.2.), в которой зададим направления основных осей (осей подвеса гироузла) относительно установочной системы координат и положительные направления углов поворота гироузла ГИУ.

Рисунок соответствует положению гироузла при углах α_i = 0, β_i =0.

Матрицы ориентации систем координат заданы в виде:

(2.1)

; (2.2)

; (2.3)

. (2.4)

Случай 1. Вектор кинетического момента j-ого ГИУ неподвижен в географической системе координат, что имеет место при идеальной работе, например, гировертикали или гирополукомпаса.

Т.е. матрицы .

Тогда для j-ого ГИУ согласно кинематической схеме (см. рис.2.2) имеет место соотношение

Или (2.5)

Зададим начальные условия в виде:

. (2.6)

Тогда параметры матрицы , определяющей ориентацию вектора кинетического момента ГИУ, находится из выражения:

(2.7)

Параметры ориентации ЛА можно определить по показаниям ГИУ на основании уравнения (2.5)

Это уравнение распадается на три скалярных уравнения, которое в общем виде запишем как

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Из уравнения (2.8) находится информация, которая имеется в измеренном ГИУ-ом угле , а из уравнений (2.9) и (2.10) — находится информация, которая имеется в измеренном ГИУ-ом угле . Располагая n ГИУ на борту ЛА и располагая их соответствующим образом, можно получить полную информацию об угловой ориентации ЛА.

Случай 2. Пусть вектор кинетического момента ГИУ неподвижен относительно геоцентрической инерциальной системы координат, что имеет место при идеальной работе, например, определенных видов гироплатформ, неподвижных в инерциальном пространстве. Т.е. матрицы .

Аналогично выше рассмотренному, составим для каждого ГИУ согласно кинематической схеме (см. рис.2.3) соотношения. Тогда для j-ого ГИУ согласно кинематической схеме (см. рис.2.2) имеем

Или (2.11)

Зададим начальные условия в виде:

. (2.12)

Тогда параметры матрицы , определяющей ориентацию вектора кинетического момента ГИУ, находится из выражения:

(2.13)

Параметры ориентации ЛА можно определить по показаниям ГИУ на основании уравнения (2.11)

Это уравнение распадается на три скалярных уравнения, которое в общем виде запишем как

(2.14)

(2.15)

( 2.16)

Из уравнения (2.14) находится информация, которая имеется в измеренном ГИУ-ом угле , а из уравнений (2.15) и (2.16) — находится информация, которая имеется в измеренном ГИУ-ом угле . Располагая n ГИУ на борту ЛА и располагая их соответствующим образом, можно получить полную информацию об угловой ориентации ЛА.

Уравнения (2.11) позволяют получить кинематические уравнения связи между искомыми параметрами ориентации, что и позволяет построить алгоритм работы БОС (см. рис.2.1.) для оценки параметров ориентации ЛА.

Резервная система индикации положения самолета относительно истинного горизонта

РЕЗЕРВНАЯ СИСТЕМА ИНДИКАЦИИ ПОЛОЖЕНИЯ

САМОЛЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ИСТИННОГО ГОРИЗОНТА

Российская Федерация, г. Тула

Авиагоризонтом называют гировертикаль, визуально показывающую положение самолета относительно земного горизонта. Конструкция классического авиагоризонта давно известна и широко используется в летательных аппаратах (далее – ЛА). Она представляет собой гировертикаль с маятниковой коррекцией. В качестве гировертикали выступает трехстепенной гироскоп, а в качестве корректирующей системы используется электролитический маятник.

При выходе из строя авиагоризонта пилот лишается информации о тангаже и крене, что в некоторых ситуациях может привести к катастрофе. Поэтому на большинстве современных ЛА системы авиагоризонтирования дублируются (в некоторых случаях многократно с применением различных методов определения положения). В этом направлении большие перспективы открывает микросистемная техника.

Микромеханические гироскопы (далее – ММГ) выполняются по технологиям микроэлектронной промышленности. Они имеют небольшую массу и габариты, отличаются низким энергопотреблением. Производство ММГ называют МЭМС-технологией (микроэлектромеханические системы, здесь и далее – МЭМС).

В ММГ все механические узлы, электроника, элементы съема и обработки информации выполняются на одном кремниевом чипе. Низкая стоимость материалов и производства обеспечивают дешевизну конструкции.

Не следует, однако, забывать, что микромеханические гироскопы являются приборами низкого класса точности, поэтому их применимость ограничивается короткими интервалами времени, к примеру, в экстренных ситуациях, когда показания основных приборов не являются достоверными.

Принципы построения авиагоризонтов

К настоящему времени в нашей стране и за рубежом разработано большое разнообразие авиагоризонтов, которые могут быть автономными и неавтономными, различаться принципом индикации углов крена и тангажа и диапазоном измерения. Если рассматривать автономные авиагоризонты, то в них измерительный прибор и индикатор выполнены единым агрегатом. К ним подводится только питание, которое может быть электрическим или пневматическим. Измерительным прибором в таких авиагоризонтах является трехстепенной астатический гироскоп с вертикальным расположением главной оси (см. рис. 1).

Как известно, трехстепенной гироскоп не обладает свойством избирательности к истинной вертикали, вследствие чего не может непосредственно служить измерителем углов тангажа и крена. Поэтому гироскопы авиагоризонтов снабжаются маятниковой коррекцией, необходимой для приведения главной оси к истинной вертикали. Но во время виражей возникают центростремительные ускорения, ориентирующие маятниковую систему коррекции по кажущейся вертикали, что приводит к погрешностям определения углов тангажа и крена [1]. Поэтому в моменты выполнения виражей маятниковую систему отключают от специальных устройств, называемых выключателями коррекции.

Трехстепенной астатический гироскоп имеет большую массу габариты и питается от бортовой сети, как правило, переменным напряжением 36 В, 400 Гц. При сбое в работе бортовой сети выходят из строя основные системы измерения и индикации. В этом случае пилот может использовать необходимую для пилотирования информацию от резервных приборов, построенных на микроэлектромеханической элементной базе и продолжить полет до ближайшего пункта посадки.

К МЭМС в основном относят механические устройства размером от микрометра до миллиметра. Отношение объема к площади поверхности у МЭМС на порядки меньше, чем у макроскопических механических устройств, поэтому в этих системах особое значение приобретают поверхностные эффекты, связанные с трением, электростатическими взаимодействиями и смачиваемостью.

Основным материалом для изготовления МЭМС является кремний. Это связано с его механическими свойствами и отработанной технологией структурирования, разработанной для создания современных интегральных схем и изделий микроэлектроники.

Чрезвычайно малый размер позволяет использовать МЭМС в различных малогабаритных устройствах, а относительная дешевизна их производства обуславливает коммерческий успех МЭМС-продукции.

Авиагоризонт на микроэлектромеханической элементной базе

Основным назначением авиагоризонта является обеспечение летчика легко воспринимаемой, крупномасштабной индикацией положения самолета по углам тангажа и крена относительно плоскости истинного горизонта при отсутствии видимости естественного горизонта [1, 2].

Задача определения углов тангажа и крена может быть решена на основе показаний микромеханических гироскопов, которые по своим измерительным свойствам являются датчиками угловой скорости. Три микромеханических гироскопа измеряют три проекции абсолютной угловой скорости самолета на связанные с ним оси и вырабатывают соответствующие сигналы, являющиеся первичными для решения задачи ориентации. Сигналы с выходов отдельных ММГ поступают на вход вычислительной машины, где численно интегрируются уравнения относительно соответствующих кинематических параметров. Кинематические уравнения могут быть записаны непосредственно в углах ориентации самолета, с использованием матриц направляющих косинусов, кватернионов, etc.

Использование алгоритма ориентации с углами Эйлера-Крылова имеет определенные неудобства при численной реализации. Это связано с вырождением параметров ориентации при угле тангажа , так как система углов Эйлера-Крылова, по существу, моделирует некоторый карданов подвес. Кроме того, нелинейность по всем трем углам, связанная с наличием тригонометрических функций, снижает эффективность применения вычислительной техники [4].

Другой способ реализации алгоритма ориентации основан на интегрировании уравнений Пуассона, связывающего матрицу направляющих косинусов и проекции вектора угловой скорости. Уравнения Пуассона – линейные, не имеют особых точек, поэтому не вырождаются при любых углах ориентации. Однако, в отличие от алгоритма с углами Эйлера-Крылова, уравнений Пуассона девять, которые к тому же необходимо дополнять уравнениями связи. Это обстоятельство ограничивает применение кинематического уравнения с направляющими косинусами.

Оптимальным же способом является кинематическое уравнение в кватернионах, которое не вырождается при любом положении объекта и является линейным. К тому же элементов кватерниона четыре, в отличие от матрицы направляющих косинусов, и подчиняются они одному уравнению связи. В связи в этим в работе используются именно эти параметры.

В качестве опорной системы координат примем географическую систему координат , начало которой помещается в центр масс подвижного объекта, ось – направляется на север, – по вертикали вверх, – на восток (см. рис. 2). Введем трехгранник , ребра которого направим вдоль строительных осей самолета (см. рис. 2). Ось совпадает с продольной осью самолета и направлена к носу, ось совпадает с поперечной осью самолета и направлена в сторону правого крыла, ось перпендикулярна плоскости крыльев и направлена вверх. Положение строительных осей самолета (связанная система координат) относительно географического трехгранника определяется тремя углами, которые называются углами рыскания (курса) , тангажа и крена .

Взаимное положение систем координат OXYZ и можно задать при помощи кватерниона

, (1)

где , , , – параметры Родрига-Гамильтона, , , – мнимые единицы.

Кинематическое уравнение в кватернионах имеет вид

, (2)

где – гиперкомплексное отображение вектора абсолютной угловой скорости связанной системы координат, , , – проекции вектора абсолютной угловой скорости самолета на оси связанной системы координат.

Углы тангажа и крена по элементам кватерниона определяются следующим образом

где функция позволяет вычислить значение угла в интервале .

Вычисление углов тангажа и крена на основе показаний микромеханических гироскопов и решения кинематического уравнения (2) можно уподобить трехстепенному гироскопу в традиционных авиагоризонтах, а следовательно, данная система также не обладает свойством избирательности к истинной вертикали. Для придания свойства избирательности системы необходимо привлечь сигналы акселерометров, которые являются аналогом маятникового корректора в традиционных авиагоризонтах. Если разместить три микромеханических акселерометра вдоль осей связанной с самолетом системы координат (см. рис. 3), то при прямолинейном полете самолета с постоянной скоростью их показания будут иметь следующий вид

(3)

где g – ускорение силы тяжести.

Отсюда углы тангажа и крена могут быть найдены следующим образом [3.12]:

(4)

Блок-схема выработки углов тангажа и крена на основе решения кинематического уравнения в кватернионах представлена на рис. 4.

Таким образом, информация об углах тангажа и крена может быть получена на основе показаний акселерометров. При ускоренном движении самолета акселерометры могут привести к значительным погрешностям, так как в этом режиме полета они моделируют кажущуюся вертикаль. Для того чтобы получить аналог медленной прецессии классического авиагоризонта при ускорениях самолета, необходимо вычисленные по показаниям акселерометров углы тангажа и крена пропускать через фильтр низких частот (далее – ФНЧ). Блок-схема авиагоризонта приведена на рис. 5.

Приведенная блок схема содержит два измерительных канала: гироскопов и акселерометров, каждый из которых вырабатывает углы тангажа и крена. Канал гироскопов решает задачу ориентации при помощи интегрирования кинематического уравнения в кватернионах. Из-за неизбежных погрешностей, содержащихся в показаниях гироскопов, данный канал имеет тенденцию к медленному накоплению погрешностей и не обладает свойством избирательности к истинной вертикали. Канал акселерометров не имеет тенденции к накоплению погрешностей, так как не предполагает операции интегрирования, но содержит высокочастотные погрешности акселерометров. Каналы гироскопов и акселерометров сравниваются, и разностный сигнал подается в ФНЧ. Последний ослабляет высокочастотные погрешности канала акселерометров и пропускает низкочастотную погрешность канала гироскопов. Оцененная погрешность впоследствии вычитается из канала гироскопов. ФНЧ пропускает также низкочастотный сигнал акселерометров, связанный с разворотом истинной вертикали при облете Земли, что придает системе свойство избирательности.

При длительных ускорениях, например при виражах, необходимо отключать канал акселерометров и переводить канал гироскопов в автономный режим (пунктирная стрелка на схеме). Информация об оценках углов подается на дисплей, моделирующий искусственный горизонт.

Для проверки работоспособности алгоритмов разработаны специальные программы моделирования в среде Matlab|Simulink (см. рис. 6). Входными данными модели являются истинные углы тангажа и крена, которые принимались синусоидальными сигналами амплитудой 0,1 рад () и частотой 0,05 Гц. Блок Krylov Angles to Angular Velocity формирует из углов ориентации угловые скорости вращения самолета, которые являются показаниями гироскопов. Далее из угловых скоростей формируется кватернион , который затем подается в блок интегрирования кинематического уравнения в кватернионах. По элементам кватерниона в блоке Quaternions to Krylov Angles формируются углы тангажа и крена в канале гироскопов.

Показания акселерометров моделируются в нижней части блок-схемы путем пересчета вектора ускорения силы тяжести из географической системы координат в связанную при помощи матрицы направляющих косинусов, формируемой блоком Krylov Angles to Direction Cosine Matrix. Углы тангажа и крена в канале акселерометров вычисляются в соответствии с формулами (4). В качестве фильтров нижних частот используются апериодические звенья первого порядка с постоянными времени T = 1 c. Скорректированные углы тангажа и крена подаются в блок виртуального авиагоризонта Artificial Horizon и в виртуальный осциллограф Scope, показания которого приведены на рис. 7.

Анализ данного рисунка позволяет сделать вывод об адекватности разработанных алгоритмов.

Облик авиагоризонта на микроэлектромеханической базе

На рисунках 8, 9, 10 в нескольких ракурсах приведена виртуальная сборка исследуемого в данной статье авиагоризонта, созданная в программном комплексе SolidWorks. Наглядно изображены блоки ММГ и акселерометров, давая визуальное представление о вышеописанной резервной системе авиагоризонтирования.

Рис. 1. Конструктивная схема авиагоризонта

Рис.2. Взаимное положение связанной OXYZ и географической систем координат

Рис. 3. Системы координат и измерительные оси акселерометров

Рис. 4. Блок-схема выработки углов тангажа и крена на основе решения кинематического уравнения в кватернионах

Рис. 5. Блок-схема авиагоризонта

Рис. 6. Модель авиагоризонта в среде Matlab|Simulink

Рис. 7. Показания осциллографа Scope

Рис. 8. Виртуальная сборка описанной в статье резервной системы авиагоризонтирования

Рис. 9. Виртуальная сборка описанной в статье резервной системы авиагоризонтирования

Рис. 10. Виртуальная сборка описанной в статье резервной системы авиагоризонтирования

1. Авиагоризонт АГБ-3. Техническое описание и инструкция по эксплуатации. – М.: Машиностроение. 1968. – 43 с.

2. , , Авиационные приборы. – М.: Машиностроение, 1977. – 416 с.

3. Groves P. D. Principles of GNSS, Inertial and Multisensor Integrated Navigation Systems / Artech House, 2008. – 505 p.

4. Микросистемы ориентации беспилотных летательных аппаратов / Под. ред. . – М.: Машиностроение, 2011. – 63 с.