Кинетическое уравнение движения материальных точек

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Кинетика

Кинетика это р аздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве и времени без рассмотрения вызывающих это движение взаимодействий.

Механическим движением тела называется изменение с течением времени его положения по отношению к другим телам.

Что такое кинетика механика движение тела

Кинетика это наука о движении материи и о её причине, в механике изучение механического состояния тела и т.д. Что характерно для всех наук есть соответствующее название (биологическая кинетика, химическая кинетика, физическая и т.д.).

В природе вообще нет ничего, что можно было бы считать совершенно неподвижным. Только условно некоторые тела в определенных случаях можно считать неподвижными.

Например, при изучении движения различных тел во многих случаях в качестве неподвижных принимают Землю и все тела, неизменно с ней связанные (здания, деревья и т. п.).

Любое движущееся тело обладает определенными размерами — протяженностью в пространстве. Его движение происходит также в какой-то части пространства, размер которой называют масштабом движения.

Если размеры тела ничтожно малы по сравнению с масштабом движения, то это тело можно называть материальной точкой, считая, что в этой точке сосредоточена вся масса этого тела.

Например, при рассмотрении годичного движения Земли вокруг Солнца Землю можно считать материальной точкой, так как масштаб движения достаточно велик по сравнению с размером планеты.

Материальная точка

Материальная точка — это идеализированное понятие. Вводя это понятие, мы отвлекаемся от всех несущественных для данного движения свойств тела, например, его размеров, формы, строения и т. д.

Каждая материальная точка, перемещаясь в пространстве, описывает воображаемую линию, называемую траекторией, форма которой может быть самой разнообразной.

Если траекторией движения точки является прямая линия, то движение называется прямолинейным, а если кривая линия — криволинейным.

Как определить материальную току

Положение какого-либо тела или материальной точки определяют лишь по отношению к другому материальному телу, условно считаемому неподвижным и называемому телом отсчета.

Связанная с этим телом отсчета произвольная система координат называется системой отсчета положений материальной точки. Без выбора системы отсчета описать движение невозможно.

Например, при прямолинейном движении можно пользоваться системой координат, состоящей из одной прямой линии OS,вдоль которой происходит движение, с началом отсчета в точке О.

Кинетика Декарта

В более сложных случаях применяется Декартова прямоугольная система координат со взаимно перпендикулярными осями Ох и Оу, пересекающимися точке О, которая является началом отсчета.

Длина части траектории, пройденная точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути (путем). Путь — скалярная величина, характеризующаяся только численным значением s.

Если начальное положение точки соединить прямой с конечным положением, то получим перемещение ∆r точки за какое-то время t.

Перемещение точки является вектором, то есть величиной, характеризующейся численным значением и направлением. При прямолинейном движении абсолютная величина вектора перемещения |∆r| равна пути s.

По траектории различают два основных простейших вида движения твердого тела: поступательное и вращательное.

Движение тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, перемещается параллельно самой себе в процессе движения тела, называется поступательным.

Вращательное движение

Что такое вращательное движение это движение тела, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной прямой (оси вращения).

По характеру зависимости пути от времени движения делятся на равномерные и неравномерные.

Что мы узнали о материальной точке?

Какой из следующих примеров является примером материальной точки?

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-либо механическими связями, называется свободной.

Примерами свободных материальных точек являются искусственный спутник Земли на околоземной орбите и летящий самолет (если пренебречь их вращениями).

Что такое материальная точка А маленькое тело?

Материальная точка – модельное понятие (абстракция) классической механики, обозначающее тело исчезающе малых размеров, но обладающее некоторой массой.

С одной стороны, материальная точка – простейший объект механики, так как его положение в пространстве определяется всего тремя числами.

Что можно взять за материальную точку?

Практически всякое тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами.

Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца.

Для чего вводится понятие материальной точки?

Понятие материальной точки играет важную роль в механике. Оно вводится для упрощения решения задач.

Как правило, тело можно считать материальной точкой, если его размеры гораздо меньше совершаемого им перемещения.

Что такое материальная точка своими словами?

Материальная точка — понятие, вводимое в механике для обозначения тела, размерами и формой которого можно пренебречь.

Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки.

Равномерное прямолинейное движение

Равномерным прямолинейным движением называют такое движение, при котором материальная точка, двигаясь по прямой, за произвольные равные промежутки времени проходит пути равной длины.

Примером равномерного прямолинейного движения может служить движение ленты заводского сборочного конвейера, поезда на прямолинейном участке пути при постоянной силе тяги и др.

Однако следует иметь в виду, что абсолютно равномерных движений в природе не существует, но если отклонения от равномерности незначительны, то ими можно пренебречь.

Физическая величина

Что такое физическая величина это численно равная пути, пройденному телом в единицу времени, называется скоростью υ.

Для характеристики движения тела вводят векторную физическую величину — скорость. Пусть положение прямолинейно движущегося тела в некоторый момент времени t₀ определяется путем s₀, а в момент времени t — путем s. Тогда за время t— t₀ тело проходит путь s — s₀.

Математическое выражение для скорости υ можно записать в виде

В частном случае, когда t₀ = 0 и s₀ = О,

Здесь s представляет собой путь, пройденный телом за время t.

Скорость равномерного движения — величина постоянная. При прямолинейном движении вектор скорости направлен вдоль траектории.

Единицы измерения

В СИ за единицу измерения скорости принимается скорость такого равномерно движущегося тела, которое за каждую секунду проходит путь, равный одному метру,

В системе СГС единица измерения скорости 1(cм:c) Из формулы (1) следует, что

Если t₀ = 0 и s₀ = 0, то формула (3) примет вид

где s — путь, пройденный телом за время t.

Из формулы (4) видно, что при равномерном движении тела его путь есть линейная функция от времени, так как υ — постоянная величина.

Что мы узнали о равномерное прямолинейное движение?

Как найти прямолинейное движение?

Прямолинейное движение аналитически описывает функция: s = vt, где v= const.

Чем больше модуль скорости, тем больший угол образует график s(t) с осью времени.

Какие параметры не изменяются при прямолинейном равномерном движении?

Прямолинейное равномерное движение движение по прямой, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.

При таком движении скорость тела не изменяется.

Графики скорости пути равномерного движения

Формула s = υ t дает полное описание равномерного движения. Связь между s и t для отдельных моментов времени можно задавать в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени, и пройденного пути.

Например скорость некоторого равномерного движения равна 0,5 —. Формула (4) в этом случае имеет вид s = 0,5 • t. Таблица пути и времени такого движения выглядит следующим образом:

Зависимость пути от времени удобнее изображать графиками. Они нагляднее показывают картину изменения пути от времени.

Пример расчета по графику движения

Отложим на оси абсцисс значения времени t (рис. 1), а по оси ординат значения пути s. Тогда зависимость пути s от времени t выразится прямой OA.

Если тело движется с большей скоростью ( υ = 1,25(м:c) , то эта зависимость будет выражаться прямой ОВ. Пря мые OA и ОВ называются графиками пути.

По графику пути равномерного движения можно определить скорость, с которой совершалось движение.

Тангенс угла а наклона графика пути к оси времени численно равен отношению ординаты произвольно точки графика к ее абсциссе,.то есть равен отношению s : t, это и есть скорость равномерного движения.

Таким об разом, υ — tg α. Чем больше скорость, тем больший угол составляет график с осью времени.

Рис. 1 — 2 Графики скорости пути равномерного движения

На рис. 2 изображен график скорости равномерного движения, который получен следующим образом: на оси абсцисс отложены значения времени а на оси ординат — значение скорости, которая не меняется с течением времени ( υ = 3 (м:с) = const).

Здесь график скорости равномерного движения представляет собой прямую АВ, параллельную оси времени. Пользуясь графиком скорости, можем определить путь, проходимый телом за определенный промежуток времени.

При равномерном прямолинейном движении пройденный телом путь s численно равен площади прямоугольника, ограниченного осью времени, графиком скорости и двумя вертикальными отрезками, проведенными из точек, соответствующих началу и концу рассматриваемого промежутка времени.

Переменное движение Средняя и мгновенная скорости

Неравномерным, или переменным, движением называется такое движение тела, при котором оно за равные промежутки времени проходит неодинаковые отрезки пути.

Скорость при таком движении не остается постоянной на протя жении всего рассматриваемого пути. Такое движение встречается очень часто.

Характеристиками неравномерного движения являются средняя и мгновенная скорости. Понятие о средней скорости основано на мысленной замене неравномерного движения равномерным.

Средняя скорость неравномерного движения

Средняя скорость неравномерного движения за данный промежу ток времени t — t₀ равна скорости такого равномерного движения, при которой тело проходит тот же путь s — s₀u3a тот же промежуток времени t — t₀, что и при данном неравномерном движении

Средняя скорость не дает представления о характере движения.

Так, при полете самолета между двумя городами нас может интересовать не только его средняя скорость на всем пути, но скорости, ко торые самолет развивал на отдельных участках.

Если скорость все время меняется, то наилучшее представление о ее величине в данный момент времени или в данной точке пути получим, если промежуток времени ∆t , за который тело будет проходить путь ∆ s, возь мем возможно меньшим.

Этот промежуток времени можно выбрать настолько малым, что скорость за это время не будет заметно изменяться, и тогда на этом малом участке пути движение можно счи тать равномерным.

Скорость такого движения можно считать мгновенной скоростью неравномерного движения в данный момент времени или в заданной точке траектории.

Мгновенная скорость переменного движения точки измеряется той скоростью, с которой двигалась бы точка, если бы, начиная с данного мгновения, ее движение стало равномерным.

Равнопеременное движение Ускорение

Что такое ускорение это величина, характеризующая изменение скорости движения в единицу времени и обозначается буквой а.

Простейшим видом переменного движения является равнопеременное движение, то есть такое движение, при котором скорость в любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

Расчет ускорения

Пусть в момент времени t₀ скорость имеет значение υ₀, а в момент времени t— значение υ, тогда за время t — t₀ скорость изменилась на υ — υ₀.

Разделив разность скоростей на время движения t — t₀ получим изменение скорости в единицу времени. Формула для вычисления ускорения равнопеременного движения имеет такой вид:

В СИ за единицу ускорения принимается ускорение такого движения, при котором скорость меняется на 1 —за каждую секунду (сокращенно 1(м:с 2 ) В СГС единица ускорения 1(см:с 2 )

Как и скорость, ускорение является векторной величиной. При равнопеременном движении на протяжении всего движения ускорение остается неизменным по величине и направлению.

Ускорение имеет тот же знак, что и изменение скорости υ — υ₀ = ∆υ. Если скорость возрастает по численному значению ( ∆υ > > 0 и а >0), то движение называется равноускоренным. В этом случае вектор скорости и вектор ускорения направлены в одну и ту же сторону.

Если скорость убывает по численному значению, то движение называется равнозамед ленным. Тогда вектор скорости и вектор ускорения направлены в противоположные сто роны ( υ = υ ₀ — at). Из формулы

Следовательно, при равнопеременном движении скорость меняется со временем линейно. Если t₀ = 0, то

Если начальная скорость υ ₀ = 0, то

График расчета ускорения

Построим график, отложив по оси абсцисс время г, а по оси ординат скорость υ ; зададим начальные условия: υ ₀ = 2(м:c), а = 2(м:c 2 )

График скорости (рис. 3) равноускоренного движения есть прямая АВ, наклоненная к оси абсцисс. Отрезок, отсекаемый графиком на оси ординат, показывает величину начальной скорости.

Очевидно, если начальная скорость равна нулю, то график проходит через начала координат.

Для равно замедленного движения из формулы

При равно замедленном движении график скорости есть также прямая линия, пересекающая ось ординат в точке υ ₀, однако наклоненная вниз.

Что мы узнали о кинетике?

Что такое кинетика?

Это раздел механики, в котором исследуется механическое состояние тела в связи с физическими причинами, его определяющими.

Кинетика разделяется на динамику — учение о движении тел под действием сил и статику — учение о равновесии тел.

Что такое материальная точка?

Это физическая модель, которую используют вместо тела, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Что такое равномерное прямолинейное движение?

Это движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.

Что такое переменное движение. Средняя и мгновенная скорости?

Переменное или неравномерное движение это движение, при котором вектор скорости изменяется во времени.

Средней скоростью называется величина, равная отношению перемещения тела за некоторый промежуток времени к этому промежутку времени.

Что такое равнопеременное движение Ускорение?

Равнопеременным называется движение, при котором тангенциальная (параллельная скорости) составляющая ускорения постоянна.

Такое движение не является равноускоренным, кроме ситуации, когда оно происходит по прямой, но в математическом плане может быть рассмотрено аналогично.

Статья на тему Кинетика

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Кинетическое уравнение движения материальных точек

Механическое движение – изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Способы описания: словесный, табличный, графический, формулами.

Материальная точка – тело, собственными размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Траектория – линия, которую описывает материальная точка при своём движении в пространстве. По виду траектории все движения делятся на прямолинейные и криволинейные.

Система отсчёта – часы и система координат, связанные с условно выбираемым телом отсчёта (наблюдателем).

Относительность движения – различие скорости, направления и траектории движения в различных системах отсчёта.

Перемещение – вектор, проведённый из начального положения материальной точки в её конечное положение.

Типы движений

1. Равномерное движение

1.1. Равномерное прямолинейное движение

Равномерное движение – движение тела, при котором за равные интервалы времени оно преодолевает равные части пути.

Скорость равномерного движения равна отношению пройденного пути к интервалу времени, за который этот путь пройден.

Скорость равномерного прямолинейного движения равна отношению перемещения к интервалу времени его совершения.

Уравнение равно-прямолинейного движения x = x o + υ ox t показывает, что координата линейно зависит от времени.

Мгновенная скорость равна отношению перемещения к бесконечно малому интервалу времени, за который оно произошло.

1.2 Равномерное движение по окружности (равномерное вращение)

Равномерное движение по окружности — это движение, при котором материальная точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.

Равномерное движение тела по окружности — это частный и наиболее простой случай криволинейного движения. Хотя при таком движении модуль скорости остается постоянным, это движение с ускорением, которое является следствием изменения направления вектора скорости.

2. Движение с постоянным ускорением

Равноускоренное движение – движение, при котором мгновенная скорость за любые равные интервалы времени меняется одинаково.

Мгновенное ускорение равно отношению изменения мгновенной скорости тела к бесконечно малому интервалу времени, за который это изменение произошло.

Ускорение равноускоренного движения равно отношению изменения мгновенной скорости тела к интервалу времени, за который это изменение произошло.

Уравнение равноускоренного движения y = yo + υoyt + ½ay t² показывает, что координата квадратично зависит от времени. Уравнение υy = υoy + ay t показывает, что скорость линейно зависит от времени.

Центростремительное ускорение – ускорение, всегда направленное к центру окружности при равномерном движении по ней материальной точки. Модуль центростремительного ускорения равен отношению квадрата модуля скорости равномерного движения по окружности к её радиусу.