Классификация точек покоя по корням характеристического уравнения

34 Классификация точек покоя

Классификация точек покоя.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

Рекомендуемые файлы

2) Корни характеристического уравнения действительны и

или .

В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней положителен.

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны .

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом.

Если полученного решения системы исключить параметр t, то полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY.

Возможны следующие случаи:

b b

Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.

5) Корни характеристического уравнения комплексные .

Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

Такая точка покоя называется центром.

Если p 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.

Простейшие типы точек покоя

Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами причем

Точка , в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).

Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение

и найти его корни и .

Возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения (2) вещественные и разные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б) 0,\,\lambda_2>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в) 0,\,\lambda_2 . Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).

2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

q\ne0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

q\ne0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя устойчива (центр, рис. 37).

3. Корни кратные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б) 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGgAAAATBAMAAACO11WQAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQoFewKTnMRAg0CJxkY7DLSgAAAFdSURBVCjPY2AgC/D4YBc/cgC7uDiYjDPAKsn6GKtwWWg6iJoXgFWW8xU2Ue5kBrMNQJrrJXZ3+G2AM6dOgLF4HzDwXQDSzG+wa7JDeIrRtQDKYnNgYFkApDleYdfUl4BgM4YIQBh8QE0PwCEBM4aBXRAMGiAh8RzZLyGQ4NoH02QHdCQnWIhZCQwghjC/ZWBolIDrCgPrkgNqeggyPi2BYdISLIGbxsAZGAYPAg4tAyRNZqWPGTpVMPSwp8cZ8AZwBaBqgvqJ+SHjUwYGFQzn2RnUBfAu4IWFBjdYDyj0uBJAkgxpDVBNSAHB/JiB7QUwEqE2cUdBAoIVGE8BYO/qGTBgOM8ugIEJmJCsGqCBBw1yxocMcgIgfQzzHDA1AZ3MmcLA7gFR6iIAEzc7kwx0EcgcAUxNIH9tZGhpACeLUkSK4jaGhyemJkiIOQoG4M5UJWnOWLPHu3cXGKgEAGUFSl2PiR1zAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).

Пример 1. Определить характер точки покоя (0,0) системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение

\lambda_2=3-\sqrt<2>>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> вещественные, разные, положительные. Следовательно, точка покоя — неустойчивый узел.

Связь между типами точек покоя и значениями корней характеристического уравнения (2) можно представить наглядно. Для этого введем обозначения . Тогда характеристическое уравнение запишется в виде .

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами и и отметим на ней области, соответствующие различным типам покоя (рис. 42). Из приведенной выше классификации следует, что условиями устойчивости точки покоя являются . Они выполняются при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADUAAAARBAMAAACP9fljAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwEURoSHbgmbwMZHLPgtLAAAAy0lEQVQY02NgwA+YF+CWYzmKKcakAKFjjmBKzd4GMczxTAC6XKQCx1QQzTpZxgEswLUVLufDwHAaRHMX6EAtVPSCySUyMIiBaDMDRpiFKkJQxkEGBhkQXc7AdNIAKhYCkeSCyjEnA+kCmGEhGWBnguSAvmAHiutMhrvCPAkmtwBkHQMD43FUOWaomeUgdXALo8FmMkxkYMiEWIewMEQC7j+g2zkmCgJBzmRUP+goMB1iYGA7AwYnwH53gtnKMaOtASUQuVwR7IhWBgYAYb0rVmdybtQAAAAASUVORK5CYII=» /> и 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMA0GginYExwEIB4FEh8BGxVXXvTAAAAL9JREFUKM+1kdsOAyEIREURvC///7WV3U1bL0nbh/pgonJkhjHmbysGir/U24SY6Pv6IKFDte3eyJf18oC+NbH73xjdbKCy7sLXMftz0TsSBsDJBYj6biBVBBLk9y7IYbDwAhpAMaWimYbmkHMcAZMU8FU9Mq9eHKa8doiCJ7sFYAPQOSonfi1n+5QUbwDuRLquKRIaTRu+cuhqYrJK5SmJYxyryUKatNolwIPpQ3BdQ7KY7qBLmdS4Xf7OZpX9AFDMBpP54cUeAAAAAElFTkSuQmCC» />, т. е. для точек, которые находятся в первой четверти.

Если и комплексные, то точка покоя будет типа фокуса. Этому условию удовлетворяют точки, которые лежат между ветвями параболы и не принадлежат оси .

Точки полуоси , для которых 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADUAAAARBAMAAACP9fljAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwEURoSHbgmbwMZHLPgtLAAAAy0lEQVQY02NgwA+YF+CWYzmKKcakAKFjjmBKzd4GMczxTAC6XKQCx1QQzTpZxgEswLUVLufDwHAaRHMX6EAtVPSCySUyMIiBaDMDRpiFKkJQxkEGBhkQXc7AdNIAKhYCkeSCyjEnA+kCmGEhGWBnguSAvmAHiutMhrvCPAkmtwBkHQMD43FUOWaomeUgdXALo8FmMkxkYMiEWIewMEQC7j+g2zkmCgJBzmRUP+goMB1iYGA7AwYnwH53gtnKMaOtASUQuVwR7IhWBgYAYb0rVmdybtQAAAAASUVORK5CYII=» />, соответствуют точкам покоя типа центра.

Точки, расположенные вне параболы 4\Delta)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, соответствуют точкам покоя типа узла.

Область плоскости , где , содержит точки покоя типа седла.

Исключая особые случаи (прохождение через начало координат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый (рис.42). Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус. Случай равных корней соответствует границе между узлами и фокусами, т.е. параболе .

Пример 2. Исследовать уравнение упругих колебаний с учетом трения и сопротивления среды (при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcGe2BFbQSGBMfCxcU2qjNsAAADDSURBVBjTY2AgDYgvxCHB5WyyALtM9wW2HUhcDgs4006A8TGyyprjAlCWiwCjCpDNekkzACLQrA6RYnwkwKgHZK42DVFghkq5CcBlAhi4NjOwPSuGGtMJlmJ/xMCgV8DA9JSB6yXc8kg3IMEKkelTAOo2gMv4Iuypm8DA+DoArgVkGiPQbdpgGdY3DDAXQP3DAPKPiAFjkRMbiqsZ1iWwPweGkY+RafYxEL8IJsHA5jklAeSShQysIHtYEaHD2JbKwAAA/gYrl5lLD9QAAAAASUVORK5CYII=» />)

Решение. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему системе уравнений

18. Лекции 23-24. Устойчивость движения, классификация точек покоя, теоремы Ляпунова

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений, запишем ее уравнения в векторной форме

Или в координатной форме

.

В качестве независимой переменной выбрано время t, поэтому система дифференциальных уравнений является моделью некоторого процесса – изменения переменной во времени или Движения материальной точки, Занимающей в фазовом пространстве текущее положение и изменяющей это положение с изменением времени t. Таким образом, Движение – это частное решение системы дифференциальных уравнений.

Зададим некоторые начальные условия . Пусть выполняются условия теоремы Коши (непрерывны в рассматриваемой области). Тогда через любую точку расширенного фазового пространства из рассматриваемой области проходит единственная интегральная кривая – график частного решения . Назовем движение, «начинающееся» в точке Невозмущенным движением . Если «возмутить» – несколько изменить начальные условия в фазовом пространстве, выбрать их , то изменится и движение. Назовем движение, «начинающееся» в точке , Возмущенным движением . Если возмущение начальных условий невелико, то в некоторой окрестности начальной точки траектории – движения тоже близки.

Справедлива Теорема о непрерывности решения по начальным условиям. Пусть выполнены условия теоремы Коши. Тогда

Отсюда видно, что близость возмущенного и невозмущенного движений гарантируется В некоторой временной окрестности, размер которой зависит от размеров трубки – окрестности («допуска») в фазовом пространстве координат.

Однако в практике встречаются процессы, для которых надо гарантировать близость возмущенного и невозмущенного движений «вообще», при любом времени t > T (важно, чтобы существовало это некоторое T).

Например, запустив спутник на орбиту, полезно быть уверенным, что он не свалится нам на голову через 10 или 100 лет, а будет «вечно» находиться на орбите.

В наше время приходится сталкиваться с экологическими проблемами. Кто же знал, конструируя двигатель внутреннего сгорания, что через некоторое время использование этого открытия поставит под угрозу существование жизни на Земле?

Рассматривая близость возмущенного и невозмущенного движений «вообще», при любом времени t > T, мы приходим к определению Устойчивости движения по Ляпунову.

Движение называется Устойчивым по Ляпунову, Если

Смысл определения в том, что для любого размера окрестности «допуска» (по фазовым координатам) невозмущенного движения существует размер окрестности, в которой можно «возмутить» начальные условия. Причем это возмущение приведет к тому, что возмущенное движение после некоторого момента времени Т войдет в окрестность «допуска» и останется в этой окрестности при любом t > T.

Если движение устойчиво по Ляпунову и , то такое движение называется Асимптотически устойчивым.

Если движение асимптотически устойчиво, то возмущенное движение с ростом времени стремится к невозмущенному.

Движение называется Неустойчивым по Ляпунову, если

Смысл этого определения в том, что как бы ни было мало возмущение начальных условий, все равно со временем хотя бы по одной координате возмущенное движение выйдет из некоторой окрестности «допуска» невозмущенного движения.

Теорема. Задача об устойчивости движения может быть сведена к задаче об устойчивости тривиального (тождественно равного нулю) решения системы.

Доказательство. Обозначим . Тогда

.

При Имеем , поэтому задача об устойчивости движения для исходной системы уравнений может быть заменена эквивалентной ей задачей об устойчивости тривиального решения для системы

.

Поэтому обычно заранее делают указанную замену и исследуют задачу об устойчивости тривиального решения.

Таким образом, задача об устойчивости движения может быть сведена для автономной системы к исследованию характера ее точки покоя (при рассмотрении свойств автономных систем было показано: если — точка покоя, то — решение системы).

Устойчивость по первому приближению.

Будем рассматривать автономную систему

И ее «систему первого приближения»

Заметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Пусть 1) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по ,

2) .

Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.

Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть, то тривиальное решение неустойчиво.

Пример.

Система первого приближения

Тривиальное решение неустойчиво.

Пример.

Система первого приближения

Тривиальное решение устойчиво.

Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя, то зная поведение решений в окрестности различных точек покоя, мы выясним тем самым поведение траекторий систем.

Классификация точек покоя для автономных систем второго и третьего порядков.

Система второго порядка.

Запишем уравнение автономной системы второго порядка

. Точка покоя .

1. Корни характеристического уравнения действительны..

А) .

При . Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.

Заметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось , второе слагаемое – проекция на ось .

Такая точка покоя называется Устойчивый узел.

Б) .