Линейное уравнение с одной переменной
Содержание
Что такое уравнение
Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.
К примеру, не будут уравнениями выражения $3n-4$ или $d + 8$. Ведь в них не требуется найти значение переменной и отсутствует знак равенства. Это просто буквенные выражения. А вот записи: $4y-7 = 13$ или $-5x = 6x-2$ являются уравнениями.
Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу.
Приведем пример
Папе и сыну вместе $45$ лет, при этом известно, что отец старше на $19$ лет. Найдем, сколько лет каждому из них?
Обозначим возраст сына за $x$, тогда папе будет $x+19$ лет. Получим уравнение: $x + (x + 19) = 45$, так как по условию вместе им $45$ лет. Решим:
после раскрытия скобок: $2x + 19 = 45$,
То есть с помощью составления уравнения мы выяснили, что сыну $13$ лет. Отцу тогда $32$ года $(13 + 19)$. И вместе им действительно $45$ лет: $$13 + 32 = 45$$
Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.
Неизвестная переменная может обозначаться в уравнении не только буквами $x$ или $y$, но и любыми другими латинскими буквами.
Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.
Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.
Рассмотрим пример
Выясним, является ли корнем этого уравнения $x = 4$. Подставим $4$ вместо $x$ и получим: $$<3\times 4>-1 = 5$$$$12-1 = 5$$$$11 = 5$$
При решении мы поняли, что $x ≠ 4$, так как $11 ≠ 5$. То есть число $4$ не может быть корнем данного в задании уравнения. Посчитайте самостоятельно, какой корень у этого уравнения?
Корней может быть несколько, один или не быть совсем. В последнем случае говорят обычно, что уравнение не имеет решения или не имеет корней.
В примере с папой и сыном корень уравнения единственный: $x = 13$. Ведь нет других вариантов решения, при которых будут выполнены все условия и получится верное равенство. Проверьте сами?
Что такое линейное уравнение
Если числа в конечном уравнении $2x = 26$ к нашему первому примеру заменить на буквы $a$ и $b$, мы получим уравнение вида $ax = b$.
Подобные уравнения и называются линейными.
Уравнения вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, называются линейными уравнениями с одной переменной
Когда уравнения содержат, к примеру, степень: $$x^2 + 3 = 7$$ или неизвестная переменная находится в знаменателе дроби: $$\frac <8>
Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.
Коэффициенты и решение линейных уравнений
Числа $a$ и $b$ в линейном уравнении называют коэффициентами. Они могут быть выражены любыми числами, в том числе отрицательными или дробными. При этом $a$ называют коэффициентом при неизвестной переменной, а коэффициент $b$ свободным.
В наших примерах у уравнений был единственный корень. Наверное, вы заметили, что в них коэффициенты $a$ и $b$ были равны числам, отличным от нуля. Подобные уравнения решаются по простому алгоритму: $$x = \frac $$
Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения).
Попробуем взять коэффициент $a$, равный $0$, а коэффициент $b$ — любое число, не равное $0$. Тогда получим уравнение: $$0\times x = b$$ При умножении $x$ на ноль всегда будет ноль, но у нас $b ≠ 0$. Следовательно, правая и левая части такого уравнения между собой не равны, и при $a = 0$, а $b ≠ 0$ линейное уравнение не имеет верного решения.
Но линейное уравнение может иметь и множество решений. Рассмотрим такой случай. Например, что будет, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$? $$0\times x + 0 = 0$$ Ясно, что любое подобное уравнение с обоими коэффициентами, равными нулю, имеет бесконечно много корней. Почему? Потому что любое число при умножении на 0 дает ноль. Какое бы число вместо $x$ мы не подставили, равенство будет верным.
Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:
| Величины $a$ и $b$ | $a ≠ 0$, $b$ — любое | $a = b = 0$ | $a = 0$, $b ≠ 0$ |
| Корни уравнения $ax = b$ | $x = \frac $ | $x$ — любое | корней нет |
Свойства линейных уравнений
Цель любого линейного уравнения – выразить $x$ и понять, чему он будет равен.
До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.
Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.
Свойства линейных уравнений:
- Любой член можно перенести из одной части линейного уравнения в другую, но при этом нужно не забыть заменить знак на противоположный.
В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные — с другой.
Например: $5x = 30-3x$. Для решения перенесем $-3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $5x + 3x = 30$.
- В ходе решения обе части уравнения можно одновременно делить или умножать на какое-то одно и то же число, отличающееся от $0$. При этом равенство будет оставаться верным.
Часто второе свойство применяется в уравнениях с дробями. Например, нужно решить уравнение: $$\frac <5><2>\times x = 8$$ Чтобы избавиться от дроби, попробуем и правую и левую части уравнения умножить на $2$. Тогда мы получим: $$2\times \frac <5><2>\times x = 2\times 8$$ После умножения уравнение примет следующий вид: $$5x = 16$$
Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
- Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | : (−4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
- Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
- Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
- 4х + 8 = 6 − 7х
- 4х + 7х = 6 − 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = −2/11
Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.
Пример 5. Решить: 
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
Приведем подобные члены.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.
Мини- пособие по теме «Линейные уравнения» (7 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Изучение данной темы мы начнем с определения уравнения вообще
1. Уравнения — это равенства, которые содержат неизвестные числа, обозначенные буквами. Неизвестные числа в уравнении называются переменными.
Например.: 6x + 12 = 2x — 4
2. Рассмотрим некоторые понятия, определение которых позволит понять, с помощью чего и каким образом решаются уравнения:
Корнем уравнения с одним неизвестным называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет.
При решении уравнений иногда используются различные способы приведения их к более простому и понятному виду, в результате чего возможна потеря или приобретение лишних корней данного уравнения. Вследствие чего уравнение необходимо приводить к равносильному виду.
3. Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют.
Если же в процессе преобразования появились новые корни или были утеряны существующие, то данные уравнения не будут являться равносильными.
Уравнение g(x) = 0 называется следствием уравнения f(x) = 0, если каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения.
4. Теперь перейдем непосредственно к определению линейных уравнений.
Уравнение вида ax = b, где a и b — данные числа, называется линейным уравнением с переменной x. Числа а и b — коэффициенты данного уравнения. а — коэффициент данного уравнения, b — свободный член.
Например.: 5x + 10 = 0
5. Если a <> 0, то уравнение ax = b называется уравнением первой степени с одной переменной. Его корень: x = b/a.
Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет 1 корень.
Линейное уравнение может не иметь корней или иметь один или множество корней.
Теперь попробуйте пройти тест-коррекцию!
1. Корнем уравнения называется:
Число, которое является решением этого уравнения.
Число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Число, при подстановке которого в уравнение всегда получается числовое равенство.
2 Решить уравнение — это значит:
Найти все его корни;
Найти все его корни или доказать, что корней нет;
Найти хотя бы один из корней;
Найти столько корней, сколько переменных в уравнении.
3 Два уравнения называются равносильными, если:
Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;
Каждое из этих уравнений является следствием другого;
Каждый корень первого является корнем второго;
Если они имеют одинаковые правые и левые части.
4. Укажите уравнение, неравносильное уравнению 3x = 15:
5. Одно уравнение является следствием другого, если:
Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;
Каждое из этих уравнений является следствием другого;
Каждый корень первого является корнем второго;
Если они имеют одинаковые правые и левые части.
6. Какое уравнение является следствием:
(х — 5)(х + 1) = 0 и х — 5 = 0;
5 + (х — 4) = 5 и х — 4 = 0;
х + 3 = 5 — х и x = 1;
7. Линейным уравнением называется:
Уравнение вида ах = b, где а и b — данные числа;
Уравнение вида ах = b, где а и b — данные числа, и а<>0;
Уравнение с одним неизвестным;
Уравнение с несколькими неизвестными, где а и b — данные числа.
8. Какое из приведенных уравнений является уравнением первой степени:
9. Сколько решений имеет уравнение 3(х — 5) + х = 4х — 18:
10.Уравнение ах = b имеет один корень, если:
11.Сколько корней может иметь уравнение первой степени:
В одном баке было вдвое больше бензина, чем во втором. Когда из первого перелили во второй 25 л бензина, в обоих баках стало бензина поровну. Сколько бензина было в каждом баке первоначально?
Подробно запиши свое решение: составление уравнения, решение уравнения, ответ задачи.
Надо быть внимательнее. Ведь из первого бака вылили 25 л, после чего осталось x л. Значит, до переливания в первом баке было не x л, а на 25 л больше.
Теперь подумай, что примешь за неизвестное x?
Итак, в первом баке после переливания стало x л, а до переливания в нем было (x+25)л. Сколько же было во втором баке до переливания? Теперь тебе, конечно, ясно, что до переливания во втором баке было не x л, а на 25л меньше, т. е. было (x-25)л.
Надо подумать, во сколько вопросов решается эта задача и какой первый вопрос
Принять за x л количество бензина, которое получилось после переливания в первом баке (по условию, столько же стало после переливания и во втором баке). Что же было до переливания?
В условии задачи сказано, что после переливания в обоих баках стало бензина одинаково. Получается соотношение 2x-25=x+25
В первом баке было 100 л, во втором — 50 л. Сказано, что в первом было в два раза больше: 100/50=2 (верно). Затем из первого перелили во второй бак 25 л. В первом стало 100-25=75 (л), во втором стало 50+25=75 . Сказано, что стало одинаково 75=75 (верно).
Данную задачу можно решить 3 способами. Подумай, что еще можно принять за неизвестное, составь новое уравнение и, вернувшись назад, проверь правильность своего нового выбора.
Мини- пособие по теме «Линейные уравнения»
1. Актуализация знаний
2. Теоретические сведения
5. Эвристики и поиск решения
6. Из истории линейных уравнений
Данную обучающую программу можно считать пособием по изучению темы «Линейные уравнения» школьного курса математики. Она предназначена для формирования приемов эвристического мышления у учащихся и абитуриентов.
Следование инструкциям и рекомендациям, а так же сознательное и добросовестное выполнение заданий предложенных в работе поможет учащимся углубить и расширить знания обязательного уровня, а также поможет сформировать у них приемы эвристического мышления.
Для эффективной работы с программой необходимо изучить структуру предложенных материалов и приемы работы с ними:
Первый этап (актуализация знаний). В тесте №1 обсуждаются вопросы, связанные с пониманием тех основ, которые входят в содержание данной темы на обязательном уровне их усвоения. Обучаемый имеет возможность самостоятельно проработать тест, при этом проанализировать и сравнить предлагаемое решение со своим личным. В случае большого количества допущенных ошибок ученик должен ознакомиться с теоретическим материалом обязательного уровня, предлагаемом его вниманию тут же. Затем он имеет возможность повторного тестирования при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте. Такая работа позволяет ученику сосредоточить свое внимание на главных моментах в излагаемой теме и подготовиться к осознанному выполнению последующих задач.
Второй этап (ознакомление с теоретическими сведениями углубленного характера). Знакомство с этими материалами позволяет обучаемому систематизировать свои знания, обобщить представления об основных положениях, связанных с решением уравнений различных видов, сформировать у себя некоторые алгоритмы и эвристические правила-ориентиры решения уравнений.
Третий этап («задача-метод»). На этом этапе работы ученику необходимо к предложенной задаче или набору нескольких задач, с предложенными методами решения выбрать наиболее рациональный и правильный на его взгляд вариант.
Четвертый этап («задача-софизм»). При прохождении четвертого этапа ученику необходимо найти ошибку в рассуждении, когда предложенная задача представляет собой цепочку выполненных действий по ее решению, в которой на одном из звеньев допущена ошибка.
Пятый этап (эвристики и поиск решения задачи). Этот этап представляет из себя систему задач, к каждой из которых даны эвристические подсказки. Такие подсказки способствует осмысленному подходу к поиску решения задачи.
Шестой этап (некоторые исторические сведения по данной теме).
Когда все этапы пройдены можно переходить к изучению следующей темы.
Проработайте тест. При этом можно пользоваться подсказками. По окончании тестирования, если допущено большое количество ошибок, ознакомтесь с теоретическим материалом обязательного уровня. Затем пройдите повторное тестирование при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте.
1. Какое уравнение не является линейным?
2. Какая пара уравнений не является равносильной:
3. Сколько решений имеет уравнение 0х=-5?
Не имеет решений
Ответ отличен от приведенных
4. Среди данных уравнений выберите то, которое имеет такой же корень, что и уравнение
5. При каком значении у значение выражения 4(у-0,9) будет равно значению выражения 1,2+2у?
6. Найдите значение выражения 5k-(3k-8p), если k+4p=17.
7. Если 0,75x=-1, то чему равно х+0,75?
8. Найдите число, четверть которого меньше от его третьей части на два.
9. При каком значении а уравнение ах=8 имеет отрицательный корень?
10. Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза младше дедушки?
Линейные уравнения с модулем
Определение: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком модуля, называется уравнением с модулем . Из определения модуля (абсолютной величины) числа следует, что:
При решении уравнений с модулями чаще всего применяется метод раскрытия модуля по определению. Рассмотрим этот метод на примерах.
Решение: Данное уравнение не имеет решений так как модуль любого числа есть неотрицательное число.
Найдем корни уравнения:
Решение: Уравнение равносильно уравнению 
. Откуда 
Теперь решим уравнение:
Решение:Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Откуда получаем два корня:
Еще один способ решения уравнений с модулями — это использование геометрического смысла модуля. Известно, что 
— это расстояние между двумя точками на оси с координатами 
и 
.
Например, решим уравнение
, используя геометрический смысл модуля. Найдем точки на числовой оси, которые удалены от точки 2 на расстояние равное 3
Это точки 
и 
. Таким образом, корнями уравнения являются числа –1 и 5.
Определение: Уравнением с параметрами называется уравнение 
, в котором коэффициенты 
и 
неопределены (т.е. вместо и можно подставить любые числа).
При решении уравнений с параметрами рассматривают все возможные случаи (в зависимости от параметров и ).
Графический метод решения уравнений с двумя переменными
Со времен Рене Декарта общий вид уравнений первой степени с одним неизвестным записывается следующим образом:
До Декарта уравнения с положительными коэффициентами записывали по обе стороны от знака равенства. Декарт впервые стал систематически представлять уравнения в канонической форме (т.е. с правой частью, равной нулю). Благодаря методу координат, разработанному Декартом, между алгеброй и геометрией была установлена тесная связь. Декарт стал рассматривать уравнения как зависимость между 
и 
, определяющую положение точек на плоскости. Так например, корень уравнения (*)
можно геометрически изобразить точкой M пересечения прямой 
с прямой 
(т.е. с осью Ox).
Таким образом, вводя второе неизвестное , Декарт разбил одно уравнение на два, каждое из которых представляет некоторое геометрическое место точек. Так, уравнение (*) можно представить и в виде 
, тогда его корень (**) можно найти как абсциссу точки M’ пересечения прямых 
и 
.
В этом разделе вам будут предлагать задачу и несколько способов ее решения.
Вы должны выбрать наиболее рациональный на ваш взгляд способ.
1.Даны уравнения 
и 
являются ли они равносильными?
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Решить оба уравнения и сравнить корни.
Привести оба уравнения к одинаковому виду.
2. При каких значениях х графики уравнений 
и 
пересекаются?
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Построить графики уравнений и найти точку их пересечения.
Приравнять правые части и решить уравнение.
3. Сколько решений имеет уравнение 
?
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.
Решить задачу графическим методом.
Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.
4. Решите уравнение 
.
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.
Решить задачу графическим методом.
Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.
5. Решите уравнение 
.
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.
Решить задачу графическим методом.
Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.
Ученики 7-го класса решали линейные уравнения. Предлагаем Вам попробовать себя в роли учителя.
Укажите каким из учеников, и на каком шаге, при решении уравнения, допущена ошибка.
Первый ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:
Второй ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:
Третий ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так
Уравнение не имеет корней
Четвертый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х+5 так:
Пятый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так:
Уравнение имеет бесконечно много корней.
Шестой ученик решил уравнение 3(4х-13)=10х-39 так:
Седьмой ученик решил уравнение 12+7х-28=3х так:
Уравнение не имеет корней.
В этом разделе необходимо решить задачу самостоятельно. Можно пользоваться подсказками.
1. Решите уравнение 
Используйте геометрический смысл модуля.
Найдите точки на оси, которые удалены от точки 3 на расстояние, равное 7.
Корнями уравнения являются числа –4 и 10.
2.Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения 
является натуральным числом.
Сделайте перебор вариантов.
Перебирая значения, получаем, что а может равняться только 2 или 8.
3. Решите уравнение 
Умножьте каждый член уравнения на 6
4.На доске написано уравнение 5(…+3х)(х+1)-4(1+2х)2=-36. Найдите случайно вытертое число в скобках, если х=-2
Обозначьте искомое число через у и решите уравнение относительно у.
5. Найдите три последовательных нечетных натуральных числа, сумма которых равняется 6003.
Составьте и решите уравнение.
Первое число равно 1999, второе 2001, третье 2003.
Из истории линейных уравнений
Решение задач методом составления уравнения зародилось давно. Еще 4000 лет назад в древнем Египте решали задачи способом, который очень напоминает составление уравнения. Недостатком всей математики древних было отсутствие единой математической символики. Этот недостаток затруднял действия, мешал их наглядности. Поэтому и условие, и решение любой задачи приводилось полностью в словесной форме. Правда, у древних египтян были некоторые условные сокращения. Неизвестное, как полагают, они называли «куча». Так в папирусе Ринда уравнениe 
записано в такой форме: 
Эти частичные сокращения были впоследствии забыты другими учеными. Отсутствие единой формы записи уравнений задерживало создание общих правил их решения. Каждая задача решалась по своему, каждое уравнение требовало особого подхода. Отсутствие же общих правил решения приводило к кустарщине. Каждый решал как мог. Все это тормозило развитие алгебры в целом.
Первым, кто дал наиболее полное изложение способов решения уравнений, был узбекский ученый Мухаммед бен Муса ал-Хорезми. Свою книгу «Хисаб алджебр вал-Мукабала» он целиком посвятил составлению уравнений по условиям задачи и решению этих уравнений.
В первое время алгебру понимали как науку об уравнениях, впоследствии же этот взгляд несколько изменился. Кроме уравнений 1-й степени, в школе изучаются некоторые другие виды уравнений. Но ни один из этих видов нельзя усвоить, не усвоив хорошо решение уравнений 1-й степени.
Некоторые старинные задачи
Около 2500 лет назад в Греции уже умели довольно хорошо решать уравнения с одним неизвестным и систему уравнений с несколькими неизвестными. Независимо от греков этими приемами овладели и китайцы, а позднее и индийцы. Вот несколько старинных задач.
Задача в стихах из так называемой «Греческой Антологии»:
-Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
-Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.
Решение: Если обозначить число учеников Пифагора через х, то можно составить такое уравнение: 
откуда x=28.
Древняя китайская задача: В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.
Древняя индусская задача: Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?
Решение:Пусть у первого будет «а» вещей и «m» монет, а у второго «b» вещей и «p» монет. Если х — ценность вещи, то 
: откуда: 
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-prostyh-linejnyh-uravnenij
http://infourok.ru/mini-posobie-po-teme-lineynie-uravneniya-klass-2242630.html