Класс арккосинус и решение уравнений

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb\); \(cosx=0\), то \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).

\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_=\pi\) достигается в точке x =-1
Минимальное значение \(y_=0\) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).

По построению: $$ \begin \angle DA’O=\angle BAO=\angle CAO=90^<\circ>\\ OD=OB=OC=1\\ OA’=OA=a \end \Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) \begin \Delta DA’O=\Delta BAO=\Delta CAO\Rightarrow\\ \Rightarrow \angle DOC=\angle A’OA-\alpha+\alpha=\angle A’OA=180^<\circ>=\pi\\ -arccosa+\pi=arccos(-a) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\)	б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\)
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\)	г) \(cos x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\)	e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arccosx\)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin x^2-3x+3=cos0=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=3\\ t_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arccosx=3\\ x=cos3 \end Ответ: cos3

\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(\pi^2)-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3\\ \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi3\\ arccosx_2=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\\ x_2=cos\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\pm\frac12\right\>\)

Алгебра

План урока:

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Урок математики по теме «Арккосинус. Решение уравнений cosx = a». Комплект методических материалов

Презентация к уроку

Из опыта работы предлагается разработка методического комплекта для проведения серии уроков. Благодаря возможностям Microsoft PowerPoint с настройками анимации выполнена визуализация алгоритма нахождения арккосинуса, автоматизация процесса обучения. Статистика решений элементарных тригонометрических свидетельствует о формализме в усвоении знаний, отсутствии устойчивых навыков и понимания изучаемого материала. Подробность изложения (в рамках возможного времени), насыщение серии уроков наглядностью, внимание к деталям, разнообразное многократное повторение при изучении первой из обратных тригонометрических функций способствуют скоростному изучению арксинуса, арктангенса, арккотангенса. Актуализация базовых знаний, повторение алгоритмов по видеоряду, ведение индивидуального конспекта, продолжение работы с памяткой, чередование групповой, индивидуальной, фронтальной работы и др. позволяют эффективно использовать время урока для формирования понятия арккосинуса числа, умений и навыков решения уравнения cosx=a.

1) конспекты трех уроков,

2) печатная основа конспекта – Приложение 1,

3) памятка по тригонометрии (для определения места изучаемого материала) — Приложение 2,

4) презентация Microsoft PowerPoint,

5) сценарий максимально возможного применения презентации на уроке №1 — Приложение 3.

Автор успешно применил комплект в 2012/2013 и 2013/2014 учебных годах. На следующем уроке — самостоятельная работа по теме (Л.А. Александрова, С-18, 4 варианта. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы 10кл.,11кл.).

Учитель может сделать для каждого класса особую выборку из презентации с помощью заметок под слайдами. Темный фон, крупный шрифт, отсутствие излишеств в оформлении слайдов – результат многолетней борьбы за зрение учащихся.

Арккосинус. Решение уравнений cosx=a.

Алгебра и начала анализа (УМК А.Г. Мордковича, базовый уровень, 10 класс).

Цель: повышение культуры и результативности решения элементарных тригонометрических уравнений, создание условий для ускоренного прохождения понятий арксинус, арктангенс, арккотангенс. Пропедевтика, введение, закрепление понятия арккосинуса числа. Формирование умений и устойчивых навыков учащихся находить арккосинус числа, осмысленно выбирать алгоритм решения уравнений cosx=a в зависимости от значений а, анализировать практические ситуации применения арккосинуса числа для решения уравнений cosx=a.

Урок №1

Пропедевтика и формирование понятия арккосинуса числа. Актуализация опорных знаний и умений: определения косинуса, повторение точных значений косинуса, промежутков монотонности функции у=cosx, пошагового решения уравнения cosx=a для точных значений косинуса. Выделение известных случаев решений уравнения cosx=a и постановка задачи для других а. Определение арккосинуса числа и первичное закрепление. Чередование индивидуальной и групповой работы; работы на доске, в тетрадях и индивидуальном конспекте на печатной основе с медиаподдержкой.

Тип урока: урок изучения нового.

Повторение.

Актуализация знаний. Слайды №2-8, повторение промежутков монотонности косинуса, пошагового алгоритма решения уравнения для точных значений косинуса.

Проверка домашнего задания с устными объяснениями:

№6.16в) Решите уравнение cost=. Повторение определения косинуса; указать все координаты на числовой окружности, абсциссы которых равны . Ускоренная проверка– слайд 7.

№6.40а) Решите неравенство cost>0.-индивидуальный опрос ученика у доски.

№3.3 Для заданной функции найдите обратную; постройте график заданной функции и обратной функции: а) у= , х 0;

б) у=.-индивидуальный опрос ученика; дополнительные вопросы: признак обратимости функции, алгоритм получения обратной функции; D(f) и E(f) обратной функции, свойство графика обратной функции.

Повторение. Работа в индивидуальном конспекте на печатной основе — п.1,2,3., устный вывод визуализируется слайдом 9.

Постановка проблемы.

В треугольнике прилежащий катет равен 1, гипотенуза 3, тогда соsa=. Угол с величиной а существует, мы знаем его косинус, но чему равно а? Величина острого угла ?- один из корней уравнения cosx= . Выясним, как решать такое уравнение.

Решение проблемы. Слайды №10,11,12,13.

Запись словесной формулировки определения арккосинуса в конспекте (п.4).

Визуализация определения на математическом языке — слайд №14.

Дуга арккосинуса. “Arcus в переводе с латинского значит дуга (сравнить со словарем)”. [1, 1 часть, с.88]- слайд 15.

Закрепление нового понятия. Обсуждение характера изменения и множества значений выражения arccosa — слайды 16- 17.

Индивидуальный опрос у доски: 15.3б) Вычислить arccos — arccos, дополнительный вопрос: сравнить cos1 и cos2.

15.10 г) Имеет ли смысл выражение arcos(-)? Дополнительный вопрос: сравнить arccos0 и arccos1. Задания: доказать, что arccos 0,5= ,

вычислить:1)cos(arccos); 2) cos(arccos0);3)cos(arcos(-));4)cos(arccos?)

для тех, кто успевает работать быстрее: с поддержкой для ускоренной самопроверки и совместного вывода слайды 18, 19, 20.

Итог урока: действие нахождения обратно ; действие нахождения arccos обратно нахождению cos

1.05.2014