Дифференциальные уравнения теплообмена
В общем случае теплообмен определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими явлениями. Поэтому математическое описание задач теплообмена включает в себя дифференциальные уравнения:
а также условий однозначности, конкретизирующих ту или иную задачу.
Дифференциальное уравнение температурного поля движущейся жидкости – уравнение энергии(1.12) – приведено в разделе 1.
Уравнение теплоотдачи. При обтекании вязкой жидкостью твердой поверхности скорость жидкости на ней равна нулю. Это условие «прилипания» вязкой жидкости является следствием того, что между поверхностью твердого тела и жидкостью действуют силы молекулярного сцепления, в результате чего прилегающий к твердой стенке слой жидкости становится неподвижным и теплота через этой слой передается только теплопроводностью
.
С другой стороны, этот же тепловой поток определяется уравнением Ньютона-Рихмана
Приравняв правые части равенств, получим дифференциальное уравнение теплоотдачи
(6.1) |
из которого следует, что для определения коэффициента теплоотдачи необходимо найти температурный градиент среды вблизи поверхности. Температурный градиент может быть найден из дифференциального уравнения энергии (1.12). В уравнение (1.12) входят составляющие скорости (wx, wy , wz), которые требуют дифференциального уравнения, позволяющего найти поле скоростей, – уравнения движения.
Уравнение движения. В классической гидродинамике уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье – Стокса) для стационарного режима в проекции на ось ох имеет вид
(6.2)
где wx – проекция вектора скорости на ось ох; g=9,8 м/с 2 ; — температурный коэффициент объемного расширения; r, кг/м 3 – плотность;
р, Па – давление; v, м 2 /с – кинематическая вязкость.
Левая часть уравнения (6.2) характеризует инерционные силы потока жидкости, первое слагаемое правой части определяет подъемную силу, возникающую вследствие разности плотностей холодных и нагретых объемов жидкости, второе слагаемое – действие сил давления, третье – сил вязкого трения.
Аналогичные уравнения в проекции на оси оy, оz обозначим номерами (6.3), (6.4).
Анализ уравнений (1.12), (6.1) – (6.4) показывает, что для решения задачи конвективного теплообмена к перечисленным выше уравнениям необходимо добавить еще одно – уравнение неразрывности потока.
Уравнение неразрывности. Применение закона сохранения массы к элементарному объему несжимаемой жидкости дает дифференциальное уравнение неразрывности
. | (6.5) |
Условия однозначности включают:
· геометрические условия (форму и размеры поверхности соприкосновения с жидкостью);
· физические условия (теплопроводность, вязкость и др. свойства жидкости);
· граничные условия (распределение скоростей и температур на границах рассматриваемой системы).
Для некоторых задач теплообмена могут быть получены и более сложные системы дифференциальных уравнений и условий однозначности.
Решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена возможно при введении упрощающих предположений для некоторых случаев теплоотдачи. Однако принятые допущения требуют сопоставления аналитических решений с результатами эксперимента.
В ряде случаев система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена решается численными методами с применением ЭВМ.
В большинстве же случаев единственным способом получения уравнения для расчета коэффициента теплоотдачи является физический эксперимент с обработкой данных на основе теории подобия физических явлений.
Основы теории подобия
Теория подобия – учение о подобных явлениях. Она позволяет на основе дифференциальных уравнений и условий однозначности создать теоретическую базу для постановки опытов и обработки их результатов.
Понятие подобия впервые было введено в геометрии, но оно распространяется и на физические явления. Последние считаются подобными, если они относятся к одному и тому же классу, протекают в геометрически подобных системах и подобны все однородные физические величины, характеризующие эти явления.
Для подобных физических явлений в сходственных точках и в сходственные моменты времени любая величина φ¢ первого явления пропорциональна величине j¢¢ второго явления: φ¢=Сφ ∙ φ¢¢, где Сφ – константа подобия. Два промежутка времени τ′ и τ» называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны равенством τ′ / τ»=Сτ=const. При геометрическом подобии выполняется равенство
х′ / х»=у’ / у»=z’ / z»= 1‘ / 1» = 2‘ / 2 «=C . |
При кинематическом подобии имеет место подобие скоростей w′/w′′=Cw, при динамическом – подобие сил давления р′ /р»=СР , при тепловом – подобие температурных полей t’/t»=Ct .
Для физических явлений, определяемых множеством параметров, константы подобия этих параметров связаны между собой и не могут быть выбраны произвольно.
Уравнения, описывающие подобные физические явления, после приведения их к безразмерному виду становятся тождественными, при этом в сходственных точках все одноименные безразмерные величины будут одинаковыми.
Приведение к безразмерному виду системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена (1.12), (6.1) – (6.5) позволяет получить безразмерные комплексы, называемые числами подобия:
— число Нуссельта, характеризует интенсивность конвективного теплообмена;
, м – геометрический размер;
— число Рейнольдса, характеризует отношение сил инерции к силам вязкости;
— число Прандтля, характеризует теплофизические свойства жидкости;
— число Грасгофа, характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости благодаря перепаду температур Δt, к силам вязкости;
— число Фруда, характеризующее отношение инерционных сил к силам тяжести, и т.д.
Число Нуссельта (Nu) является определяемым числом в задачах конвективного теплообмена, т.к. содержит искомую величину – коэффициент теплоотдачи a. Остальные числа подобия (Re, Pr, Gr, Fr…) называются определяющими и включают в себя величины, от которых зависит коэффициент теплоотдачи.
Nu=f(Re, Pr, Gr, Fr…). | (6.6) |
Функциональная зависимость между числами подобия типа (6.6) называется уравнением подобия. По уравнению подобия можно найти число Nu и рассчитать коэффициент теплоотдачи.
Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем:
1. Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями.
2. Условия однозначности подобных процессов (геометрические, физические, граничные и т.д.) должны быть одинаковы во всем, кроме численных значений размерных постоянных.
3. Одноименные определяющие числа подобия подобных процессов должны иметь одинаковую численную величину (Re’=Re», Gr’=Gr» и т.д.).
Теорию подобия можно рассматривать как учение об обобщенных безразмерных переменных, характеризующих данный процесс.
Коэффициент теплоотдачи. Дифференциальное уравнение теплообмена
Коэффициент теплоотдачи. Дифференциальное уравнение теплообмена
- Коэффициент теплопередачи. Дифференциальное уравнение теплопередачи В процессе конвективного теплообмена характер потока жидкости очень важен, поскольку он определяет механизм теплообмена. Процесс теплообмена на границе с поверхностью канала можно выразить по закону Фурье dQ = -W (dIdn) n
0, (26-2) Где n — нормаль поверхности тела. ЕСЛИ такое же количество тепла может
быть выражено уравнением Ньютона , dQ = dF. (F-TC7). (26-3) Выравнивая эти уравнения, -1 \ dIdn) = aD / или a = -QJM) (dtldn) n = 0 ‘(26-4) Дифференциальное уравнение (26-4) (n = 0). I Конвективный теплообмен — это очень сложный по физическим свойствам процесс,
показывает процесс теплообмена на поверхности канала Людмила Фирмаль
который зависит от ряда факторов, определяющих процесс теплообмена. Коэффициент теплопередачи характеризует силу теплопередачи между жидкостью и поверхностью канала. Как правило, коэффициент теплопередачи является функцией физических параметров жидкости, свойств потока жидкости,
скорости жидкости, формы и размера тела и т. Д. | а = / (wyКу., р, с, Х, тм% / ст, Д /, Ф, 1и / 2, / 3.;.), (26-5) Где Х — природа движения жидкости (свободное или вынужденное движение. Движение). Форма F-стены; / ,, / 2, / 3- размеры поверхности. Уравнение (26-5) показывает, что коэффициент теплопередачи является сложным, и невозможно дать общую формулу для его определения. Обычно вы должны полагаться на экспериментальные исследования для принятия решений.
- Применяя общие законы физики, вы можете построить дифференциальные уравнения для конвективного теплообмена, которые учитывают как тепловые, так и динамические явления в любом процессе. Уравнение дифференциальной энергии fe p устанавливает связь между пространственными и временными
изменениями температуры в любой точке движущейся жидкости. FC- :: дт, дт, дт, а / \ -A.f2L + 21 + £ LUav *. ! (26-6) (cP v \ dx * r dy * dz *) • 4 ‘ фр Если Гay * = = = 0, твердого тепла (когда нет внутреннего источника тепла). Дифференциальное уравнение теплообмена представляет условия теплообмена на границе между твердым телом и внутренним слоем.
уравнение энергии переводится в уравнение Людмила Фирмаль
a = — (LUD 0 fIDp) Pyash0. (26-7) Дифференциальное уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости представляется уравнением Навье-Сток-еа. Для оси X Для ОС IJ (Dwu, dw, .. dw, .dw, \ p-! J
H-Wx H — Y- w-! L w = 1 В дт дх х. dy ‘J dz 1J Для ОСи 2 Это уравнение справедливо для ламинарного и турбулентного движения. В последнем случае w представляет фактическую (мгновенную)
скорость, равную сумме средней скорости и скорости пульсации. Непрерывность сжимаемой жидкости, или форма дифференциального уравнения для непрерывности дп е (р> х). d (pwy) d (pwz) 9> dx dy .. dz ‘k’ ‘ Для несжимаемой жидкости с p = const уравнение неразрывности принимает вид — + + — = 0. (26-10) dx dy dz Вывод всех дифференциальных уравнений (26-6) — (26-10) требует утомительных математических расчетов и дается в специальном курсе по гидродинамике и теплообмену.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://lfirmal.com/koehfficient-teplootdachi-differencialnoe-uravnenie-teploobmena/