Кмнк применяется для системы одновременных уравнений

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Косвенный метод наименьших квадратов

В системе одновременных уравнений каждое уравнение не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, поэтому оценки неизвестных коэффициентов данных уравнений нельзя определить с помощью классического метода наименьших квадратов, т. к. нарушаются три основных условия применения этого метода:

а) между переменными системы уравнений существует одновременная зависимость, т. е. в первом уравнении системы y₁ является функцией от y₂, а во втором уравнении уже y₂ является функцией от y₁;

б) наличие проблема мультиколлинеарности, т.е. во втором уравнении системы y₂ зависит от x₁, а в других уравнениях обе переменные являются факторными;

в) случайные ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными.

Следовательно, если неизвестные коэффициенты системы одновременных уравнений оценивать с помощью классического метода наименьших квадратов, то в результате мы получим смещённые и несостоятельные оценки.

Косвенный метод наименьших квадратов используется для получения оценок неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещённости и состоятельности.

Косвенный метод наименьших квадратов применяется только в том случае, если структурная форма системы одновременных уравнений является точно идентифицированной.

Алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в три этапа:

1. на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма, все параметры которой выражены через структурные коэффициенты;
2. приведённые коэффициенты каждого уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов;
3. на основе оценок приведённых коэффициентов системы одновременных уравнений определяются оценки структурных коэффициентов через приведённые уравнения.

Рассмотрим применение косвенного метода наименьших квадратов на примере структурной формы модели спроса и предложения:

Было доказано, что структурная форма модели спроса и предложения является точно идентифицированной, поэтому для определения оценок неизвестных параметров данной модели можно применить косвенный метод наименьших квадратов.

1) запишем приведённую форму модели спроса и предложения:

2) определим оценки коэффициентов приведённой формы модели спроса и предложения с помощью обычного метода наименьших квадратов. Тогда система нормальных уравнений для определения коэффициентов первого уравнения приведённой формы модели будет иметь вид:

Система нормальных уравнений для определения коэффициентов второго уравнения приведённой формы модели записывается аналогично. Решением данных систем нормальных уравнений будут численные оценки приведённых коэффициентов A₁,A₂,A₃ и B₁,B₂,B₃;

Для определения по оценкам приведённых коэффициентов получить оценки структурных коэффициентов первого уравнения, необходимо из второго приведённого уравнения выразить переменную I_t и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели. Для определения оценок структурных коэффициентов второго уравнения, необходимо из второго приведённого уравнения выразить переменную P_t–1 и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели.

Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Оценивание коэффициентов системы эконометрических уравнений напрямую связано с ее идентифицируемостью. В простейших случаях применяются косвенный и двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) используется для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой системы уравнений.

Алгоритм применения КМНК состоит из следующих этапов:

1) структурная модель преобразуется в приведенную форму модели,

2) для каждого уравнения приведенной формы обычным МНК (метод множественной линейной регрессии) оцениваются коэффициенты c_ij,

3) коэффициенты приведенной модели преобразуются в коэффициенты структурной модели, что возможно в силу идентифицируемости модели.

Двухшаговый МНК реализуется в два этапа, на каждом из которых решается самостоятельная задача. Первый этап связан с получением теоретических значений эндогенных переменных, содержащихся в правой части структурных уравнений. На втором этапе эти значения берутся как фактические, и затем оцениваются коэффициенты конкретных уравнений. В этой схеме МНК используется два раза. В обоих случаях применяются формулы, связанные с линейной множественной регрессией.

1. В чем состоит различие между структурной и приведенной формами модели?

2. Какие переменные называются эндогенными? Экзогенными?

3. Какая модель считается неидентифицируемой? Сверхидентифицируемой?

4. Опишите алгоритм применения косвенного метода наименьших квадратов.

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А.. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 1997.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М, 1997.

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998.

4. Эконометрика. Учебное пособие /И.И. Елисеева. С.В. Курышева, Д.М. Гордиенко и др. – М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Геращенко И.П. Эконометрика. Практикум. Электронный учебник. – ИПП., 2004.

6. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе (курс лекций). – М. Диалог МГУ, 1999.

7. Сайт «Прикладная эконометрика» МГУ http://crow.academy.ru/econometrics/.

8. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б.. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 1991.

9. Теория статистики. // под ред. Р.А.Шмойловой. – М: Финансы и статистика. – 2002.

Дата добавления: 2015-04-26 ; просмотров: 1 | Нарушение авторских прав