Классификация уравнений поверхностей первого порядка

Алгебраические уравнения поверхностей

Напомним, что многочленом степени одной переменной называется выражение вида

где — действительные числа (коэффициенты многочлена), — старший коэффициент, — свободный член. Степень многочлена обозначается .

Многочленом трех переменных называется выражение вида

называется степенью многочлена трёх переменных.

Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида

где — многочлен трех переменных .

Уравнение вида (4.11) называется алгебраическим уравнением с тремя неизвестными. Степенью уравнения (4.11) называется степень многочлена . Одна и та же поверхность может быть задана уравнением вида (4.11) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической поверхности называется наименьшая из степеней этих многочленов.

Всякую неалгебраическую поверхность называют трансцендентной.

В примере 4.1,а,б,в,г — поверхности алгебраические: а — первого порядка. б,в,г — второго порядка. Примером трансцендентной поверхности служит цилиндрическая поверхность (см. рисунок), образующие которой, параллельные оси , пересекают координатную плоскость в точках синусоиды . Эту линию нельзя задать уравнением вида (4.11).

Теорема (4.1) об инвариантности порядка алгебраической поверхности

Если в некоторой аффинной системе координат в пространстве поверхность задана уравнением (4.11), то и в любой другой аффинной системе координат эта поверхность задается уравнением того же вида (4.11) и той же степени. Другими словами, порядок алгебраической поверхности является инвариантом (остается неизменным в любой аффинной системе координат).

Теорема доказывается аналогично теореме 3.1.

В аналитической геометрии в пространстве изучаются:

– алгебраические поверхности первого порядка , описываемые алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными

– алгебраические поверхности второго порядка , описываемые алгебраическим уравнением второй степени с тремя неизвестными

1. Теорема 4.1 фактически выражает свойство многочленов: при линейной невырожденной замене переменных

где , степень многочлена не изменяется.

2. Алгебраическое уравнение (4.11) может не иметь действительных решений. Например, в пространстве нет точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Однако в области комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, любое алгебраическое уравнение имеет решения. Поэтому каждое алгебраическое уравнение (4.11) вида , где задает некоторую алгебраическую поверхность в трехмерном комплексном пространстве (см. пункт 2 замечаний 2.9). Если все точки этой поверхности вещественные (действительные), т.е. а то поверхность называют вещественной (действительной). В противном случае поверхность называют мнимой.

3. Алгебраическими неравенствами с тремя неизвестными называются неравенства вида

где — многочлен трех переменных . Степенью алгебраического неравенства называется степень многочлена .

4. Многочлены первой степени и алгебраические уравнения (неравенства) первой степени называются линейными.

5. Многочлен второй степени

называется также квадратичной функцией трех переменных; многочлен

называется квадратичной формой (квадратичной частью функции), многочлен — линейной формой (линейной частью функции), коэффициент — свободным членом. По сравнению со стандартной записью многочлена некоторые коэффициенты квадратичной функции удвоены для удобства выполнения алгебраических преобразований.

6. Квадратичную функцию (см. пункт 5) можно записать:

а) в матричном виде

где — матрица квадратичной функции; — расширенный (дополненный единицей) столбец переменных;

б) выделяя квадратичную и линейную части:

где — матрица квадратичной формы, — столбец коэффициентов линейной формы, — столбец переменных.

Матрицы и называются также матрицами малой и большой квадратичных форм квадратичной функции .

7. Многочлены второй степени и алгебраические уравнения (неравенства) второй степени называются квадратичными (квадратными).

8. Теорема 4.1, разумеется, справедлива для прямоугольных систем координат на плоскости. Напомним, что преобразования прямоугольных систем координат являются ортогональными (см. пункт 5 замечаний 2.3). Поэтому соответствующие этим преобразованиям линейные замены переменных (см. пункт 1) с ортогональной матрицей называются ортогональными (неоднородными при или однородными при ). Далее, как правило, будут рассматриваться уравнения, записанные в прямоугольной системе координат .

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

.

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

.

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

,

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

,

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

.

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

,

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

,

,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

.

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

.

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

.

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

.

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

.

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

.

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

,

.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

.

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

.

Параллельные плоскости

Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Мнимые параллельные плоскости

Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Совпадающие плоскости

Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:

.

Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка

Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

(как вычислить определитель).

I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,

Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.

.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

;

.

,

, , .

Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

.

.

Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.

.

I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .

Решаем характеристическое уравнение:

.

.

,

, .

Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

,

,

,

I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .

Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.

.

.

Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Уравнения и основные понятия

Определения.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим сферу радиуса \(r\), центр которой находится в точке \(P\) с координатами \((a, b, c)\). Сфера — множество всех точек, отстоящих от центра на одно и то же расстояние \(r\). Обозначим через \((x, y, z)\) координаты некоторой точки \(M\) и выразим через них равенство \(|\overrightarrow|=r\):
$$
\sqrt<(x-a)^<2>+(y-b)^<2>+(z-c)^<2>>=r.\label
$$
Возводя в квадрат обе части равенства, мы придадим ему более удобную форму
$$
(x-a)^<2>+(y-b)^<2>+(z-c)^<2>=r^<2>.\label
$$
Очевидно, что это равенство выполнено для всех точек сферы и только для них. Следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат. Равенство \eqref называется уравнением сферы в рассматриваемой системе координат.

Приведем пример из геометрии на плоскости. Графиком функции \(f\) называется линия \(L\), состоящая из точек, координаты которых связаны соотношением \(y=f(x)\). Если нас интересует в первую очередь линия, а не функция, то можно считать, что соотношение \(y=f(x)\) есть уравнение линии \(L\).

Вообще, под уравнением множества \(S\) в некоторой системе координат следует понимать выражение определения множества \(S\) через координаты его точек, то есть высказывание, верное для координат всех точек множества и неверное для координат точек, ему не принадлежащих.

Часто уравнению множества точек в планиметрии можно придать вид \(F(x, y)=0\), а в стереометрии — вид \(F(x,y,z)=0\), где \(F\) — функция соответственно двух или трех переменных. Уравнение сферы \eqref имеет такой вид, если мы перенесём член \(r^<2>\) в левую часть равенства.

Может случиться, что уравнение какого-либо множества удобнее записать в виде неравенства. Например, шар, ограниченный сферой с уравнением \eqref, имеет уравнение
$$
(x-a)^<2>+(y-b)^<2>+(z-c)^ <2>\leq r^<2>.\nonumber
$$
Однако напрасно было бы надеяться разделить множества на такие, которые задаются равенствами, и такие, которые задаются неравенствами. Действительно, равенство
$$
\Phi(x, y, z)=F(x,y,z)-|F(x, y , z)|=0\nonumber
$$
задает то же множество, что и неравенство \(F(x,y,z) \geq 0\).

Следует подчеркнуть зависимость уравнения от системы координат. При изменении системы координат меняются координаты точки, а потому уравнения одного и того же множества в разных системах координат, вообще говоря, различны.

Приведем несколько утверждений касательно свойств уравнений множеств.

• Если \(P_\) и \(P_\) — уравнения множеств \(S\) и \(T\), то уравнение пересечения \(S \cap T\) есть высказывание, состоящее в том, что \(P_\) и \(P_\) верны одновременно. Такое высказывание обозначается \(P_ \wedge P_\). В случае, когда \(P_\) и \(P_\) — равенства, содержащие координаты точки, \(F_(x, y, z)=0\) и \(F_(x, y, z)=0\), уравнение пересечения есть система уравнений
  $$
  F_(x, y, z)=0, F_(x, y, z)=0.\nonumber
  $$
• Если \(P_\) и \(P_\) — уравнения множеств \(S\) и \(T\), то уравнение объединения \(S \cup T\) — высказывание, состоящее в том, что из \(P_\) и \(P_\) верно хотя бы одно. Такое высказывание обозначается \(P_ \vee P_\).
• В случае, когда \(P_\) и \(P_\) — равенства, содержащие координаты точки, \(F_(x, y, z)=0\) и \(F_(x, y, z)=0\), уравнение объединения можно написать в виде
  $$
  F_(x, y, z) F_(x, y, z)=0.\nonumber
  $$
• Если \(P_\) и \(P_\) — уравнения множеств \(S\) и \(T\), и \(S\) есть подмножество \(T\), то из \(P_\) следует \(P_\).
• Множества \(S\) и \(T\) совпадают тогда и только тогда, когда их уравнения эквивалентны, то есть из \(P_\) следует \(P_\), а из \(P_\) следует \(P_\).

Проиллюстрируем два последних утверждения. Уравнения \eqref и \eqref эквивалентны. Переходя от \eqref к \eqref, мы можем не ставить двойного знака перед корнем, так как \(r \geq 0\). Наоборот, уравнение
$$
z-c=\sqrt-(x-a)^<2>-(y-b)^<2>>\label
$$
не эквивалентно уравнению \eqref. Действительно, хотя возведением в квадрат можно получить \eqref из \eqref, при извлечении корня из \eqref мы получаем
$$
z-c=\pm\sqrt-(x-a)^<2>-(y-b)^<2>>.\nonumber
$$
Это означает, что равенство \eqref выполнено не только для точек, удовлетворяющих \eqref, но и для точек, удовлетворяющих уравнению
$$
z-c=-\sqrt-(x-a)^<2>-(y-b)^<2>>.\label
$$
Уравнение \eqref следует также и из \eqref. Таким образом, уравнения \eqref и \eqref определяют части сферы — “верхнюю” и “нижнюю” полусферы.

Иногда два последних утверждения считают определениями отношений “следует” и “эквивалентно” для уравнений.

Алгебраические линии и поверхности.

Определения алгебраической поверхности и линии.

Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида
$$
A_<1>x^>y^>z^>+…+A_x^>y^>z^>=0,\label
$$
где все показатели степени — целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм \(k_<1>+l_<1>+m_<1>, …, k_+l_+m_\) называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической поверхности.

Это определение означает, в частности, что сфера, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид \eqref, является алгебраической поверхностью второго порядка.

Алгебраической линией на плоскости называется множество точек плоскости, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида
$$
A_<1>x^>y^>+…+A_x^>y^>=0,\label
$$
где все показатели степени — целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм \(k_<1>+l_<1>, …, k_+l_\) называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической линии.

Совсем не обязательно, что алгебраическая поверхность является поверхностью в привычном нам смысле. Например, уравнению \(x^<2>+y^<2>+z^<2>+1=0\) не удовлетворяют координаты ни одной точки, уравнение
$$
(x^<2>+y^<2>+z^<2>)[(x-1)^<2>+(y-1)^<2>+(z-1)^<2>]=0\nonumber
$$
определяет две точки, уравнение \(y^<2>+z^<2>=0\) определяет линию (ось абсцисс). Такое же замечание надо сделать и об алгебраических линиях.

Теоремы о порядке алгебраических линий и поверхностях в различных декартовых системах координат.

Приведенные определения имеют существенный недостаток. Именно, не известно, какой вид имеет уравнение поверхности в какой-нибудь другой декартовой системе координат. Если же уравнение и имеет в другой системе координат уравнение вида \eqref, то порядок какого из этих уравнений мы будем называть порядком поверхности? Те же вопросы возникают и об алгебраических линиях. Ответом служат следующие теоремы, которые имеют одинаковые доказательства (будем доказывать вторую теорему).

Алгебраическая поверхность порядка \(p\) в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида \eqref порядка \(p\).

Алгебраическая линия порядка \(p\) на плоскости в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида \eqref порядка \(p\).

Для доказательства перейдем от системы координат \(O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>\), о которой шла речь в определении, к произвольной новой системе координат \(O’, \boldsymbol’_<1>, \boldsymbol’_<2>\). Старые координаты \(x, y\) связаны с новыми координатами \(x’, y’\) формулами:
$$
x=a_<1>^<1>x’+a_<2>^<1>y’+a_<0>^<1>,\\ y=a_<1>^<2>x’+a_<2>^<2>y’+a_<0>^<2>.\label
$$

Чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, подставим в ее уравнение \(F(x, y)=0\) выражения \(x\) и \(y\) через \(x’\) и \(y’\). При умножении многочленов их степени складываются. Поэтому \((a_<1>^<1>x’+a_<2>^<1>y’+a_<0>^<1>)^\) — многочлен степени \(k\) относительно \(x’\) и \(y’\), а \((a_<1>^<2>x’+a_<2>^<2>y’+a_<0>^<2>)^\) — многочлен степени \(l\). Таким образом, каждый одночлен вида \(Ax^y^\) есть многочлен степени \(k+l\) относительно \(x’\) и \(y’\). Степень суммы многочленов не выше максимальной из степеней слагаемых. (Она окажется ниже, если члены с максимальными степенями уничтожатся.)

Итак, мы доказали пока, что алгебраическая линия в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением \(G(x’, y’)=0\) вида \eqref, причем степень многочлена \(G(x’, y’)\) не больше степени многочлена \(F(x, y)\), то есть степень уравнения не повышается. Нам осталось доказать, что степень уравнения не может и понизиться, а потому не меняется при переходе к другой системе координат.

Поэтому, если мы подставим в \(G(x’, y’)\) выражения \(x’\) и \(y’\) через \(x\) и \(y\), полученные решением уравнений \eqref, мы получим многочлен \(F(x, y)\). Если бы степень \(G\) была меньше степени \(F\), это означало бы, что при переходе от системы координат \(O’, \boldsymbol’_<1>, \boldsymbol’_<2>, \boldsymbol’_<3>\), к системе \(O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>\) степень уравнения повысилась, чего, как мы видели, быть не может.

Понятие инварианта и цель курса аналитической геометрии.

Порядок алгебраической линии — первый встретившийся нам пример инварианта. Вообще, инвариантом называют всякую величину, не меняющуюся при изменении системы координат. Только инвариантные комбинации величин (коэффициентов, показателей и так далее), входящих в уравнение линии или поверхности, характеризуют ее геометрические свойства, не зависящие от ее расположения относительно системы координат. Какой геометрический смысл имеет порядок линии, мы увидим в конце главы.

Свойство неизменности порядка не относится к различным уравнениям, которые линия или поверхность могут иметь в одной и той же системе координат. Хотя такие уравнения и эквивалентны, среди них могут быть уравнения различных степеней и даже не получаемые приравниванием многочлена нулю. Действительно, следующие три уравнения задают окружность радиуса 1 в декартовой прямоугольной системе координат:
$$
\sqrt+y^<2>>=1,\ x^<2>+y^<2>-1=0,\ (x^<2>+y^<2>-1)^<2>=0.\nonumber
$$

Принято считать, что эквивалентные уравнения вида \eqref, имеющие разные степени, задают разные алгебраические линии (хотя соответствующие множества точек и совпадают). Например, говорят, что последнее из приведенных выше уравнений задает “сдвоенную окружность”.

Теперь мы можем указать основной предмет курса аналитической геометрии. Это — исследование линий и поверхностей первого и второго порядка, которые доступны для изучения средствами элементарной алгебры.

Однако перед этим полезно рассмотреть некоторые более общие уравнения. Мы будем говорить о линиях и поверхностях. Формулирование их общих определений не входит в нашу задачу. Читатель, который любит, чтобы все было точно определено, может под ними понимать соответственно алгебраическую линию и поверхность, однако все результаты имеют место и в более общем случае.

Уравнения, не содержащие одной из координат.

Рассмотрим частный случай уравнения поверхности \(F(x,y,z)=0\), когда левая часть уравнения не зависит от одной из переменных, например, от \(z\), и уравнение имеет вид \(F(x, y)=0\). Пусть точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) лежит на поверхности. Тогда все точки с координатами \(x_<0>, y_<0>, z\) при любых \(z\) также лежат на поверхности. Легко заметить, что все точки с координатами такого вида заполняют прямую, проходящую через \(M_<0>\) в направлении вектора \(\boldsymbol_<3>\). Таким образом, вместе со всякой точкой \(M_0\) на поверхности лежит прямая, проходящая через \(M_0\) в направлении вектора \(\boldsymbol_<3>\).

Поверхность, которая состоит из прямых линий, параллельных заданному направлению, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром, а прямые линии — ее образующими (рис. 5.1). Линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляющей.

Рис. 5.1

Таким образом, мы показали, что уравнение, не содержащее одной из координат, определяет цилиндр с образующими, параллельными соответствующей координатной оси.

В качестве примера рекомендуем читателю нарисовать поверхность, заданную уравнением \(x^<2>+y^<2>=r^<2>\) в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве. Эта поверхность — прямой круговой цилиндр. Еще один вопрос, над которым стоит подумать: как выглядят множества, уравнения которых не содержат двух из трех координат, то есть имеют, например, вид \(F(x)=0\)?

Однородные уравнения. Конусы.

Пусть для каждой тройки чисел \((x, y, z)\) из области определения функции \(F(x,y,z)\) и для каждого числа \(\lambda\) тройка чисел \((\lambda x, \lambda y, \lambda z)\) также принадлежит области определения. Кроме того, пусть \(F(\lambda x, \lambda y, \lambda z)=\lambda^ F(x,y,z)\), где \(s\) — натуральное число. Тогда \(F\) называется однородной функцией степени \(s\).

Рассмотрим поверхность, определяемую в некоторой декартовой системе координат уравнением \(F(x,y,z)=0\), где \(F\) — однородная функция. Если точка \(M\) с координатами \((x, y, z)\) принадлежит поверхности, то при любом \(\lambda\) точка \(P(\lambda x, \lambda y, \lambda z)\) также принадлежит поверхности. Радиус-векторы точек \(M\) и \(P\) коллинеарны, и потому точка \(P\) лежит на прямой \(OM\) (рис. 5.2).

Поверхность, которая состоит из прямых линий, проходящих через фиксированную точку, называется конической поверхностъю или конусом. Прямые линии называются ее образующими, а точка — вершиной конуса (рис. 5.2). Линию, лежащую на поверхности, не проходящую через вершину и пересекающую все образующие, называют направляющей.

Рис. 5.2

Мы доказали, что уравнение \(F(x,y,z)=0\), где \(F\) — однородная функция, определяет конус с вершиной в начале координат.