Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 9 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
30.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка
Особое место среди ДУЧП занимают так называемые квазилинейные уравнения 2-го порядка. Запишем такое уравнение относительно функции двух переменных в общем виде:
.
Эти уравнения часто встречаются в математических моделях физических процессов и теория их решения наиболее хорошо разработана.
Дискриминантом данного уравнения называется функция 
.
Говорят, что данное уравнение принадлежит
— к эллиптическому типу в области, где D 0
— к параболическому типу в области, где D=0.
Оказывается, подходящей заменой переменных квазилинейное уравнение параболического типа можно привести к каноническому виду:
,
уравнение гиперболического типа – к каноническому виду
уравнение параболического типа – к каноническому виду
С последними уравнениями мы познакомимся как с уравнением колебаний струны (волновым уравнением) и уравнением теплопроводности.
30.3. Уравнение свободных колебаний струны, закрепленной на концах
(1)
с краевыми условиями
(2)
и начальными условиями
(3)
(4)
описывает закон колебаний однородной тонкой нерастяжимой струны длины l, закрепленной на концах в точках х=0 и х=l (условия (2)), с начальной формой j(х) (условие (3)) и начальной скоростью y(х) (условие (4)), в поле действия внешней силы (например, силы тяжести, в магнитном поле и т. п.). Постоянный параметр a2 зависит от свойств струны, функция F(x;t) — от внешней силы. Если F(x;t)=0 – это значит, что внешней силы нет (или ей можно пренебречь) и колебания называются свободными.
Отметим, что колебания рассматриваются малые (отклонение u точек струны от положения равновесия – оси Ох – мало), плоские (колебания происходят только в плоскости хOu), поперечные (каждая точка струны движется строго перпендикулярно положению равновесия).
Уравнение свободных колебаний струны, закрепленной на концах:
имеет решение вида
,
где коэффициенты Аn и Вn находят из начальных условий.
Именно, подставляя в u(x;t) t=0 получаем
,
то есть Аn – коэффициенты Фурье для функции j(х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.
Далее, дифференцируя u(х;t) по t и подставляя t=0 получаем:
,
то есть 
– коэффициенты Фурье для функции y(х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.
Напомним, что коэффициенты Фурье в общем случае вычисляются при помощи интегралов (см. тему «Ряд Фурье», с.38), а иногда их можно подобрать (если раскладываемая функция представляет собой сумму синусов кратных дуг).
Решение: Имеет место задача свободных колебаний струны, закрепленной на концах (в точках 0 и 2). Здесь а2=9, т. е. а=3; l=2. Поэтому решение имеет вид:
.
,
Используя первое начальное условие, получаем:
.
Можно подобрать коэффициенты An так, чтобы равенство выполнялось тождественно:
при n=3, следовательно, 
.
Чтобы использовать второе начальное условие, продифференцируем u(x;t) по t:
Таким образом, получаем условие
,
и подбираем коэффициенты:
Итак, имеется всего два ненулевых слагаемых: при n=2 (
) и при n=3 (
). Окончательно, получаем решение:
.
Замечание. Часто начальная скорость точек струны y(х)=0 (то есть рассматриваются колебания струны, которую в начальный момент времени оттянули и отпустили без рывка), тогда, очевидно, Вn=0.
Решение: Имеем задачу свободных колебаний струны, закрепленной на концах, где a=1, l=3. Решение имеет вид:
Используем первое начальное условие:
.
Подобрать коэффициенты An здесь нельзя, будем их вычислять как коэффициенты Фурье разложения функции x(3-x) на интервале (0;3) по синусам:
.
Второе начальное условие тривиально, поэтому Bn=0.
Таким образом, получаем ответ:
.
; 
; 
; 
;
; 
30.4. Уравнение свободных колебаний бесконечной струны.
Уравнение свободных колебаний бесконечной струны:
(без краевых условий)
решают при помощи формулы Даламбера:
Решение: Имеем задачу свободных колебаний бесконечной струны (без краевых условий). Применяем формулу Даламбера:
=
.
; 
; 
;
30.5. Уравнение теплопроводности.
Уравнение вида 
с краевыми условиями
и начальным условием
описывает закон распределения температуры в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается нулевая температура. Функция F(x;t) характеризует существующие внутри стрежня точки (источники) выделения или поглощения тепла. Если таковые отсутствуют, F(x;t)=0 и уравнение называется однородным.
Решение однородного уравнения теплопроводности:
где коэффициенты Cn находятся из начального условия, так же как при решении уравнения свободных колебаний струны, закрепленной на концах.