Решение неравенств. Общие соображения.
Свойства числовых неравенств
Для любых дейcтвительных чисел a, b, c и d выполняются следующие свойства:
Другими словами, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится, неравенство останется верным.
Если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Следующие свойства выполняются только для положительных чисел.
Если a >b > 0 и с >d > 0, то ac >bd.
Почленно перемножать можно неравенства одного знака только тогда, когда левая и правая части обоих нервенств положительны.
Особое внимание обратите на свойства 5 и 9. Они непосредственно связаны с нашей темой — дробно-рациональные неравенства.
Напомню, что рациональными называются выражения, которые не содержат радикалов и трансцендентных функций, т.е. это алгебраические выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.
Почему неравенства не решают так же, как уравнения?
Итак, нужно найти корни уравнения. Что можно сделать?
Вариант первый.
Зафиксировать область допустимых значений (ОДЗ) выражения: \( x-1 \ne 0; \; x+5 \ne 0. \)
Убедиться в том, что уравнение представляет собой равенство двух дробей и воспользоваться основным свойтвом пропорции — произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов — в простореции «перемножить крест накрест.» \[(x — 2)\cdot(x+5) = (x-1)\cdot(2x-2).\] Решить простое (без дробей) рациональное уравнение. Здесь после раскрытия скобок и приведения подобных членов оно сведется к квадратному.
Сверить полученные корни с ОДЗ и, отбросив лишние, сформировать ответ.
Вариант второй.
Привести к общему знаменателю. При этом неважно перенесены ли предварительно все члены уравнения в одну сторону или нет.
Не забыть об ограниченности области допустимых значений выражения (написать ОДЗ).
Отбросить общий знаменатель (одинаковые знаменатели в обеих частях равенства, если не переносили всё в одну сторону).
Решить упрощенное уравнение, проверить полученные корни на соответствие ОДЗ, написать ответ.
Вариант третий.
Перенести все члены уравнения в левую часть равенства и привести к общему знаменателю. \[ \frac
Попробуйте всё это проделать самостоятельно для тренировки навыков решения дробно-рациональных уравнений. И убедитесь в том, что во всех трёх случаях будут получены одинаковые ответы.
Для решения уравнений реального ЕГЭ вы можете выбрать любой из этих подходов, который вам придётся по душе.
Здесь дорешаем уравнение в третьем варианте, чтобы потом сравнить его корни с решением неравенства. \[ \left\< <\begin
Ответ: x ∈ <3;4>.
Замечение:Отдельные ответы удобно записывать в фигурных скобках как элементы перечислимого множества, в отличие от интервалов (a;b) и отрезков [a;b], для обозначения которых используются круглые или квадратные скобки соответственно..
Это неравенство содержит те же самые дробные выражения, что и предыдущее уравнение. Однако теперь
варианты «крест накрест» и отбрасывание общего знаменателя НЕПРИМЕНИМЫ,
потому что в знаменателе присутствуют неизвестные величины, а следовательно мы не знаем знаков множителей и не сможем корректно применять свойства неравенств. Особенно это касается свойства 5, которое требует изменить знак неравенства при умножении на отрицательное число. Поэтому при решении дробно-рационального неравенства
самое разумное действие — перенести все его члены в одну сторону и сравнивать итоговое выражение с нулем,
т.е. применим способ аналогичный рассмотренному варианту 3 для уравнений.
Итак, переносим всё в левую часть неравенства и преобразуем выражение: \[ \frac
Далее можем рассуждать так:
Фактически, здесь мы должны определить знак дробного выражения. То есть при каких значениях переменной результат деления является неположительным числом (отрицательным или нулём).
Очевидно, это будет тогда, когда знаки числителя и знаменателя не совпадают. Таким образом, нужно рассмотреть два случая: числитель дроби меньше либо равен нулю И знаменатель положителен (> 0) ИЛИ числитель дроби больше либо равен нулю И знаменатель отрицателен ( 0;> \hfill \\ \end
Объединяя эти случаи, т.е. первую часть ответа с пустым множеством, в итоге получаем:
Ответ: x ∈ (−∞;−5)U(1;3]U[4;+∞) .
Сравним ответ неравенства с ответом уравнения, рассмотренного выше. Значения переменной \(x = -5; x = 1; x = 3; x = 4 \) присутствовали как ключевые при решении уравнения, однако те из них, которые обращают знаменатель в 0, не вошли в ответ.
Но в ответе неравенства мы явно видим все эти значения переменной. Они фигурируют как границы промежутков. При этом входят или не входят граничные точки в ответ зависит от ОДЗ выражений и степени строгости неравенства.
Таким образом, наиболее частые ошибки при решении неравенств состоят в потере граничных точек и слиянии промежутков.
Как проверить ответ неравенства?
И всё-таки, если это ответственное решение, например, важный экзамен, имеет смысл потратить некоторое время и провести вычисление нескольких числовых значений для неравенства.
1) Подставить в неравенство хотя бы по одному значению из промежутков, входящих в ответ, чтобы убедиться, что полученные числовые неравенства будут верными,
2) и по одному значению из промежутков, не входящих в ответ, чтобы убедиться что соответствующие числовые неравенства будут неверными.
3) Также не мешает перепроверить граничные точки промежутков.
Проверка ответа примера 2.
1) Все следующие числовые неравенства должны оказаться верными.
\(x \in (-\infty;-5) \). Пусть \(x = -7 \), тогда \[ \frac<-7-2> <-7-1>\le \frac<-14-2><-7+5>;\;\; \frac<9> <8>0,\) которое является составной частью рассмотренной в примере 2 совокупности систем, будет верным, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки — оба положительны или оба отрицательны, т.е. в свою очередь сводится к совокупности двух систем неравенств
Выход из положения может быть следующим:
Если \(7x-7 > 0\), то знак исходного неравенства сохраняется: \[\frac<21> <7x-7>> \frac<8x-8> <7x-7>\Leftrightarrow 21 > 8x-8. \] Если \(7x-7 \frac<8x-8> <7x-7>\Leftrightarrow 21 \frac<8x-8> <7x-7>\Leftrightarrow \left[ <\begin
Вывод: Отбрасывание общего знаменателя можно производить только для тех неравенств, в которых этот знаменатель положительная константа. Т.е. здесь для неравенства (1). Во всех остальных случаях требуется более детальный анализ знаков чисел и выражений.
Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.
Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
Решение уравнений с дробями
О чем эта статья:
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
- Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
- Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
- Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
- Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение: 
- Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Основные сведения о решении дробно-рациональных уравнений
Определение основных понятий по теме
Рациональным выражением является такое выражение в алгебре, в состав которого включены числа и переменная х, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем. Если пара рациональных выражений объединены знаком равенства, то перед нами рациональное уравнение.
Дробно-рациональное уравнение представляет собой не имеющее знак корня рациональное уравнение, в котором обе части записаны в виде дробных выражений.
В дробно-рациональном уравнении имеется как минимум одна дробь, содержащая в знаменателе переменную.
Например, дробно-рациональными уравнениями являются:
9 x 2 — 1 3 x = 0
1 2 x + x x + 1 = 1 2
6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1
Уравнения, которые нельзя отнести к дробно-рациональным:
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
В процессе решения дробно-рациональных уравнений требуется правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Когда корни уравнения найдены, следует проверить их на соответствие ОДЗ и выяснить, какие являются допустимыми. В противном случае образуются посторонние решения, что автоматически делает ответ неверным.
Предусмотрен стандартный алгоритм действий для поиска корней дробно-рациональных уравнений:
- Выписать и определить ОДЗ.
- Вычислить общий знаменатель дробей.
- Найти произведение каждого члена уравнения и общего знаменателя. После чего следует сократить полученные дроби, чтобы избавиться от знаменателей.
- Записать уравнение со скобками.
- Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
- Найти корни уравнения, которое получилось после раскрытия скобок.
- Сверить найденные корни с ОДЗ.
- Решения, которые успешно прошли проверку, записать в ответ.
Примеры решения задач
Требуется найти корни дробно-рационального уравнения:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Рассмотрим уравнение из условия задания:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Определим область допустимых значений:
x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )
В таком случае, общим знаменателем является следующее выражение:
Согласно стандартной последовательности действий, найдем произведение каждого члена уравнения и ( x — 2 ) ( x + 2 ) : x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )
x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8
x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8
Затем следует привести подобные слагаемые:
Решениями получившегося квадратного уравнения являются следующие корни:
Сравним результат вычислений с ОДЗ. Зная, что x ≠ 2 , исключим первый корень, как посторонний. Запишем в ответ второй корень.
Для закрепления материала и знаний метода решения дробно-рациональных уравнений попробуем решить еще одно задание с объяснением действий. Подобные задачи нередко приходится решать на уроках алгебры в восьмом классе.
Решить дробно-рациональное уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Рассмотрим уравнение из условия задания:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Определим область допустимых значений:
x 2 + 7 x + 10 ≠ 0
D = 49 — 4 · 10 = 9
x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2
x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5
Воспользуемся способом разложения квадратного трехчлена на множители:
a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )
Преобразуем квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 с учетом найденных x 1 и x 2 :
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
В результате общий знаменатель равен:
Умножим все части уравнения на общий знаменатель:
x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 — — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Выполним сокращение дробей:
x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0
Избавимся от скобок:
x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0
Приведем подобные слагаемые:
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Тогда получим корни уравнения:
Соотнесем решения с областью допустимых значений, которую определили ранее. Первый корень является посторонним, что выявлено с помощью контрольной проверки. По этой причине в ответ следует записать только второй корень.
Задания для самостоятельной работы
Найти корни уравнения:
x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6
x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6
3 x — 3 + 4 x 6 = 5 x 6
Требуется решить дробно-рациональное уравнение:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5
x 2 — 3 x — 10 = 0
Вычислить корни уравнения:
33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3
33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3
— 33 — x 2 + ( 7 + x ) · ( x + 3 ) = — 2 ( x 2 — 9 ) + ( 4 — x ) · ( x — 3 )
Согласно ОДЗ, первый вариант решения не подходит:
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-uravnenij-s-drobyami
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/8/osnovnye-svedeniya-o-reshenii-drobnoraczionalnyh-uravnenij