Кинетическое уравнение больцмана для функции распределения

КИНЕТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ БО́ЛЬЦМАНА

КИНЕТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ БО́ЛЬЦ ­ МА­НА, урав­не­ние для функ­ции рас­пре­де­ле­ния $f(\boldsymbol v, \boldsymbol r,t)$ мо­ле­кул га­за по ско­ро­стям $\boldsymbol v$ и ко­ор­ди­на­там $\boldsymbol r$ , опи­сы­ваю­щее не­рав­но­вес­ные про­цес­сы в га­зах ма­лой плот­но­сти в за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни $t$ . Вы­ве­де­но Л. Больц­ма­ном в 1872. К. у. Б. – осн. урав­не­ние ки­не­ти­че­ской тео­рии га­зов .

кинетическое уравнение больцмана

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА — интегродифференц. ур-ние, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф-ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r, ф-ции распределения электронов в металле, фононов в кристалле и т. п. К. у. Б.- осн. ур-ние мик-роскопич. теории неравновесных процессов (кинетики физической), в частности кинетической теории газов. К. у. Б. в узком смысле наз. выведенное Л. Больцма-ном (L. Boltzmann) кинетич. ур-ние для газов малой плотности, молекулы к-рых подчиняются классич. механике. К. у. Б. для квазичастиц в кристаллах, напр. для электронов в металле, наз. также кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа частиц (точнее, точек, изображающих состояние частиц) в элементе фазового объёма ; dr= =dxdydz)и выражает тот факт, что изменение ф-ции распределения частиц со временем t происходит вследствие движения частиц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из частиц одного сорта, К. у. Б. имеет вид

где — изменение плотности числа частиц в элементе фазового объёма за единицу времени, F= =F(r,t) — сила, действующая на частицу (может зависеть также и от скорости), — изменение ф-ции распределения вследствие столкновений (интеграл столкновений). Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменения ф-ции распределения в результате перемещения частиц в пространстве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями частиц, связано с уходом частиц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма частицами, испытавшими «обратные» столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то

— скорости частиц до столкновения, — скорости тех же частиц после столкновения, — величина относит. скорости сталкивающихся частиц, — дифференц. эфф. сечение рассеяния частиц в телесный угол в лаб. системе координат, — угол между относит. скоростью и линией центров. Напр., для жёстких упругих сфер, имеющих радиус R, = , для частиц, взаимодействующих по закону центр. сил, (b — прицельный параметр, — азимутальный угол линии центров).

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих частиц это область порядка диаметра частиц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся частиц (гипотеза молекулярного хаоса). Если система находится в статистич. равновесии, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. является Максвелла распределение.

При более строгом подходе для построения К. у. Б. исходят из Лиувилля уравнения для плотности распределения всех молекул газа в фазовом пространстве, из к-рого получают систему ур-ний для ф-ций распределения одной, двух и т д. молекул (Боголюбова уравнения). Эту цепочку ур-ний решают с помощью разложения по степеням плотности частиц с использованием граничного условия ослабления корреляций, заменяющего гипотезу молекулярного хаоса.

Решение К. у. Б. при разл. предположениях о силах взаимодействия между частицами — предмет кинетич. теории газов, к-рая позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для процессов переноса (вязкости, диффузии, теплопроводности).

Для квантовых газов значения эфф. сечений рассчитывают на основе квантовой механики с учётом неразличимости одинаковых частиц и того факта, что вероятность столкновения зависит не только от произведения ф-ций распределения сталкивающихся частиц, но и от ф-ций распределения частиц после столкновения. Для фермионов в результате этого вероятность столкновения будет уменьшаться, а для бозонов — увеличиваться. Оператор столкновения в квантовом случае принимает вид

где знак минус соответствует Ферми — Дирака статистике, а знак плюс — Бозе — Эйнштейна статистике, g — статистич. вес состояния (g = l для частиц со спином, равным нулю, и g=2 для частиц со спином),— импульс частицы. Ф-ции нормированы так, что представляют ср. число частиц в точке . Равновесные ф-ции распределения Ферми и Бозе обращают в нуль оператор столкновения (3).

Важным частным случаем К. у. Б. является кинетич. ур-ние для нейтронов, к-рые рассеиваются и замедляются ядрами среды. В этом случае внеш. сил нет и в ур-нии (1) надо положить F=0. Плотность числа нейтронов обычно мала, так что можно пренебречь столкновениями между ними и учитывать лишь их столкновения с ядрами среды (см. Диффузия нейтронов, Замедление нейтронов).

Процессы переноса, связанные с движением электронов в металле, также можно исследовать с помощью К. у. Б. В отсутствие колебаний решётки электроны свободно распространяются в металле н описываются плоскими волнами, модулированными с периодом решётки и зависящими от волнового вектора k; и номера энергетич. зоны l. Тепловое движение атомов решётки нарушает периодичность и приводит к рассеянию электронов (столкновениям между электронами и фононами). Ф-ция распределения электронов n(k, l, t)удовлетворяет К. у. Б. типа (1), в к-ром F= (E и Н — напряжённости электрич. и магн. полей, е — заряд электрона), а интеграл столкновений имеет вид

где n=n(k,l), — волновые векторы и номера зон до и после столкновения, N= =N (f, s) — ф-ция распределения фононов, f и s — волновой вектор и поляризация фононов, — нач. и конечная энергии электрона при возбуждении фонона с энергией — дельта-ф-ция, — матричные элементы перехода электрона из состояния k, l в состояние, к-рые оценивают, исходя из определ. гипотез о механизме взаимодействия электронов с решёткой. Выражение (4) получено в предположении, что время свободного пробега электронов значительно больше неопределённости для времени столкновения. Теория электропроводности, термоэлектрич. и гальвано-магн. явлений в металлах и полупроводниках основана на решении К. у. Б.

В нек-рых случаях конденсиров. систем, когда известен характер теплового движения, можно построить К. у. Б. для элементарных возбуждений (квазичастиц). Напр., теория процессов переноса энергии в кристал-лич. решётке основана на ур-нии такого типа. Если в выражении для потенц. энергии решётки ограничиться квадратичными относительно смещений атомов членами, то тепловое движение атомов в кристалле описывается свободно распространяющимися фононами — квантами нормальных колебаний решётки. Учёт членов 3-й степени приводит к возможности столкновений между фононами. В результате ф-ция распределения фононов N (f, s) будет изменяться во времени согласно кинетич. ур-нию

коэф. при кубич. членах в разложении потенц. энергии кристалла по отклонениям атомов из положения равновесия, — плотность. Ур-ние (5) описывает тройные столкновения фононов с уничтожением двух фононов и рождением одного (и обратные им процессы). Оно является ур-нием баланса фононов, движущихся в волновом пакете с групповой скоростью и сталкивающихся между собой. Теория теплопроводности непроводящих кристаллов основана на решении ур-ния (5) при малых отклонениях от статистич. равновесия.

К. у. Б. применимо также к процессам, в к-рых частицы испытывают взаимные превращения, напр, в теории ливней, образующихся при попадании космич. частиц больших энергий в атмосферу. В этом случае кинетич. ур-ния составляются как система ур-ний баланса для заряж. частиц и фотонов в данном интервале энергии и импульса. Эти ур-ния выражают тот факт, что изменение ф-ции распределения (кроме эффектов рассеяния) происходит вследствие образования пар заряж. частиц фотонами и испускания заряж. частицами фотонов в виде тормозного излучения в поле ядер.

На решении этих ур-ний основана каскадная теория ливней.

Лит. см. при статьях Кинетическая теория газов. Кинетика физическая. Д. Я. Зубарев.

Уравнение Пуассона и распределение Больцмана (часть 2.1)

Распределение Больцмана (часть 1)

Прежде чем подойти к выводу распределения Больцмана и разобраться в физическом смысле, необходимо дать предварительные сведения по элементарной теории вероятностей. Дело в том, что макросистемы, которые мы наблюдаем, состоят, как известно, из огромного числа более мелких частиц, например, любое вещество состоит из атомов, а последние в свою очередь делятся на ядра и электроны, ядро атома разбивается на протоны и нейтроны и так далее. В материальной системе, имеющей огромнейшее число частиц (в так называемой микросистеме) бессмысленно рассматривать каждую частицу в отдельности, во-первых потому что никто никогда не сможет описать каждую частицу (даже современные суперкомпьютеры), во-вторых это ничего нам не даст в принципе, потому что поведение макросистемы описывается усреднёнными параметрами, как мы увидим дальше. При таком огромном количестве частиц есть смысл интересоваться вероятностями того, что какой-то параметр лежит в том или ином диапазоне значений.

Итак, приступим к некоторым определениям из теории вероятностей, а затем, объяснив обязательно распределение Максвелла, подойдём к разбору распределения Больцмана.

В теории вероятности есть такое понятие как случайное событие – это явление, которое в некотором опыте либо имеет место быть, либо нет. Например, рассмотрим замкнутый ящик, в котором находится молекула А и некоторый выделенный объём в этом ящике (см. рис. 1).

Так вот, случайное событие будет либо попадание молекулы А в выделенный объём , либо отсутствие этой молекулы в этом объёме (ведь молекула двигается, и в любой момент времени она либо есть в некотором объёме, либо нету).

Под вероятностью некоторого случайного события понимают отношение числа испытаний m, при котором данное событие имело место, к полному числу испытаний M, причём полное число испытаний должно быть велико. Мы не можем говорить о вероятности какого-то события при одном испытании. Чем больше испытаний, тем точнее вероятность события.

В нашем случае вероятность того, что молекула А будет находится в объёме равна:

Рассмотрим теперь в том же самом ящике два выделенных объёма и (см. рис. 2)

Рис.2

Если эти два объёма не пересекаются (см. рис. 2а), то молекула А может в какой-то момент времени t находится либо в объёме , либо в объёме . Одновременно одна молекула не может находится в двух разных местах. Таким образом, мы подошли к понятию несовместимых событий, когда реализация одного события исключает реализацию другого события. В случае, когда объёмы и пересекаются (см.рис.2б), то есть вероятность, что молекула может попасть в область пересечения, и тогда два события являются совместимыми.

Вероятность того, что молекула А попадёт в объём равна:

, где – число испытаний, когда молекула была в объёме . Точно также, вероятность того, что молекула А попадёт в объём равна:

Далее, событие, состоящее в том, что молекула попадёт хотя бы в один из двух объёмов, осуществилось раз. Отсюда вероятность этого события равна:

Таким образом, мы может заключить, что вероятность осуществления одного из несовместимых событий равна сумме вероятностей осуществления каждого из них.

Полной группой несовместимых событий называется такая совокупность событий, в которой осуществление одного достоверно, т.е. вероятность одного из событий равна 1.

События называются равновозможными, если вероятность осуществления одного из них имеет одно и то же значение, т.е. вероятности всех событий одинаковые.

Рассмотрим последний пример и введём понятие независимых событий. Пусть первое событие заключается в том, что молекула А в момент времени t находится в объёме , а второе событие – что другая молекула B попадает в объём . Если величина вероятности того, что молекула B попадёт в объём не зависит от того, попала молекула А в или нет, то эти события называются независимыми.

Пусть мы выполнили всего n испытаний, и выяснили что молекула А была раз в объёме , а молекула B — раз в объёме , то вероятности этих событий равны:

Отберём из испытаний , при которых A попала в число испытаний, при которых ещё и B попала в . Очевидно, что это число отобранных испытаний равно . Отсюда вероятность совместного осуществления событий А и B равна:

Т.е. вероятность независимых событий при совместном осуществлении равна произведению вероятностей каждого события в отдельности.

Если мы измеряем некоторую величину, например скорость молекулы, или энергию отдельно взятой молекулы, то значение может принимать любое вещественное значение на числовой оси (в том числе и отрицательные значения), т.е. эта величина является непрерывной, в отличие от того, что мы рассматривали выше (так называемые дискретные величины). Такие величины называют случайные величины. Для непрерывной случайной величины неверно интересоваться вероятностью данного её значения. Верная постановка вопроса заключается в том, чтобы узнать вероятность того, что данная величина лежит в интервале от, скажем x до x+dx. Эта вероятность математически равна:

Здесь w(x) – некоторая функция, называемая плотностью вероятности. Её размерность обратна размерности случайной величины x.

И, наконец, ещё необходимо сказать довольно очевидную вещь, что вероятность достоверного события, или сумма всех вероятностей полной группы несовместимых событий равна единице.
В принципе этих определений нам достаточно, чтобы показать вывод распределения Максвелла, а далее распределения Больцмана.

Итак, рассмотрим идеальный газ (это может быть и электронный газ, настолько разрежённый, что взаимодействием электронов можно пренебречь). Каждая частица этого газа обладает скоростью v или импульсом и все эти скорости и импульсы могут быть какими угодно. Значит эти параметры являются случайными величинами и нас будет интересовать плотность вероятности .

Далее удобно ввести представление о пространстве импульсов. Отложим по осям системы координат компоненты импульса частицы (см. рис. 3)

Рис. 3

Нам необходимо выяснить, чему равна вероятность того, что каждая компонента импульса лежит в диапазонах:

Т.е., что тоже самое, конец вектора p находится в прямоугольном объёме dΩ:

Максвелл положил два постулата, опираясь на которые вывел распределение по импульсам. Он предположил:

А) Все направления в пространстве равноправны и это свойство называется изотропностью, в частности изотропностью плотности вероятности .

Б) Движение частиц по трём взаимно перпендикулярным осям независимы, т.е. значение импульса , не зависит от того, каково значение его остальных компонент и .

Частицы двигаются в различных направлениях, как в положительную сторону, так и в отрицательную. Т.е., например, по оси x значение импульса может принимать значение как , так и . Но плотность вероятности чётная функция (т.е. при отрицательных значениях аргумента, функция положительная), поэтому она зависит от квадрата :

Из свойств изотропности (см. выше) следует, что плотности вероятности двух остальных компонент выражаются аналогично:

По определению вероятность того, что импульс p попадёт в объём dΩ равна:

Вспомним, что мы выше выяснили, что для независимых событий эта вероятность может быть выражена через произведение вероятностей событий каждой компоненты:

Прологарифмируем это выражение и получим:

Затем продифференцируем это тождество по :

, где штрихом обозначена производная соответствующей функции по её сложному аргументу.

После сокращения в этом выражении на получаем:

Тоже самое относится и к другим компонентам импульсов, соответственно получаем:

Отсюда следуют важные соотношения:

Из этих выражений видно, что отношения производной функции по самой функции от той или иной компоненты импульса является постоянной величиной, соответственно мы можем написать следующим образом (обозначим постоянную как ):

Решая это дифференциальное уравнение, получим (как решаются такие уравнения можно найти в любом учебнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям):

Где C и β – константы, которые нам предстоит ещё вывести (в следующей статье). Таким образом, из условия изотропности и независимости движения по осям координат следует, что вероятность того, что компонента импульса окажется в интервале определяется соотношением:

, а вероятность dW того, что импульс окажется в объёме dΩ, равна (вспомните произведение вероятностей независимых событий):

В следующей статье мы завершим вывод распределения Максвелла, выясним физический смысл этого распределения и подойдём непосредственно к выводу распределения Больцмана.