Кинетическая теория газов уравнение больцмана

КИНЕТИ́ЧЕСКАЯ ТЕО́РИЯ ГА́ЗОВ

КИНЕТИ́ЧЕСКАЯ ТЕО́РИЯ ГА́ЗОВ, раз­дел фи­зич. ки­не­ти­ки, изу­чаю­щий свой­ст­ва га­зов ста­ти­стич. ме­то­да­ми на ос­но­ве пред­став­ле­ний об их мо­ле­ку­ляр­ном (атом­ном) строе­нии и оп­ре­де­лён­ном за­ко­не взаи­мо­дей­ст­вий час­тиц га­за. Обыч­но к К. т. г. от­но­сят лишь тео­рию не­рав­но­вес­ных про­цес­сов в га­зах (тео­рия рав­но­вес­ных со­стоя­ний сис­тем – пред­мет рав­но­вес­ной ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки). Осн. объ­ек­ты изу­че­ния К. т. г. – га­зы, их сме­си, а так­же плаз­ма, тео­рия ко­то­рой вы­де­ли­лась в са­мо­сто­ят. об­ласть. Ос­но­вы К. т. г. за­ло­же­ны в тру­дах Дж. Мак­свел­ла и Л. Больц­ма­на во 2-й пол. 19 в.

кинетическое уравнение больцмана

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА — интегродифференц. ур-ние, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф-ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r, ф-ции распределения электронов в металле, фононов в кристалле и т. п. К. у. Б.- осн. ур-ние мик-роскопич. теории неравновесных процессов (кинетики физической), в частности кинетической теории газов. К. у. Б. в узком смысле наз. выведенное Л. Больцма-ном (L. Boltzmann) кинетич. ур-ние для газов малой плотности, молекулы к-рых подчиняются классич. механике. К. у. Б. для квазичастиц в кристаллах, напр. для электронов в металле, наз. также кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа частиц (точнее, точек, изображающих состояние частиц) в элементе фазового объёма ; dr= =dxdydz)и выражает тот факт, что изменение ф-ции распределения частиц со временем t происходит вследствие движения частиц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из частиц одного сорта, К. у. Б. имеет вид

где — изменение плотности числа частиц в элементе фазового объёма за единицу времени, F= =F(r,t) — сила, действующая на частицу (может зависеть также и от скорости), — изменение ф-ции распределения вследствие столкновений (интеграл столкновений). Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменения ф-ции распределения в результате перемещения частиц в пространстве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями частиц, связано с уходом частиц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма частицами, испытавшими «обратные» столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то

— скорости частиц до столкновения, — скорости тех же частиц после столкновения, — величина относит. скорости сталкивающихся частиц, — дифференц. эфф. сечение рассеяния частиц в телесный угол в лаб. системе координат, — угол между относит. скоростью и линией центров. Напр., для жёстких упругих сфер, имеющих радиус R, = , для частиц, взаимодействующих по закону центр. сил, (b — прицельный параметр, — азимутальный угол линии центров).

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих частиц это область порядка диаметра частиц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся частиц (гипотеза молекулярного хаоса). Если система находится в статистич. равновесии, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. является Максвелла распределение.

При более строгом подходе для построения К. у. Б. исходят из Лиувилля уравнения для плотности распределения всех молекул газа в фазовом пространстве, из к-рого получают систему ур-ний для ф-ций распределения одной, двух и т д. молекул (Боголюбова уравнения). Эту цепочку ур-ний решают с помощью разложения по степеням плотности частиц с использованием граничного условия ослабления корреляций, заменяющего гипотезу молекулярного хаоса.

Решение К. у. Б. при разл. предположениях о силах взаимодействия между частицами — предмет кинетич. теории газов, к-рая позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для процессов переноса (вязкости, диффузии, теплопроводности).

Для квантовых газов значения эфф. сечений рассчитывают на основе квантовой механики с учётом неразличимости одинаковых частиц и того факта, что вероятность столкновения зависит не только от произведения ф-ций распределения сталкивающихся частиц, но и от ф-ций распределения частиц после столкновения. Для фермионов в результате этого вероятность столкновения будет уменьшаться, а для бозонов — увеличиваться. Оператор столкновения в квантовом случае принимает вид

где знак минус соответствует Ферми — Дирака статистике, а знак плюс — Бозе — Эйнштейна статистике, g — статистич. вес состояния (g = l для частиц со спином, равным нулю, и g=2 для частиц со спином),— импульс частицы. Ф-ции нормированы так, что представляют ср. число частиц в точке . Равновесные ф-ции распределения Ферми и Бозе обращают в нуль оператор столкновения (3).

Важным частным случаем К. у. Б. является кинетич. ур-ние для нейтронов, к-рые рассеиваются и замедляются ядрами среды. В этом случае внеш. сил нет и в ур-нии (1) надо положить F=0. Плотность числа нейтронов обычно мала, так что можно пренебречь столкновениями между ними и учитывать лишь их столкновения с ядрами среды (см. Диффузия нейтронов, Замедление нейтронов).

Процессы переноса, связанные с движением электронов в металле, также можно исследовать с помощью К. у. Б. В отсутствие колебаний решётки электроны свободно распространяются в металле н описываются плоскими волнами, модулированными с периодом решётки и зависящими от волнового вектора k; и номера энергетич. зоны l. Тепловое движение атомов решётки нарушает периодичность и приводит к рассеянию электронов (столкновениям между электронами и фононами). Ф-ция распределения электронов n(k, l, t)удовлетворяет К. у. Б. типа (1), в к-ром F= (E и Н — напряжённости электрич. и магн. полей, е — заряд электрона), а интеграл столкновений имеет вид

где n=n(k,l), — волновые векторы и номера зон до и после столкновения, N= =N (f, s) — ф-ция распределения фононов, f и s — волновой вектор и поляризация фононов, — нач. и конечная энергии электрона при возбуждении фонона с энергией — дельта-ф-ция, — матричные элементы перехода электрона из состояния k, l в состояние, к-рые оценивают, исходя из определ. гипотез о механизме взаимодействия электронов с решёткой. Выражение (4) получено в предположении, что время свободного пробега электронов значительно больше неопределённости для времени столкновения. Теория электропроводности, термоэлектрич. и гальвано-магн. явлений в металлах и полупроводниках основана на решении К. у. Б.

В нек-рых случаях конденсиров. систем, когда известен характер теплового движения, можно построить К. у. Б. для элементарных возбуждений (квазичастиц). Напр., теория процессов переноса энергии в кристал-лич. решётке основана на ур-нии такого типа. Если в выражении для потенц. энергии решётки ограничиться квадратичными относительно смещений атомов членами, то тепловое движение атомов в кристалле описывается свободно распространяющимися фононами — квантами нормальных колебаний решётки. Учёт членов 3-й степени приводит к возможности столкновений между фононами. В результате ф-ция распределения фононов N (f, s) будет изменяться во времени согласно кинетич. ур-нию

коэф. при кубич. членах в разложении потенц. энергии кристалла по отклонениям атомов из положения равновесия, — плотность. Ур-ние (5) описывает тройные столкновения фононов с уничтожением двух фононов и рождением одного (и обратные им процессы). Оно является ур-нием баланса фононов, движущихся в волновом пакете с групповой скоростью и сталкивающихся между собой. Теория теплопроводности непроводящих кристаллов основана на решении ур-ния (5) при малых отклонениях от статистич. равновесия.

К. у. Б. применимо также к процессам, в к-рых частицы испытывают взаимные превращения, напр, в теории ливней, образующихся при попадании космич. частиц больших энергий в атмосферу. В этом случае кинетич. ур-ния составляются как система ур-ний баланса для заряж. частиц и фотонов в данном интервале энергии и импульса. Эти ур-ния выражают тот факт, что изменение ф-ции распределения (кроме эффектов рассеяния) происходит вследствие образования пар заряж. частиц фотонами и испускания заряж. частицами фотонов в виде тормозного излучения в поле ядер.

На решении этих ур-ний основана каскадная теория ливней.

Лит. см. при статьях Кинетическая теория газов. Кинетика физическая. Д. Я. Зубарев.

Творец кинетической теории

Р одился Больцман 20 февраля 1844 года в Вене. С детства он отличался большими способностями и трудолюбием, в школьные годы был одним из лучших учеников в классе. Причем не только в естественных науках. Известный композитор Антон Брукнер обучал его игре на фортепиано, мало-помалу Людвиг стал устраивать собственные домашние концерты, приглашая в гости друзей и приятелей. Любовь к музыке Больцман сохранил на всю жизнь. Впоследствии он напишет, что в часы отдыха проигрывает на пианино, восстанавливая по памяти, оперы и переложения оркестровых произведений.

Больцман окончил курс гимназии в Линце в 1863 году и поступил в Венский университет, где изучал математику и физику. Расцвет университета пришелся как раз на вторую половину XIX века: за период с 1848 по 1870 год было основано множество научных институтов и учрежден ряд кафедр по специальным предметам. В 1850 году Христиан Доплер (1803–1853) создал Физический институт при Венском университете.

На вопрос, что он должен изучать, чтобы «войти» в учение об электричестве, преподаватель физики Стефан дал ему английскую грамматику, которая должна была открыть Больцману доступ к работам Максвелла

Уже в то время у Больцмана сложились тесные и дружеские отношения с Иоганном Лошмидтом, оказавшим большое влияние на формирование его научных интересов. В студенческие годы появляется первая работа Больцмана «О движении электричества на изогнутых поверхностях» (1865 год), а год спустя — вторая, «О механическом значении второго закона теории тепла». Из названий этих первых работ видны две области физики, на которые Больцман направил свое внимание: кинетическая теория газов и максвелловская теория электромагнитного поля.

Как рассказывал сам Больцман, на его вопрос, что он должен изучать, чтобы «войти» в учение об электричестве, его преподаватель физики Стефан дал ему английскую грамматику, которая должна была открыть Больцману доступ к работам Максвелла. Теория Максвелла произвела на Больцмана огромное впечатление.

Интересно, что многие его работы снабжены поэтическими эпиграфами. Особенно отмечал Больцман влияние на него Шиллера: «Без Шиллера мог, конечно, быть человек с моим носом и бородой, но это не был бы я».

Получив в 1866 году в возрасте 22 лет докторскую степень, год спустя Больцман занимает должность приват-доцента физики в Венском университете.

В 1869 году он переехал в Грац на должность профессора теоретической физики. Это время было периодом расцвета его научной деятельности, когда он выполнил наиболее фундаментальные свои исследования. В 1871 году Больцман доказал, что второй закон термодинамики можно получить из механики, лишь опираясь на теорию вероятности. Свои предположения автор представил в заметке, взбудоражившей в 1877 году весь научный мир. Эта статья в «Венских сообщениях о физике» стала самой известной статьей автора.

В Граце Больцман оставался до 1873 года, причем в 1871–1872-м бывал по одному семестру в отпуске, который проводил в Гейдельберге и Берлине. Во время этих поездок он сблизился с математиком Кенигсбергом, физиками Кирхгофом и Гельмгольцем, химиком Бунзеном и познакомился с Софьей Ковалевской. К этому времени Больцман был уже автором ряда крупных работ, имя его стало приобретать известность. В 1873 году к Больцману перешла кафедра его учителя математики Мота в Венском университете, однако в 1876-м он снова возвращается в Грац профессором экспериментальиой физики. К этому времени он был уже автором знаменитой Н-теоремы и основного газокинетического уравнения. В том же году Больцман женился на Генриетте фон Айгентлер, после чего прожил безвыездно в Граце целых четырнадцать лет.

В 1890 году Больцман оставляет Грац и переезжзет в Мюнхен, где занимает кафедру теоретической физики до 1894 года. В этом году умирает Стефан, и Больцман наследует кафедру своего учителя в Венском университете.

Жемчужины теоретической физики

Научное наследие Людвига Больцмана чрезвычайно богато. Его оригинальные произведения изданы в трех томах в 1909 году. Кроме того, он оставил ряд курсов, из которых наиболее фундаментальным является курс «Лекции по теории газов». В этих лекциях систематически изложены его фундаментальные результаты по кинетической теории материи и статистической физике. Среди его курсов следует также отметить «Лекции по максвелловскои теории электричества и света», прочитанные в Мюнхене и изданные в 1891–1893 годах, в которых он активно популяризировал новое еще тогда учение Фарадея и Максвелла об электричестве и магнетизме. Ему принадлежат также лекции «Принципы механики», отличавшиеся глубиной подхода, и написанная совместно с его учеником Наблом статья «Кинематическая теория материи» в «Энциклопедии математических наук».

Основной темой научных исследований Больцмана была молекулярно-кинетическая теория. Наибольшие достижения связаны с работами по статистическому обоснованию термодинамики и кинетической теории газов, которая объясняет неравновесные свойства газов (явления переноса энергии, массы, импульса) на основе законов движения и взаимодействия молекул.

Конечно, эта проблематика появилась в физике до Больцмана. Так, Джеймс Клерк Максвелл еще в 1859 году установил закон распределения молекул по скоростям, а в 1867-м показал статистическую природу второго начала термодинамики. Больцман был одним из немногих, кто вполне осознал значение работ Максвелла. Он обобщил закон распределения скоростей молекул газов на газы, находящиеся во внешнем силовом поле, и установил формулу распределения Больцмана (1868–1871). Применяя статистические методы к кинетической теории идеальных газов, Больцман вывел кинетическое уравнение газов.

Главнейшая заслуга Людвига Больцмана — исследование необратимых процессов и статистическая трактовка второго начала термодинамики. В 1872 году ученый ввел понятие H-функции, характеризующее состояние замкнутой макроскопической системы, и доказал, что с течением времени H-функция не может возрастать (H-теорема). Отождествив H-функцию с энтропией S (с обратным знаком), Больцман связал энтропию с W — термодинамической вероятностью в уравнении S= klnW.

Это соотношение дало статистическое обоснование второму началу термодинамики и является основой статистической физики. Универсальная постоянная k в честь ученого называется постоянной Больцмана. Это уравнение выгравировано на памятнике на могиле Больцмана в Вене.

Больцман связал энтропию S с W — термодинамической вероятностью в уравнении S = klnW. Универсальная постоянная k в честь ученого называется постоянной Больцмана, а уравнение выгравировано на памятнике на его могиле в Вене

Если вывод кинетического уравнения является логическим развитием идей Максвелла, если больцмановское распределение можно рассматривать как формальное обобщение максвелловского распределения, то статистическая интерпретация понятия энтропии и второго начала термодинамики всецело является заслугой Больцмана.

В основе кинетического уравнения Больцмана, а следовательно, и в основе Н-теоремы лежит представление о «молекулярной неупорядоченности», то есть предположение о статистической независимости сталкивающихся между собой молекул. Из этого предположения уже вытекает закон частоты столкновений, лежащий в основе кинетического уравнения.

Больцман вполне резонно указывает, что «без такого предположения

вообще нельзя доказать ни одной теоремы теории газов. Оно делается при

вычислении трения, теплопроводности и т. д.». Предположение это аналогично всем предположениям, которые приходится делать при любом применении теории вероятностей, предположениям о равной вероятности каких-то величин, точные значения которых считаются априори неизвестными, или о каком-то простом законе распределения их вероятностей. Применение математической теории вероятностей только и становится возможным после того, как подобные предположения сделаны. Все, что мы вправе при этом требовать, — это внутренняя непротиворечивость создаваемой таким путем теории и согласие ее с наблюдениями.

Согласие всех выводов кинетической теории с опытом ни у кого не вызывало сомнений: они неопровержимо оправдывались на огромном экспериментальном материале. Вся дискуссия, развернувшаяся вокруг Н-теоремы, была связана с вопросом о внутренней непротиворечивости теории и о ее принципиальных основаниях.

Людвиг Больцман был верным последователем и приверженцем идей Максвелла и в области электромагнитной теории. Ему принадлежат первые экспериментальные работы по проверке достоверности выводов максвелловской теории электромагнитного поля. Он провел измерения диэлектрической проницаемости газов и твердых тел и установил ее связь с оптическим показателем преломления. Эти результаты были изложены в «Лекциях о максвелловской теории электричества и света» (1891–1893). Преклонение Больцмана перед гением Максвелла было безгранично. Об его уравнениях он писал: «Не божество ли начертало эти законы?»

Больцману принадлежат труды по изучению поляризации диэлектриков, теории термоэлектричества, диамагнетизма и др. В частности, он разработал теорию эффекта Холла.

Людвиг Больцман внес огромный вклад в теорию флуктуаций. Он предложил принципиально новый подход к теории необратимых процессов, впервые применил принципы термодинамики к описанию электромагнитного излучения, теоретически вывел выражение для давления света. Хендрик Антон Лоренц, один из крупнейших физиков-теоретиков, которого по справедливости называют отцом электронной теории, назвал работу Больцмана о зависимости теплового излучения от температуры «настоящей жемчужиной теоретической физики».

Интересы Больцмана охватывали почти все области физики и частично математики.

Больцман как философ

После появления Н-теоремы разгорелась оживленная дискуссия о статистической интерпретации термодинамический необратимости. Дискуссия эта велась подчас с большой страстностью и часто перемещалась из области физики в область философии.

Работы Больцмана внесли важнейший вклад в объяснения наблюдаемых явлений на базе представлений о молекулярном строении тел. Но росло не только число сторонников этих представлений, но и ожесточение их оппонентов.

В числе последних нужно прежде всего назвать Вильгельма Оствальда и Эрнста Маха, яростных научных противников как Больцмана (который, однако, считал их своими личными друзьями), так и вообще самого представления о существовании молекул.

Возражения, которые Мах и Оствальд выдвигали, в первую очередь против молекулярной теории строения вещества, отстаиваемой Больцманом, основывались на разработанной ими философской доктрине «энергетизма», согласно которой вся реальность (либо первооснова всех явлений в мире) есть энергия, понимаемая как неуничтожимая субстанция, а не свойство материальных объектов, и все процессы, физические и психические, есть изменения энергии. Гносеологической основой «энергетизма» является стремление мыслить движение без материи, поэтому это учение направлено на замену понятия материи, отождествляющейся с веществом, понятием комплекса известных энергий, подчиненного пространству.

«Битва между Больцманом и Оствальдом была как внешне, так и внутренне похожа на бой быка против гибкого фехтовальщика. Но на этот раз бык победил, несмотря на все боевое мастерство тореро»

Убежденный идеалист, Мах отрицал объективное существование материи, считая, что материя — это комплекс ощущений, а задачей науки является только их описание. Основываясь на этом, он считал гипотезу существования атомов неверной, а на все доводы в пользу их существования обычно отвечал: «А вы видели хотя бы один атом?» Отвечая своим критикам, Больцман разработал свою собственную систему философских взглядов, которую он называл реализмом, а к концу жизни — материализмом. Он писал: «Идеализм утверждает лишь существование своего “я”, существование различных представлений и исходя из этого пытается объяснить материю. Материализм исходит из предположения о существовании материи и отсюда пытается объяснить ощущения».

Арнольд Зоммерфельд, тогда еще молодой физик, так описывал атмосферу дискуссии между Больцманом и Оствальдом на конференции немецких натуралистов в Любеке в 1895 году: «Битва между Больцманом и Оствальдом была как внешне, так и внутренне похожа на бой быка против гибкого фехтовальщика. Но на этот раз бык победил, несмотря на все боевое мастерство тореро. Доводы Больцмана восторжествовали. Все мы, молодые математики, были на стороне Больцмана».

Окрыленный победой в этой дискуссии с Оствальдом, Больцман выступил с двумя блестящими статьями против философского феноменализма Маха и отрицания им атомной теории и существования атомов («О неизбежности атомистики в естественных науках» и «Еще раз об атомистике»).

Сегодня это кажется странным, но вплоть до 1910 года само существование атомистики, казалось, оставалось под угрозой. Больцман боялся, что дело всей его жизни окажется в забвении. В 1898 году в предисловии ко второй части своих лекций по теории газов он писал: «По моему мнению, большой трагедией для науки будет, если (подобно тому, как это случилось с волновой теорией света из-за авторитета Ньютона) хотя бы на время теория газов окажется позабытой из-за того враждебного отношения к ней, которое воцарилось в данный момент. Я сознаю, что сейчас являюсь единственным, кто, хотя и слабо, пытается плыть против течения. И тем не менее я могу способствовать тому, чтобы, когда теория газов снова будет возвращена к жизни, не пришлось делать слишком много повторных открытий».

Остается заметить, что и Мах, и Оствальд к концу жизни отошли от своих прежних агрессивно отстаиваемых позиций и признали правоту Больцмана, но, к сожалению, сам Больцман этого узнать уже не мог.