«УНИВЕРСИТЕТ Киясов С. Н., Шурыгин В. В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Казань — 2011 УДК 517.9 Печатается по решению . »
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Киясов С. Н., Шурыгин В. В .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
механико-математического факультета Протокол № 9 от 7 апреля 2011 г .
заседания кафедры дифференциальных уравнений Протокол № 9 от 23 марта 2011 г .
Научный редактор:
доктор физ.-мат. наук, проф. И.А. Бикчантаев
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, проф. КФУ Н.Б. Плещинский канд. физ.-мат. наук, проф. КВВКУ Л.К. Астафьева Киясов Сергей Николаевич, Шурыгин Вадим Вадимович .
Дифференциальные уравнения. Основы теории, методы решения задач:
Учебное пособие / С.Н. Киясов, В.В. Шурыгин. – Казань: Казанский федеральный университет, 2011. – 112 с .
Учебное пособие предназначено для студентов II курса механико-математического факультета КФУ .
Казанский федеральный c университет, 2011 Киясов С.Н., Шурыгин В.В., 2011 c Часть 1 Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ) = 0, (0.1) в котором x — независимая переменная, y(x) — неизвестная функция. Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется уравнение dy (0.2) = f (x, y) .
dx Правую часть уравнения (0.2) будем считать определенной на некотором открытом множестве D плоскости (x, y). Иногда уравнение (0.2) записывают в виде (0.3) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 и называют уравнением первого порядка, записанным в дифференциалах .
Решением уравнения (0.2) (или (0.3)) на интервале I оси x называется любая дифференцируемая функция y = (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на I. Общим решением уравнения (0.2) называется множество всех его решений. Общее решение зависит от одной произвольной постоянной C и дается формулой (0.4) y = (x, C) .
Условие (0.6) называется начальным условием, а сама поставленная задача — задачей Коши. Любое решение y = (x) уравнения (0.2) определяет на множестве D некоторую кривую, которую называют интегральной кривой уравнения. Поэтому, геометрический смысл задачи Коши состоит в том, чтобы найти интегральную кривую уравнения, проходящую через точку (x0, y0 ) D. Чтобы решить задачу Коши, нужно подставить начальное условие (0.6) в (0.4) или (0.5) и определить оттуда значение C = C0, при котором точка (x0, y0 ) лежит на искомой интегральной кривой. Тогда решение задачи Коши запишется в виде y = (x, C0 ) или (x, y, C0 ) = 0 .
§1. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к ним
Заметим, что при разделении переменных могут теряться решения вида x = x0, y = y0 за счет обращения в нуль функций P (x) и N (y). Поэтому, если потерянное решение не может быть получено из общего решения при каком-нибудь C = C0, его необходимо также включить в ответ .
Пример 1. Рассмотрим уравнение (задачу Коши)
§3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
3.1. Однородные уравнения Функция двух переменных f (x, y) называется однородной степени m (еще говорят, с показателем однородности m), если для всех t (или хотя бы для t 0) справедливо соотношение
x3 + y 3 являются однородными функциями степеней 1, 4 и 3/2, соответственно (проверьте это!). Функция (x, y) = x2 y 3 y 6 не является однородной .
В процессе решения мы производили деление на t. Равенство t = 0 эквивалентно тому, что y = 0. Легко видеть, что эта функция также является решением исходного уравнения, поэтому ее следует добавить к полученному общему интегралу. Если же общее решение записать в виде y = Cey/x, то решение y = 0 получится при C = 0 .
3.3. Обобщенно-однородные уравнения Уравнение называется обобщенно-однородным, если его можно привести к однородному заменой y = z m, где m — некоторое действительное число .
Пример 4. Рассмотрим уравнение
Делая в нем замену y = z m, получаем 9mz 2m1 z 18xz m +4×3 = 0. Для того, чтобы это уравнение было однородным относительно x и z, необходимо, чтобы степени всех одночленов были одинаковыми: 2m 1 = 1 + m = 3. Эти два равенства образуют переопределенную систему двух уравнений относительно одного неизвестного m, которая в общем случае решения не имеет. Тем не менее, видно, что m = 2 является ее решением. Делаем замену y = z 2, придем к однородному уравнению
Решение. Прежде всего нужно найти частное решение. Заметим, что правая часть уравнения является многочленом второй степени от x и y. Это наводит на мысль искать частное решение в виде y = ax + b.
Подставив это выражение в уравнение, придем к необходимости выполнения тождества:
При этом нижние пределы x0 и y0 можно выбирать произвольно, лишь бы точка (x0, y0 ) принадлежала области D (области определения функций M и N ). За счет правильного выбора чисел x0 и y0 иногда удается упростить вычисления интегралов (5.4), (5.5). Например, если функции M и N являются многочленами от x и y, целесообразно выбирать x0 = y0 = 0 .
Пример 1. Рассмотрим уравнение
6.3. Метод введения параметра Этот метод можно применять, когда уравнение (6.1) удается разрешить относительно x или y. Рассмотрим оба этих случая подробнее .
1) Уравнение (6.1) можно разрешить относительно y, то есть, переписать в виде y = f (x, y ). (6.7) Обозначим y = p. Возьмем дифференциал от обеих частей равенства y =
и интегрируется в квадратурах (см. п. 4.1). Его решение имеет вид x = Cf (p) + g(p). Следовательно, общее решение уравнения (6.13) можно записать в параметрическом виде
Часть 2 Дифференциальные уравнения высших порядков §7. Уравнения, допускающие понижение порядка Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение F (x, y, y, y. y (n) ) = 0, (7.1) где x — независимая переменная, y — искомая функция, а функция F определена и непрерывна на некотором открытом множестве G (n + 2)-мерного пространства своих аргументов .
Решение уравнения (7.1) на некотором интервале I действительной оси x определяется как n раз непрерывно дифференцируемая функция y(x) такая, что для всех x I точка (x, y(x), y (x), y (x). y (n) (x)) G и при подстановке которой в (7.1) это уравнение превращается в тождество. Общим решением уравнения (7.1) называется функция (7.2) y = (x, C1. Cn ), где C1. Cn — произвольные постоянные, которая при любом фиксированном наборе этих постоянных определяет решение уравнения. Если общее решение задано неявно соотношением (7.3) (x, y, C1. Cn ) = 0, то (7.3) называется общим интегралом уравнения (7.1) .
Чтобы поставить для уравнения (7.1) задачу Коши, позволяющую выделить конкретное решение из всей бесконечной совокупности решений, определенных формулой (7.2) или (7.3), нужно, в отличие от уравнения первого порядка, задать не одно условие y(x0 ) = y0, x0 I, а добавить к этому условию еще значения производных искомой функции в точке x0 до порядка n 1 включительно.
Поэтому, задача Коши для уравнения (7.1) ставится следующим образом: найти решение y(x) уравнения (7.1), удовлетворяющее следующим (начальным) условиям:
y(x0 ) = y0, y (x0 ) = y0,1. y (n1) (x0 ) = y0,n1, (7.4) где произвол в выборе чисел x0, y0, y0,1. y0,n1 определяется тем, что точка (x0, y(x0 ), y (x0 ), y (x0 ). y (n) (x0 )) G .
Для решения задачи Коши нужно подставить условия (7.2) (или (7.3)) в (7.4) и определить постоянные C1. Cn, удовлетворяющие уравнениям, полученным в результате такой подстановки. Условия существования и единственности задачи Коши формулируются, как правило, для уравнения (7.1), разрешенного относительно старшей производной искомой функции. Само же уравнение (7.1), как будет видно из приведенных примеров, иногда имеет несколько серий решений. Поэтому на вопросе существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (7.1) мы не останавливаемся .
Рассмотрим теперь следующие частные случаи уравнения (7.1), которые при помощи замены неизвестной функции можно привести к уравнению более низкого порядка .
Определяя отсюда последовательно y (k1). y, y как функции параметра z, найдем значение искомой функции как функции параметра и n произвольных постоянных интегрирования, первые n k из которых вошли в параметрическое представление x, а остальные k появляются в процессе интегрирования равенств (7.10).
Значит общее решение уравнения (7.5) в параметрической форме в этом случае можно записать так:
Решение. Положив y = z(x), придем к уравнению с разделяющимися переменными (z + 1)z = z/x, общий интеграл которого запишем в виде z + ln C1 z = ln |x| (здесь постоянную интегрирования мы взяли в виде ln |C1 | и считаем, что произведение C1 z положительно). Следует также учесть, что при разделении переменных мы могли потерять значение z = 0, которому соответствует y = C. Нетрудно проверить, что это значение y удовлетворяет уравнению. Так как общий интеграл не удается разрешить относительно z, то, разрешив его относительно x, получим x = C1 zez. Будем искать решение в параметрическом виде, приняв z за параметр. Записав, следуя (7.10), равенство dy = y dx = y d(C1 zez ) = C1 z(1 + z)ez dz, найдем y = C1 (z 2 z + 1)ez + C2, что, вместе с уже полученным выражением для x, дает решение уравнения в параметрической форме. Решение y = C содержится в этой серии при C1 = 0 .
Пример 3. y y + x = 0 .
Решение. Сделав в уравнении замену y = z(x), придем к уравнению zz + x = 0, общий интеграл которого есть z 2 + x2 = C1 (постоянная интегрирования взята в таком виде для удобства). Этот общий интеграл легко параметризуется: x = C1 sin t, z = C1 cos t. Записав равенство (7.12), получим dy = y dx = C1 cos t d sin t = C1 cos2 t dt = 2 C1 (1 + cos 2t)dt. Отсюда
Пример 4. Решим уравнение y 2yy = 0 .
Решение. Сделав замену (7.15), после сокращения на p придем к уравнению p = 2y. При этом теряется решение y = C, соответствующее p = 0. Общее решение полученного уравнения имеет вид p = y 2 + C1. Подставив его в (7.15), придем к уравнению dy/dx = y 2 + C1. Здесь следует различать два случая в зависимости от знака C1 и случай C1 = 0. Поэтому, заменяя в последнем уравнении C1 на ±C1, и интегрируя это уравнение,
Пример 6. Рассмотрим уравнение 2yy 3y 2 y 2 = 0 .
Решение. После замены y = p(y) уравнение (7.16) примет вид 2ypp 3p2 y 2 = 0. Общий интеграл этого уравнения Бернулли имеет вид p2 + y 2 C1 y 3 = 0. Так как в него входят однородные функции от p и y, степени которых отличаются на единицу, для его параметризации сделаем подстановку p = ty, y = 0. Получим y = (t2 + 1)/C1, p = (t3 + t)/C1. Отсюда имеем dx = 2 dt/(t2 + 1), x = 2 arctg t + C2. Кроме того, непосредственной проверкой убеждаемся, что y = 0 также будет решением уравнения. Исключив параметр t, можно записать общее решение уравнения .
7.3. В уравнение (7.1) не входит независимая переменная x, а также неизвестная функция y(x) и первые k 1 ее последовательные производные В таком случае уравнение имеет вид
На уравнение (7.19) можно смотреть как на частный случай уравнения (7.14), а также уравнения (7.5). Однако, если сразу сделать замену y = p(y), то порядок уравнения понизится лишь на единицу и оно окажется уравнением типа (7.14), причем достаточно сложного вида. Поэтому сначала осуществляют более простую замену z = y (k) и приходят к уравнению (7.14), порядок которого будет равен n k, а роль неизвестной функции будет играть z .
Теперь можно сделать замену z = p(z) и понизить порядок уравнения (7.19) еще на одну единицу. Если удастся найти общее решение полученного уравнения, то, определив z(x) (если это возможно), общее решение уравнения (7.19) можно найти, интегрируя выражение y (k) = z. В остальных случаях решение уравнения приходится искать в параметрическом виде .
Пример 7. Решим уравнение y + y 1 = 0 .
Решение. Осуществляя последовательно замены y = z(x), а затем z =
p(z), придем, соответственно, к уравнениям z + z = 1, z + pp = 1. Общий интеграл последнего уравнения можно записать следующим образом:
p2 + (z 1)2 = C1. Введем его параметризацию, полагая p = C1 cos t, z = 1 + C1 sin t. Из равенства z = p находим dx = dz/p = dt, x = t + C2. Следовательно, dy = z dx = (1 + C1 sin t) dt, откуда y = t C1 cos t + C3. Выразив параметр t через x, можно записать общее решение уравнения .
Если общий интеграл уравнения (8.4) не разрешается относительно x, но его удается параметризовать: x = 1 (t, C1. Cn1 ), z = 1 (t, C1. Cn1 ), то решение уравнения (8.1) можно записать в виде
Кроме того, в процессе решения было потеряно решение y = 0 .
§9. Линейные уравнения c переменными коэффициентами
9.1. Линейные однородные уравнения Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид
В некоторых случаях частное решение уравнения (9.7) (или (9.1)) удается найти в виде многочлена от x или показательной функции eax .
Пример 1. Решить уравнение (x2 x + 1)y (2×2 + 1)y + (4x 2)y = 0 .
Решение. Будем искать одно решение этого уравнения в виде многочлена. Можно считать, при необходимости домножив решение на постоянную, что коэффициент при старшей степени этого многочлена равен 1. Пусть y1 = xn +. — искомое решение (точками обозначены члены низшей степени). Подстановка этого многочлена в уравнение должна привести к тождественному равенству. В результате такой подстановки в левой части уравнения будет стоять многочлен (x2 x+1)(n(n1)xn2 +. )(2×2 +1)(nxn1 +. )+(4×2)(xn +. ) 0 .
Старшая степень x, входящая в левую часть, есть n+1. Приравнивая к нулю коэффициент при ней, получим уравнение для определения степени многочлена: 2n+4 = 0, откуда n = 2. Следовательно, искомое решение, согласно сделанному выше замечанию, нужно искать в виде y1 = x2 + ax + b. Подставим это выражение в исходное дифференциальное уравнение и приравняем нулю коэффициенты при всех степенях x полученного многочлена. Полученная система уравнений на a и b дает a = 0, b = 1, поэтому y1 = x2 +1. Общее решение уравнения запишется по формуле (9.8) .
Чтобы не вычислять полученный в (9.8) интеграл, попробуем найти еще одно решение уравнения. Будем искать его в виде y2 = eax. Подставив y2 в уравнение, после сокращения на eax = 0 получим уравнение
При a = 2 эти равенства будут выполняться одновременно. Следовательно, y2 = e2x является решением исходного уравнения. В силу линейной независимости функций y1 и y2, их линейная комбинация y0 = C1 (x2 + 1) + C2 e2x определит общее решение уравнения .
9.2. Линейное неоднородное уравнение Рассмотрим уравнение
§10. Линейные уравнения c постоянными коэффициентами
10.1. Линейное однородное уравнение c постоянными коэффициентами
Это уравнение является частным случаем уравнения (9.1), в котором коэффициенты ai, i = 1. n, — действительные постоянные:
в котором символ p означает операцию дифференцирования по x (то есть, p = d/dx). Многочлен L(p) называется характеристическим многочленом уравнения (10.1). Правило построения характеристического многочлена состоит в том, что в уравнении (10.1) нужно каждую производную y (k), k = 0. n, заменить на pk, (y (0) = y заменяется на p0 = 1) .
Пусть p1, p 2. p n есть совокупность всех корней L(p) с учетом кратностей (в этой последовательности каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность) .
Рассмотрим следующие случаи .
1. Корни p1, p2. pn — вещественные и различные. Тогда ф.с.р. уравнения (10.1) составляют функции
2. Все корни p1, p2. pn различны, но среди них есть комплексные .
Пусть p = + i — один из комплексных корней. Тогда сопряженное число i также является корнем характеристического уравнения (10.2), ибо все коэффициенты этого уравнения вещественны. Этим двум корням соответствуют две функции
y = ex cos x, y = ex sin x,
входящие в ф.с.р. уравнения (10.1). Поэтому в этом случае ф.с.р. строится так: каждому вещественному корню p характеристического уравнения ставится в соответствие одна функция y = epx, а каждой паре комплексносопряженных корней ± i ставятся в соответствие две функции y1 = ex cos x, y2 = ex sin x. Общее решение записывается по формуле (9.3) .
3. Характеристическое уравнение имеет кратные корни (вещественные либо комплексные) .
Пусть сначала p — вещественный корень кратности k 2.
Этому корню соответствуют k функций, входящих в ф.с.р.:
Если же характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней ± i кратности k, то этим корням соответствуют 2k функций, входящих в ф.с.р.:
Общее решение уравнения (9.1) записывается по формуле (9.3) .
Отметим также, что все функции, входящие в ф.с.р., определены на всей оси x. Поэтому любое решение уравнения (9.1) также определено для всех x .
Пример 1. y 3y + 2y = 0 .
Решение. Характеристический многочлен уравнения имеет вид L(p) = p 3p + 2. Его корни p1 = 1, p2 = 2 вещественны и различны. Ф.с.р .
житель (ax + b)k, k = 1. n, то такое уравнение называется уравнением Лагранжа. С помощью замены ax + b = et оно также сводится к уравнению с постоянными коэффициентами .
§11. Линейные системы дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами
Решение. Многочлен D(p) этой системы равен D(p) = (p 1)2 и имеет один двукратный корень p = 1.
Поэтому решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11.6) (при n = 2, k = 2):
в котором a, b, c, d — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et, придем к необходимости выполнения тождеств
Приравняв к нулю коэффициенты при всех степенях t, получим линейную однородную алгебраическую систему четырех уравнений для определения коэффициентов a, b, c, d. Так как ранг матрицы полученной системы равен двум, то, положив a = 2C1, b = C2, найдем c = 2C1, d = C1 C2 .
Поэтому общее решение исходной системы можно записать в виде
Подставив этот вид решения в систему и приравняв нулю свободные члены и коэффициенты при t, придем к линейной однородной алгебраической системе из четырех уравнений, ранг матрицы которой равен двум.
Решив полученную систему, общее решение однородной системы запишем следующим образом:
§12. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем c постоянными коэффициентами
12.1. Преобразование Лапласа Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая следующим условиям:
1) f (t) = 0, если t 0;
2) f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;
3) f (t) растет не быстрее показательной функции, т.е., существуют постоянные M 0 и s0 0 такие, что для всех t выполняется неравенство |f (t)| M e.s0 t
Очевидно, условиям 2), 3) удовлетворяют многие элементарные функции:
t, et, sin t и другие. Условие 1) кажется несколько искуственным и вызваn –  –  –
Функция F (p) определена в полуплоскости Re p = s s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией, причем F () = 0.
Тот факт, что функция F (p) есть изображение функции-оригинала f (t), мы будем символически записывать следующим образом:
f (t) F (p) (или F (p) f (t)) .
12.2. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами Рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения
Будем считать, что функция f (t) и решение x(t) вместе с его производными до (n 1)-го порядка включительно являются функциями-оригиналами .
Пусть x(t) X(p), f (t) F (p). По правилу дифференцирования оригинала
Иными словами, решение x = (t) устойчиво, если все достаточно близкие к нему в любой заранее выбранный начальный момент t = t0 решения x = x(t) целиком содержатся в сколь угодно узкой -трубке, построенной вокруг решения x = (t) .
Если же для некоторого такого не существует, то решение x = (t) называется неустойчивым .
Определение. Решение x = (t) системы (14.2) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того, для всех решений x = x(t), удовлетворяющих условию (14.3) выполняется |x(t) (t)| 0, t +. (14.5) Ясно, что условие (14.5) сильнее, чем условие (14.4), потому что оно означает, что решение x = x(t) не просто содержится в -трубке, а еще и стремится к решению x = (t) .
Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора точки t0. Из неравенств (14.3)–(14.4) по смыслу вытекает, что всегда следует выбирать .
Вопрос исследования устойчивости некоторого решения x = (t) системы (14.2) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения y(t) 0 другой системы уравнений, получаемой из (14.2) заменой x = y + (t). На рисунке ниже показана устойчивость нулевого решения в двумерном случае .
Пример 1. Выяснить, устойчиво ли решение уравнения y + y tg x = sec x с начальным условием x(0) = 0?
Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид y = sin x + C cos x .
Подставив сюда начальное условие, получим C = 0. Таким образом, на устойчивость требуется исследовать решение (x) = sin x .
Разность x(t) (t) = C cos x. Выберем t0 = 0. Запишем условие (14.3):
|x(t0 )(t0 )| = |C|. Неравенство (14.4) принимает вид |C cos x|. Легко видеть, что для его выполнения при всех t t0 = 0 достаточно выбрать любое положительное. Следовательно, решение (x) = sin x исходного уравнения устойчиво .
Поскольку выражение |x(t) (t)| = |C cos x| не стремится к нулю при x + и малых C = 0, это решение не будет асимптотически устойчивым .
Пример 2. Выяснить, устойчиво ли решение уравнения x = 3 x2 с начальным условием x(0) = 1?
Решение. Общее решение данного уравнения с разделяющимися переменными имеет вид x = (t C)3, кроме того, есть еще решение y = 0. Решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, получается при C = 1 и имеет вид (t) = (x + 1)3 .
Разность x(t) (t) = 3t2 (C + 1) + 3t(C 2 1) (C 3 + 1). Возьмем t0 = 0 .
Условие (14.3) примет вид |C 3 + 1|. Отсюда 3 1 C 3 1 + .
Это означает, что C принадлежит некоторому открытому интервалу, содержащему точку 1 .
Запишем теперь условие (14.4): |3t2 (C + 1) + 3t(C 2 1) (C 3 + 1)| .
Под знаком модуля стоит многочлен от t, не равный константе при всех C = 1. Ясно, что модуль этого многочлена не может быть ограничен сверху никаким числом при t +. Поэтому решение (t) = (x+1)3 не является устойчивым .
14.1. Устойчивость по первому приближению Рассмотрим один из методов исследования на устойчивость нулевого решения системы (14.1). Разложим функции fi в ряд Тейлора в точке x1 = x2 =. =
xn = 0 с точностью до слагаемых первой степени:
14.2. Исследование на устойчивость с помощью теоремы Ляпунова Рассмотрим функцию V (t, x), непрерывно дифференцируемую в области D = <||x||, t t0 >.
Определение. Функция V (t, x) называется знакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной) в области D, если
V (t, x) 0 (или V (t, x) Определение. Функция V (t, x) называется положительно определенной в области D, если существует непрерывная функция W (x), ||x|| такая, что V (t, x) W (x) 0 при x = 0; V (t, 0) = W (0) = 0 .
Функция V (t, x) называется отрицательно определенной в области D, если существует непрерывная функция W (x), ||x|| такая, что
14.3. Условия отрицательности вещественных частей корней многочлена Левая часть характеристического уравнения det(A E) = 0 для нахождения собственных значений матрицы A представляет собой многочлен. Таким образом, чтобы найти собственные значения, приходится искать корни этого многочлена, а это зачастую сделать не очень просто. Естественным образом возникает вопрос: нельзя ли выяснить, будут ли вещественные части корней заданного многочлена
Собственные значения 1 = 2 = 2i. Особая точка (0, 0) — центр. Собственный вектор матрицы системы с собственным значением 1 = 2i есть H = (5, 1 + 2i). Откуда h1 = (5, 1), h2 = (0, 2). Эллипсы отсекают на полуосях x1, y1 в направлении векторов (5, 1) и (0, 2) отрезки 2 6r и 2r, r 0 соответственно. Вектор скорости в точке (3, 1) равен вектору v = (2, 2) (эллипсы обходятся по часовой стрелке). См. рис. 8 .
Пример 5. Исследовать поведение траекторий системы x = x, y =x+y вблизи особой точки .
Решение. Матрица системы имеет единственное собственное значение 1 = 2 = 1. Особая точка (0, 0) — неустойчивый вырожденный узел. Собственный вектор h1 = (h1, h2 ) находится из условий h1 = h2, h1 + h2 = h2. Можно взять вектор h1 = (0, 1). Дополнив этот вектор вектором h2 = (1, 0) до базиса и записав разложение (15.8), получим µ = 1 и H1 = h1 = (0, 1), H1 = h2 = (1, 0). Первый и третий квадранты новой системы координат совпадают с декартовыми, а второй и четвертый меняются местами. Траекториями будут положение равновесия x1 = 0, y1 = 0 и полуоси оси x1 (ось y декартовой системы координат). Направление движения с ростом параметра t — от особой точки. Остальные траектории с ростом t выходят из второго и четвертого квадрантов системы координат x1, y1 (соответственно четвертого и второго квадрантов декартовой системы x, y ) и неограниченно удаляются в первый и третий квадранты системы координат x1, y1. Траектории системы показаны на рис. 9 .
нужно подставить вместо x, y, z их выражения (17.11) через параметр t .
Затем из полученных соотношений вида 1 (t) = C1, 2 (t) = C2 нужно исключить t и получить уравнение (C1, C2 ) = 0. Подставив сюда вместо C1 и C2 их выражения по формулам (17.12), получим уравнение искомой поверхности .
Если же уравнения данной линии даны не в параметрическом виде, а в виде пересечения двух поверхностей
найденные выражения в исходное уравнение, и отбросив все члены выше третьей степени, придем к тождеству 2a2 + 6a3 x + 12a4 x2 + 20a5 x3 a2 + 2a0 a1 x + (a2 + 2a0 a2 + a1 )x2 + (2a1 a2 + 2a0 a3 + 2a2 )x3 .
Литература [1] Карташев А.П., Рождественский Б.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления: учеб. пособие для вузов .
– М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. – 1976. – 255 с .
[2] Ибрагимов Н.Х., Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. – Н.Новгород: Изд-во ННГУ – 2007 .
[3] Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений. – М.: Эдиториал УРСС. – Изд. 8, стер. – 2004. – 472 с .
[4] Матвеев Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 6-е изд. – C-Пб.: «Лань». – 2004. – 832 с .
[5] Матвеев Н.М., Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 7-е изд., доп. – С-Пб.: «Лань». – 2002. – 432 c .
[6] Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А., Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк. – 1989 .
[7] Филиппов А.Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: РХД. – 2000. – 176 с .
«Боль и дистресс у лабораторных грызунов и лагоморфов Отчет Рабочей группы по боли и дистрессу Федерации Европейских научных ассоциаций по лабораторным животным (FELASA), принятый Советом директоров FELASA в ноябре 1992 года Содержание Введение Раздел I Определения боли, дист. »
«РЕСПУБЛИКАНСКОЕ НАУЧНОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ «ИНСТИТУТ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В АПК НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ» УДК 338.33:67 Боломчук Богдана Владимировна МЕХАНИЗМ УПРАВЛЕНИЯ ДИВЕРСИФИКАЦИЕЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕ. »
«ПАРАДОКСЫ ТРАНСФОРМАЦИИ ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ РОССИЙСКОЙ МОЛОДЁЖИ Автор: Е. К. КАЗАРИНА-ВОЛШЕБНАЯ, И. Г. КОМИССАРОВА, В. Н. ТУРЧЕНКО КАЗАРИНА-ВОЛШЕБНАЯ Ева Кузьминична преподаватель Калужского государственного университета. КОМИССАРОВА Ирина Геннадьевн. »
«Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение Т. 15, № 4, 2016 г. УДК 621.9.08, 621.9.015 DOI: 10.18287/2541-7533-2016-15-4-252-264 МЕТОДИКА КОМПЕНСАЦИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕХ. »
«Когда столицы переносят: политическая география национального и государственного строительства ЭДВАРД ШАЦ ЭДВАРД ШАЦ. Доктор наук, WHEN CAPITAL CITIES MOVE: адъюнкт-профессор политических The Political Geography of наук Университета Торонто. Nation and State Building Адрес: 3359 Mississauga Road, E. »
«СХЕМА ПРОФЕССИОГРАММЫ 1. Общие сведения о профессии (специальности, штатной должности).1.1. Наименование и назначение профессии . Наименование профессии, ее отношение к виду, роду, назначение, распростра. »
«ГЛАВА 16. ЭФФЕКТИВНЫЙ РЫНОК В настоящей главе рассматривается концепция эффективности финансового рынка. Вначале мы остановимся на понятиях информационной и операционной эффективности рынка, охарак. »
«МАЛКОВ Артемий Сергеевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ АГРАРНЫХ ОБЩЕСТВ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой ст. »
«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2012 Т. 4 № 1 С. 231235 МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ УДК: 519.86 Вероятностно-статистическая модель страхового капитала О. Г. Горбачёв Московский физико-технический институт (ГУ), кафедра математических основ уп. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова» Кафедра бухгалтерского учета, анал. »
2018 www.new.z-pdf.ru — «Библиотека бесплатных материалов — онлайн ресурсы»
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.
«Киясов С. Н., Шурыгин В. В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Казань — 2011 УДК 517.9 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО . »
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Киясов С. Н., Шурыгин В. В.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ,
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
методической комиссии механико-математического факультета Протокол № 9 от 7 апреля 2011 г.
заседания кафедры дифференциальных уравнений Протокол № 9 от 23 марта 2011 г.
доктор физ.-мат. наук, проф. И.А. Бикчантаев Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, проф. КФУ Н.Б. Плещинский канд. физ.-мат. наук, проф. КВВКУ Л.К. Астафьева Киясов Сергей Николаевич, Шурыгин Вадим Вадимович.
Дифференциальные уравнения. Основы теории, методы решения задач:
Учебное пособие / С.Н. Киясов, В.В. Шурыгин. – Казань: Казанский федеральный университет, 2011. – 112 с.
Учебное пособие предназначено для студентов II курса механико-математического факультета КФУ.
Казанский федеральный c университет, Киясов С.Н., Шурыгин В.В., c Часть Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ) = 0, (0.1) в котором x — независимая переменная, y(x) — неизвестная функция. Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется уравнение dy (0.2) = f (x, y).
dx Правую часть уравнения (0.2) будем считать определенной на некотором открытом множестве D плоскости (x, y). Иногда уравнение (0.2) записывают в виде (0.3) M (x, y) dx + N (x, y) dy = и называют уравнением первого порядка, записанным в дифференциалах.
Решением уравнения (0.2) (или (0.3)) на интервале I оси x называется любая дифференцируемая функция y = (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на I. Общим решением уравнения (0.2) называется множество всех его решений. Общее решение зависит от одной произвольной постоянной C и дается формулой (0.4) y = (x, C).
Выражение вида (0.5) (x, y, C) = 0, из которого y определяется неявно как функция от x называется общим интегралом уравнения (0.2).
Решить уравнение (0.2) означает найти его общее решение или общий интеграл. При этом предпочтение, как правило, отдается более компактной записи ответа.
Формы записи уравнения в виде (0.2) или (0.3) равносильны и из одной записи можно получить другую. Однако, в некоторых случаях, форма записи (0.3) оказывается предпочтительнее, так как в нее переменные x и y входят симметрично. Поэтому, если независимую переменную и искомую функdx цию поменять местами (разрешить уравнение относительно ), то общее реdy шение x = (y, C) полученного уравнения определит общий интеграл уравнения (0.2).
Рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию y(x0 ) = y0, где (x0, y0 ) D. (0.6) Условие (0.6) называется начальным условием, а сама поставленная задача — задачей Коши. Любое решение y = (x) уравнения (0.2) определяет на множестве D некоторую кривую, которую называют интегральной кривой уравнения. Поэтому, геометрический смысл задачи Коши состоит в том, чтобы найти интегральную кривую уравнения, проходящую через точку (x0, y0 ) D. Чтобы решить задачу Коши, нужно подставить начальное условие (0.6) в (0.4) или (0.5) и определить оттуда значение C = C0, при котором точка (x0, y0 ) лежит на искомой интегральной кривой. Тогда решение задачи Коши запишется в виде y = (x, C0 ) или (x, y, C0 ) = 0.
§1. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к ним 1.1. Уравнения с разделяющимися переменными Уравнения с разделяющимися переменными — это уравнения, которые могут быть записаны в виде или же в виде Чтобы решить такое уравнение, необходимо разделить переменные, то есть, привести уравнение к такой форме, чтобы при дифференциале dx стояла функция, зависящая лишь от x, а при дифференциале dy — функция, зависящая от y. Для этого уравнение вида (1.1) следует переписать в форме а уравнение вида (1.2) в форме Таким образом, уравнение с разделяющимися переменными сводится к уравнению для функций f (x) и g(y) соответственно. Тогда их дифференциалы равны Следовательно, уравнение (1.3) можно переписать в виде Но дифференциал функции равен нулю тогда и только тогда, когда эта функция — константа. Поэтому общим решением уравнения (1.3) будет Заметим, что при разделении переменных могут теряться решения вида x = x0, y = y0 за счет обращения в нуль функций P (x) и N (y). Поэтому, если потерянное решение не может быть получено из общего решения при каком-нибудь C = C0, его необходимо также включить в ответ.
Пример 1. Рассмотрим уравнение (задачу Коши) Решение. Разделяя переменные, получим Интегрируем полученные выражения и учитывая, что неопределенный интеграл означает множество всех первообразных, отличающихся на постоянную, получим Следовательно, общий интеграл уравнения (1.4) (если произвольную постоянную C взять в виде C ) есть В процессе преобразования уравнения мы делили на y. Подставив y = 0 в уравнение (1.4), убеждаемся, что y = 0 тоже является решением и не получается из общего интеграла ни при каком значении C, так как не входит в область его определения.
Подставив x = 1, y = 1 в общий интеграл, найдем решение задачи Коши:
Пример 2. Решим уравнение Решение. Разделяем переменные:
При этом мы делим на x3 1 и y + 1, поэтому необходимо отдельно рассмотреть случаи x3 1 = 0 и y+1 = 0. Подставив в уравнение (1.5) сначала x = 1, а потом y = 1, убеждаемся, что обе эти функции являются решениями.
Следовательно, общий интеграл уравнения (1.5) можно записать так:
Если постоянную C взять в виде ln |C|, то общий интеграл запишется следующим образом:
В этой форме записи решение x = 1 содержится при C = 0. Поэтому к общему интегралу такого вида следует добавить лишь решение y = 1.
Если же постоянную взять в виде ln |C| и переписать общий интеграл в виде (y + 1)2 = Cey (x3 1)1/3, то, наоборот, решение y = 1 получится при C = 0.
Пример 3. Решим уравнение Решение. Перепишем его в виде Разделив переменные, получим Проинтегрируем:
Заменяя C на ln |C| и потенцируя, получим окончательно Кроме того, мы должны исследовать случаи y(y 2) = 0 и sin x = 0. Первый случай дает функции y = 0 и y = 2, являющиеся решениями исходного уравнения, а второй — функции x = n, n Z, которые уравнению не удовлетворяют. Так как y = 2 содержится в общем интеграле при C = 0, то к нему следует добавить лишь решение y = 0.
1.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными К таким уравнениям относятся уравнения вида Сделав в таком уравнении замену z = ax + by + c, получим уравнение с разделяющимися переменными = bf (z) + a.
Пример 4. Рассмотрим уравнение Решение. Сделаем замену z = z(x) = 2x+3y+1, тогда y = (2x+z 1).
Поэтому y = + z. Подставим это в исходное уравнение: + z = z 2, откуда Интегрируя последнее уравнение и делая обратную замену, получим Поскольку выражение z 2 +2 не обращается в нуль в ни при одном значении z, потери решений не произошло.
§2. Задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными При составлении дифференциальных уравнений в физических задачах важно правильно выбрать независимую переменную и искомую функцию, описывающую происходящий процесс. За независимую переменную, как правило, берется время t от начала процесса. Рассматривая приращение искомой функции за произвольный малый промежуток времени и выражая это приращение через данные, указанные в задаче, в пределе, при стремлении этого промежутка времени к нулю, получают дифференциальное уравнение. Часто дифференциальное уравнение можно составить исходя из физического смысла производной. Так производная неизвестной функции x(t) означает скорость ее изменения: x(t) — путь, x (t) — скорость; x(t) — скорость, x (t) — ускорение и т.д. При составлении дифференциальных уравнений в геометрических задачах используется геометрический смысл производной.
Пример 1. Через 12 часов после начала опыта численность некоторой популяции бактерий возросла в 3 раза. Во сколько раз увеличится число бактерий через трое суток? Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству.
Решение. Пусть x(t) — количество бактерий в момент времени t. Скорость их размножения (изменение их количества в момент времени t) есть производная x (t). Отсюда получаем дифференциальное уравнение = kx, где k — некоторый коэффициент, пока неизвестный. Решая это уравнение, получаем x = Cekt. Примем, что начальное количество бактерий равно N (в принципе, ничто не мешает считать это количество равным единице). Подставляя t = 0, получаем C = x(0) = N. После этого подставим t = 12.
Получим N e12k = 3N, откуда e12k = 3. Следовательно, x(72) = N e72k = N (e12k )6 = 36 · N = 729N.
Ответ: количество бактерий возрастет в 729 раз.
Пример 2. Пуля, двигаясь со скоростью v0 = 400 м/с, пробивает стену толщиной h = 0,2 м и вылетает из нее со скоростью v1 = 100 м/с. Считая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время T движения пули в стене.
Решение. Второй закон Ньютона гласит, что сумма сил, действующих на тело, векторно равна ускорению тела, помноженному на его массу. Ускореdv ние тела есть w =. В данном случае на пулю действует сила сопротивdt ления Fc = kv 2 (знак «» соответствует направлению силы сопротивления). Кроме того, на нее действует сила тяжести mg, которой в данном случае можно пренебречь. Следовательно, уравнение движения пули имеет вид m = kv 2. Массу пули можно считать единичной (а можно считать коэфdt фициент сопротивления равным k/m). Поэтому мы запишем это уравнение в виде получим 1/C = v0. После этого, подставив t = T, получим = v1,. Осталось определить величину k. Путь, пройденный откуда kT = пулей в стене, равен v(t) dt. Вычислим этот интеграл:
Подставив сюда численные данные, указанные в условии, получим 0,2 = Пример 3. На дне цилиндрического резервуара, заполненного жидкостью, образовалось отверстие. В течение первых суток вытекло 10% содержимого.
Определить, когда из сосуда вытечет половина жидкости. Скорость истечения жидкости через малое отверстие, находящееся на расстоянии h ниже уровня жидкости, равна µ 2gh (закон Торричелли), где µ — некоторый коэффициент. Можно считать µ = 0,6.
Решение. Обозначим h(t) уровень жидкости в резервуаре. Пусть S — площадь основания резервуара, а s0 — площадь отверстия. Рассмотрим промежуток времени от t до t + t. За этот промежуток количество жидкости в резервуаре изменится на величину Sh(t+t)Sh(t). C другой стороны, в течение этого промежутка уровень жидкости равен h(t)+(t), где (t) = o(t) — величина бльшего порядка малости, чем t. Следовательно, количество жидкости, вытекшей за это время, будет равно µ 2g(h(t) + (t)) · s0 · t.
Поделим обе части уравнения на S · t и перейдем к пределу при t 0.
ции h уравнение Его решение имеет вид 2 h = kt + C. Поскольку нам нужно найти время, а не высоту, не будем выражать h из этого соотношения.
Будем считать высоту резервуара равной 1. Тогда из условий задачи вытекает, что h(0) = 1 и h(24) = 0,9. Первое из этих равенств дает C = 2, тогда из второго следует, что 12k + 1 = 0,9. Нам требуется решить уравнение h(T ) = 0,5. Тогда T удовлетворяет уравнению 2 0,5 = kT + 2, из которого Ответ: примерно через 68 ч 30 мин.
Пример 4. Найти кривую, проходящую через точку (2, 3) и обладающую тем свойством, что отрезок произвольной ее касательной, концы которого лежат на осях координат, делится точкой касания пополам.
Киясов и шурыгин дифференциальные уравнения
Чуть больше года назад в сообществе уже был пост, посвященный дифференциальным уравнениям, однако там были ссылки в основном на руководства по решению задач. Последние охватывали, как правило, несколько разделов математического анализа и потому тему ДУ рассматривали достаточно бегло. В настоящее время таким книгам посвящены записи Полные курсы по высшей математике и Руководства по решению задач («Решебники» по высшей математике), советуем обязательно просмотреть их. В данной записи приводятся ссылки на литературу, охватывающую только тему «Дифференциальные уравнения».
 | С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова Дифференциальные уравнения. — МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. -348 с. — (Математика в техническом университете) Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны основные понятия об уравнениях с частными производными первого порядка. Приведены многочисленные примеры из механики и физики. Отдельная глава посвящена линейным ОДУ второго порядка, к которым приводят многие прикладные задачи. Содержание учебника соответствует курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ Им. Н. Э. Баумана. Для студентов технических университетов и вузов. Может быть полезен интересующимся прикладными задачами теории дифференциальных уравнений. |
 | Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат, фак. / Н. Я. Виленкин, М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов.— М.: Просвещение, 1984. — 176 с. — Моск. гос. заоч. пед. ин-т. Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделу «Дифференциальные уравнения» курса «Математический анализ». Она входит в серию пособий по математическому анализу, выходящую под общей редакцией профессора Н. Я. Виленкина («Введение в анализ» (1983 г.), «Дифференциальное исчисление» (1984 г.), «Интегральное исчисление» (1979 г.), «Ряды» (1982 г.) , «Мощность, метрика, интеграл» (1980 г.) «Элементы функционального анализа в задачах» (1978 г.), «Теория аналитических функций» (1985). Основное внимание в пособии уделяется развитию у студентов навыков решать физические и геометрические задачи с помощью дифференциальных уравнений. Структура пособия обеспечивает самостоятельную работу студентов по изучению данного курса. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными подробно решенными примерами. Скачать (djvu/rar, 3.74 Мб, 600 dpi+OCR) ifolder.ru || libgen.info |
 | Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 288 с: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-0677-7 Предлагаемая читателям книга состоит из двух частей: в первой части рассматриваются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, во второй — дифференциальные уравнения с частными производными. Учебное пособие предназначено для студентов технических вузов. Написанная ясным и простым языком, книга представляется полезной также лицам, занимающимся математикой самостоятельно. Внимание. Скорее всего, это 2-е издание книги (на последней странице указано именно это и количество страниц 277. Исходник (pdf/rar 28.17 Мб, после распаковки 400 мб) ifolder.ru Полученный из исходника djvu, 3,23 мб rghost |
 | |
 | Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск, Наука и техника, 1979. — 744 с. Рассматриваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и вообще анализ и классификация решений дифференциальных уравнений. В третьем издании расширена и использована при исследовании качественных вопросов глава «Теория подвижных особых точек в вещественной области», новая по методам и результатам и имеющая как теоретическое, так и прикладное значение. Шире рассматриваются в новом, издании и вопросы качественной теории и методы обнаружения и построения периодических решений в области центра и изолированных периодических решений. Добавлена и новая XIV глава «Фрагменты из элементарной конструктивной теории периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений». Книга рассчитана на математиков, физиков и инженеров-теоретиков. Она будет полезна и студентам старших курсов механико-математических и физических факультетов. Скачать (divu, 10,5 Мб)ifolder || mediafire.com || libgen.info |
 | Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. Теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория устойчивости — М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 240 с. ISBN 5-8360-0153-7 Этот учебник адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь будущим инженерам и экономистам) и охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое. В третий том вошел материал по некоторым разделам математического анализа (числовые, степенные, функциональные ряды, ряды Фурье) и обыкновенным дифференциальным уравнениям. Скачать (djvu/rar, ocr, 5,59 Мб) ifolder.ru || libgen.info |
 | Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец.— М.: Просвещение, 1988.— 256. — ISBN 5-09-000281-9 Книга является единым руководством по изучению вопросов теории дифференциальных уравнений и методов интегрирования, обеспечивающим весь учебный процесс по разделу «Дифференциальные уравнения» программы по математическому анализу педагогических институтов. Скачать (djvu, 5.16 Мб) ifolder.ru || mediafire.com |
 | Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 — 344 с: ил. В книге излагаются основные разделы классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Рассматриваются методы получения точных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; значительное внимание уделяется вопросам существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от исходных данных.Приводятся методы решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, линейных и нелинейных уравнений первого порядка в частных производных; обсуждаются вопросы качественного исследования этих решений.Основы вариационного исчисления рассматриваются по причине тесной связи данного раздела высшей математики с теорией дифференциальных уравнений. Книга предназначена для студентов высших учебных заведений. По наводке malykh89 Скачать (divu, 5,12 Мб) ifolder || rghost |
 | Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. А. Д. Мышкиса, О. А. Олейиик. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с. Книга представляет собой учебник по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательно продуманное изложение дало возможность в небольшом объеме вместить обширный материал. Более детально и строго, чем в других руководствах, рассмотрены уравнения простых типов. Подробно изложены общие теоремы о разрешимости уравнений и систем уравнений с непрерывными правыми частими. Теория линейных уравнений сопровождается оригинальным изложением канонической формы систем. Книга включает главу об автономных системах и добавление, содержащее теорию линейных и нелинейных уравнений с частными производными 1-го порядка. Большое количество задач значительно расширяет содержание книги. Обложка от книги другого издания. За книгу спасибо Violent_Violet Скачать (djvu, 3.08 Мб) ifolder.ru или mediafire.com |
 | Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 4 изд. — М., Наука, 1974. — 331 с. От автора:Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете МГУ. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции.Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения и послужили руководством при выборе материала для моих лекций. Учебник удостоен государственной премии СССР за 1975г. Скачать (divu, 4,75 Мб) ifolder ||eqworld.ipmnet.ru |
 | Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — 6 изд. — 1950. — 473 с. Книга выдающегося российского математика, члена-корреспондента АН СССР В. В. Степанова (1889-1950) выдержала несколько переизданий, став классическим трудом в области дифференциальных уравнений. Автор знакомит читателя с элементарными методами интеграции, теоремами существования, особыми решениями, с общей теорией линейных уравнений — эти главы связаны с теорией групп Ли, с применением методов теории функций действительного и комплексного переменного, с методами линейной алгебры. В курсе дается достаточно развернутая качественная теория распределения интегральных кривых в окрестности особой точки. Рекомендуется студентам университетов, аспирантам и специалистам в области математики и может быть использована в качестве учебника для естественных вузов. Скачать (divu, 7 Мб) ifolder ||eqworld |
 | Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 256 с. — (Курс высшей математики и математической физики — Вып. 6 ISBN 5-9221-0277-X.). Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется специалистам по физике и математике. Большое внимание уделено численным и асимптотическим методам решения. Воспроизводится с 3-го изд. 1998 г. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». Скачать (1,7 Мб) mediafire.com || libgen.info |
 | Ф. Трикоми. Дифференциальные уравнения. 1962 год. 362 стр. Книга посвящена теории дифференциальных уравнений . Книга, предлагаемая вниманию читателя, написана со свойственными автору простотой, ясностью и изяществом. Тщательный отбор материала и продуманность изложения позволяют при сравнительно небольшом объёме осветить многие важные задачи, идеи, методы и результаты со временной теории дифференциальных уравнений, которые обычно опускаются в общих курсах. Книга написана весьма просто. Она может служить пособием для студентов и аспирантов математиков и физиков, а также для инженеров. Немало интересного найдут в ней и специалисты-математики. Скачать (djvu/rar, 1 Мб) ph4s.ru || Подробное оглавление и ссылка для скачивания || libgen.info |
 | Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 2-е изд., перераб. и доц.—-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.— 448 с. Книга содержит наложение основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений, включая теорию устойчивости, и вариационное, исчисление. Значительное место уделено уравнениям с частными производными первого порядка, аналитической теории дифференциальных уравнений и асимптотике решений линейных уравнений второго порядка. В этом издании (первое издание выходило в 1980 г.) добавлены методы теории возмущений при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Для студентов втузов, а также для инженеров-исследователей. Обложка от книги другого издания Скачать (divu, 10,74 Мб) ifolder.ru || libgen.info |
 | Филиппов Алексей Федорович Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. — 240 с. ISBN 978-5-484-00786-8. Книга содержит весь учебный материал в соответствии с программой Минвуза по курсу дифференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей университетов. Имеется также небольшое количество дополнительного материала, связанного с техническими приложениями. Это позволяет выбирать материал для лекций в зависимости от профиля вуза. Объем книги существенно уменьшен по сравнению с имеющимися учебниками за счет сокращения дополнительного материала и выбора более простых доказательств из имеющихся в учебной литературе. Теория излагается достаточно подробно и доступно не только для сильных, но и для средних студентов. Приводятся с пояснениями примеры решения типовых задач. В конце параграфов указываются номера задач для упражнений из «Сборника задач по дифференциальным уравнениям» А. Ф. Филиппова и указываются некоторые теоретические направления, примыкающие к изложенным вопросам, со ссылками на литературу (книги на русском языке). Скачать (djvu/rar, 4.09 Мб) ifolder.ru || libgen.info |
 | Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. — 424 с. Настоящая книга — классический учебник по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению для студентов физических и физико-математических факультетов университетов. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете МГУ. Цель данного учебника — способствовать глубокому усвоению теории с помощью 300 подробно решенных примеров и 250 задач разного уровня сложности: от простых до самых сложных и нетривиальных. Большинство примеров имеет прямое приложение в физике. Книга состоит из двух независимых частей. В первой части подробно изложены методы интегрирования дифференциальных уравнений и простейшие способы исследования их решений; вторая часть знакомит читателя с методами решения различных вариационных задач. Каждая глава снабжена задачами для самостоятельного решения. Книга будет полезна и интересна и тем, кто только начинает знакомство с предметом, и тем, кто стремится углубить свои знания в этой области. Обложка от книги другого издания Скачать (4,7 мб, djvu,ocr) mediafire.com ||eqworld.ipmnet.ru |
В примерах и задачах
 | Васильева А. В., Медведев Г. Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ,2003. — 432 с. — (Курс высшей математики и математической физики. Вып. 10. ISBN 5-9221-0276-1.) Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи с ответами для самостоятельной работы. Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». Скачать (djvu/rar,2,9 Мб) mediafire.com || libgen.info |
 | Васильева А. Б., Медведев Г. Н., Тихонов Н. А., Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 432 с. — (Курс высшей математики и математической физики. Вып. 10) — ISBN 5-9221-0628-7. Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи с ответами для самостоятельной работы. Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». Скачать (djvu/rar, 3,08 Мб) ifolder.ru |
 | Калинин В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения (пособие для практических занятий). – ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. – 68 с. Пособие предназначено для студентов различных специальностей РГУ нефти и газа им И.М. Губкина. В нем подробно рассматриваются способы и приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разобраны реальные практические задачи, сводящихся к решению таких уравнений. В начале каждого раздела сформулированы теоретические вопросы, которые позволяют систематизировать знания по соответствующему разделу учебного курса. Приведены задачи для самостоятельного аудиторного и домашнего решения. В приложениях представлены приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, несколько расширяющие рамки стандартного курса технического вуза, а также современные компьютерные подходы к решению дифференциальных уравнений (на примере системы «Mathematica»). Пособие будет также полезно магистрантам, аспирантам и специалистам в качестве справочного материала при решении практических задач. Скачать (pdf, 1 Мб) f-bit.ru || ph4s.ru || libgen.info |
 | Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд. 4-е., испр. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 256 с. (Вся высшая математика в задачах.) ISBN 5-354-00013-0 В предлагаемом сборнике задач (4-е изд., исправл.) особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами. Детально разобраны метод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи нахождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и независимость систем функций. В задачник включено большое число задач на решение линейных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, задачи на устойчивость по Ляпунову, на применение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем. Представлены также метод последовательных приближений, особые решения дифференциальных уравнений, уравнения с малым параметром при производной. Фактически пособие можно считать «решебником», излагающим основные методы решения задач и иллюстрирующим их на примерах. Скачать (djvu/rar, 4,06 mb, 600 dpi+OCR) ifolder.ru |
 | |
 | NEW Просветов Г. И. Дифференциальные уравнения: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2011. — 88 с. ISBN 978-5-94280-507-4 В учебно-практическом пособии рассмотрены основные методы и приемы решения дифференциальных уравнений. Приведенные в учебном материале примеры и задачи позволяют успешно овладеть знаниями по изучаемой дисциплине. Пособие содержит программу курса, задачи для самостоятельного решения с ответами и задачи для контрольной работы. Издание рассчитано на преподавателей и студентов высших учебных заведений. За книгу спасибо Гость Источник (pdf, 92 мб) narod.ru Скачать (djvu/rar, ч/б, ocr, 682.6 КБ) f-bit.ru || http://rghost.ru |
 | Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — М. Высшая школа, 1989. -383 с. В пособии приводятся краткие теоретические сведения и решения типовых задач по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Имеются также задачи для самостоятельного решения. Материал пособия позволяет выработать практические навыки в решении и исследовании дифференциальных уравнений, описывающих эволюционные процессы в различных областях естествознания. Скачать (9,29 Мб) ifolder || mediafire.com/ |
 | Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — 3е изд.- М., Высшая школа, 1967. — 565 стр. с илл. В книге даются основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются свойства последних. Являясь учебником для студентов университетов, она может быть использована в педагогических институтах и в технических вузах, а также студентами-заочниками и лицами, самостоятельно изучающими теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Скачать (15 Мб) mediafire.com || f-bit.ru |
Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.: МГИУ, 2007. – 254 с. ISBN 978-5-2760-1098-4
Скачать (pdf, 2.47 Мб) ifolder.ru || libgen.info
Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения в задачах и примерах: Учебно-методическое пособие. – М.: МГИУ, 2007. – 158 с. ISBN 978-5-2760-1097-7
В учебно-методическом пособии рассматриваются методы и приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пособие включает в себя материал 27 практических занятий и используется при изучении курса “Дифференциальные уравнения” в течение двух семестров. Оно соответствует программе дисциплины «Дифференциальные уравнения» для студентов второго и третьего курсов.
Скачать (pdf, 2.15 Мб) ifolder.ru || libgen.info
Оба пособия предназначены для студентов высших учебных заведений направления «Прикладная математика и информатика» (010500) и специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» (010503). Будут полезны студентам инженерных специальностей, желающих самостоятельно научиться решать дифференциальные уравнения, а также студентам дистанционной формы обучения.
 | Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987.—160 с. Книга популярно знакомит с возможностями использования обыкновенных дифференциальных уравнений при изучении реальных явлений и процессов. Приемы составления дифференциальных уравнений, а также некоторые методы их качественного исследования иллюстрируются задачами, возникающими в различных областях знаний. Для школьников старших классов, преподавателей, студентов, для специалистов нематематических профессий, использующих математику в своей работе. Скачать (djvu, 3,3 mb) mediafire.com || libgen.info |
 | Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности / Перевод с англ. И. С. Емельяновой. — Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. 421с. ISBN 91-7295-988-6 (Alga Publications, Blekingc Institute of Technology) ISBN 978-5-91326-027-7 Настоящий учебник охватывает обширный материал, включающий составление и анализ математических моделей различных процессов и явлений из области физики, техники, биологии, медицины и экономики. Рассматриваемые модели описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями с частными производными и их системами. Излагаются классические и современные методы решения дифференциальных уравнений. В частности, широко представлен инвариантный подход, связанный с привлечением локальных групп Ли, которые позволяет находить решения нелинейных задач а аналитической форме. Учебник предназначен студентам, аспирантам и преподавателям естественно-научных факультетов классических, технических и педагогических университетов, а также специалистам в области чистой и прикладной математики. Скачать (djvu, 4,44 Мб) f-bit.ru || ph4s.ru || libgen.info |  | Пономарев К. К. Составление дифференциальных уравнений. — Минск, Вышейшая Школа, 1973. — 560 стр. с илл. Учебное пособие для математических, физических, биологических, химических факультетов университетов, которое является руководством по составлению и решению дифференциальных уравнений. Как известно, в курсе дифференциальных уравнений решению практических задач на составление уделяется все еще недостаточное внимание. Кроме того, в учебниках и учебных пособиях вопросы составления дифференциальных уравнений обычно ограничиваются элементарными задачами геометрического или кинематического типа. Цель автора — создание учебного пособия, которое широко охватило бы различные задачи естествознания и техники и способствовало овладению современной методикой составления дифференциальных уравнений прикладных задач, возникающих в процессе производства или научной деятельности. Характерной особенностью освоения навыков составления дифференциальных уравнений является изучение многочисленных примеров. В связи с этим полнота изложения имеет здесь существенное значение. Книга содержит 325 задач на составление дифференциальных уравнений, из которых 194 задачи анализируются подробно. Скачать (djvu, 4,44 Мб) eqworld.ipmnet.ru || libgen.info |
 | Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.—319 с: ил. Содержится более полутора тысяч зада4 и упражнений по всем разделам университетского курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводятся краткие сведения из теории, типовые примеры, ответы и указания для решения наиболее трудных задач. Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика». (Обложка от другого издания) Скачать (3,9 Мб) ifolder || libgen.info |
 | В.К. Романко, Н.Х. Агаханов, В.В. Власов, Л.И. Коваленко Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. — М., ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. — 256 с. Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления». В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы. Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей. Скачать (2,69 Мб) ifolder.ru || mediafire.com |
 | Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 176 с. Сборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой. В настоящее издание добавлены задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах на механико-математическом факультете МГУ. Скачать (1,3 Мб) f-bit.ru || mediafire.com |
 | Дингельдей Ф. Сборник упражнений и практических задач по интегральному исчислению. Пер. с нем. — ГТТИ, 1932. 400 с Предлагаемый вниманию читателя сборник задач по интегральному исчислению чрезвычайно выгодно отличается от существующих у нас задачников. В нем читатель найдет много задач физического и технического содержания, формулировка которых далека как от схематизма, так и от псевдотехницизма. Решая эти задачи, необходимо вдумываться как в конкретное условие, так и в приемы математического их решения; необходимо вдумчиво отнестись к процессу перевода условий задачи на математический язык. Скачать (djvu/rar, 18.63 Мб) ifolder.ru|| f-bit.ru |
Дополнительно
 | Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. 308 с. Отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим п книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения) и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс). Для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой но математике, но будет интересна и специалистам в области математики и ее приложений. За книгу спасибо Violent_Violet и Гостю. Скачать (djvu, 1,9 mb) mediafire.com |
 | Ф. Хартман Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М., Мир, 1970. — 720 с. Книга Ф.Хартмана — одного из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений — возникла на основе различных курсов, которые автор неоднократно читал студентам и аспирантам разных специальностей. Только первые ее главы включают традиционный материал. Далее следует изложение качественной теории дифференциальных уравнений, в котором особый интерес представляет круг вопросов, связанных с теоремой о поведении диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. И, наконец, остальная часть книги посвящена более специальным вопросам (асимптотическое интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д.).Упражнения (содержащие задачи различной трудности, частично с решениями) играют в этой книге особую роль. Они не только позволяют читателю проверить, как он усвоил материал, но и указывают ему возможные направления дальнейшего развития теории. Широта охвата материала, систематичность и четкость изложения делают книгу хорошим учебным пособием для студентов высших учебных заведений. Скачать (djvu,13,8 Мб) fayloobmennik.net || fileswap.com |
Несколько справочников.
 | Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с. Справочник содержит около 5200 обыкновенных дифференциальных уравнений с решениями (больше, чем любая другая книга). Особое внимание уделяется уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций. Приведены некоторые точные решения уравнений нелинейной механики и теоретической физики (которые встречаются в задачах теплопроводности, массопереноса, теории упругости, гидродинамики, теории колебаний, теории горения, теории химических реакторов и др.). В ряде разделов указаны также асимптотические решения. Кратко излагаются точные, асимптотические и приближенные методы решения уравнений и задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Описаны свойства наиболее распространенных специальных функций. Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях математики, физики, механики, теории управления и инженерных наук. Подробное оглавление и ссылка для скачивания ||скачать здесь (4,4 Мб) | |||
 | Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 416 с. Справочник содержит более 3000 дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка и их решения. Приведено много новых точных решений линейных и нелинейных уравнений. Особое внимание уделяется уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций. В целом справочник содержит в несколько раз больше уравнений с частными производными первого порядка и точных решений, чем любые другие книги. В начале каждой главы кратко описаны основные методы решения соответствующих типов дифференциальных уравнений и приведены конкретные примеры их применения. Исследуются как гладкие, так и негладкие и разрывные решения. Рассмотрены уравнения, которые встречаются в дифференциальной геометрии, нелинейной механике, газовой динамике, геометрической оптике, теории волн, теории оптимального управления, дифференциальных играх, химической технологии и других приложениях. В дополнении излагается метод обобщенного разделения переменных. Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук. Скачать (djvu, 3,4 Мб) f-bit.ru || libgen.info Подробное оглавление и ссылка для скачивания alleng.ru | |||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
 |
 | Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов. 2-е изд. / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 368 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII). Рассмотрены различные постановки задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных и основные аналитические методы их решения, проанализированы свойства полученных решений. Изложено большое число линейных и нелинейных задач, к решению которых приводит исследование математических моделей различных процессов в физике, химии, биологии, экологии и др. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам. |
 | Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. -700 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIII). Книга является тринадцатым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете». Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах. Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам. |
Книги в основном в формате djvu. Для чтения файлов данного формата скачатьWinDjView-1.0 (885Кб) или WinDjView-1.0.1-Setup.exe» (2,71 Мб) или страница с последней версией WinDjView
См. также раздел «Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др.» на alleng.ru
Он-лайн-ресурсы:
Дифференциальные равения (ОГТУ)
Дифференциальные уравнения и их системы (МГТУ им. Баумана)
http://atomas.ru/mat/difur/
Подборка литературы по дифференциальным уравнениям на eqworld.ipmnet.ru
Подборка литературы по дифференциальным уравнениям на сайте Варгина А.Н.
(ссылки на первые два ресурса помещены в наш эпиграф)
Р.S. Большая просьба к членам сообщества: если у кого-то есть ссылки на понравившиеся учебники в электронном виде, пожалуйста, отметьтесь в комментах. И еще, если вы занимались по каким-то из этих учебников, просьба их кратко охарактеризовать.
Ссылки на посты аналогичной тематики:
http://dis.konflib.ru/metodichki-mehanika/1012887-1-kiyasov-shurigin-differencialnie-uravneniya-osnovi-teorii-metodi-resheniya-zadach-kazan-2011-udk-5179-pechataetsya-resheniyu.php
http://diary.ru/~eek/p48302307_literatura-po-differencialnym-uravneniyam.htm