Когда показательное уравнение имеет бесконечное множество решений

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) \(3\cdot 4^+27=a+a\cdot 4^\)
\(3\cdot 4^-a\cdot 4^=a-27\)
\(4^(3-a)=a-27\)
\(4^=\frac<3-a>\)
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
\(\frac<3-a>\gt 0\Rightarrow\frac\lt 0\)

\(3\lt a\lt 27\)
\(x-2=log_4\frac<3-a>\)
\(x=2+log_4\frac<3-a>\)
Ответ:
При \(a\leq 3\cup a\geq 27\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(3\lt a\lt 27,\ x=2+log_4\frac<3-a>\)

2) \(D=0\) при \(a=1,\ t=\frac22=1\)
\(11^<|x|>=1=11^0\Rightarrow |x|=0\Rightarrow x=0\) — один корень

3) \(D\gt 0\) при \(a\lt 1,\ t_<1,2>=\frac<2\pm 2\sqrt<1-a>><2>=1\pm \sqrt<1-a>\)
Корень \(t_2=1+\sqrt<1-a>\) положительный при всех \(a\lt 1\)
Получаем для \(x:\ 11^<|x|>=1+\sqrt<1-a>\Rightarrow |x|=log_<11>(1+\sqrt<1-a>)\)
\(log_<11>(1+\sqrt<1-a>)\geq 0,\) т.к. \(1+\sqrt<1-a>\geq 1\), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: \(x=\pm log_<11>(1+\sqrt<1-a>)\)

Для корня \(t_1=1-\sqrt<1-a>\) решаем неравенство (учитывая \(a\lt 1\)):
\( 1-\sqrt<1-a>\gt 0\Rightarrow\sqrt<1-a>\lt 1\Rightarrow \begin 1-a\lt 1\\ a\lt 1 \end \Rightarrow \begin a\gt 0\\ a\lt 1 \end \Rightarrow 0\lt a\lt 1 \)
Тогда \(|x|=log_<11>(1-\sqrt<1-a>\), но log_11⁡\(log_<11>(1-\sqrt<1-a>\lt 0\) и не может быть равен модулю. Значит, для корня \(t_1\) решений нет.

Ответ:
При \(a\gt 1\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(a=1\) один корень \(x=0\)
При \(a\lt 1\) два корня \(x=\pm log_<11>⁡(1+\sqrt<(1-a)>\)

Пример 2. При каких значениях \(a\) неравенство \(4^x-a\cdot 2^x-a+3\leq 0\) имеет хотя бы одно решение?
Замена: \(t=2^x\)
Функция \(f(t)=t^2-at-a+3\) – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если \(D\gt 0\) и будет равна 0 при \(D=0\).
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
\(D=a^2-4\cdot (-a+3)=a^2+4a-12\geq 0\)
\((a+6)(a-2)\geq 0\)

\(a\leq -6\cup a\leq 2\)

Решение квадратного уравнения: \(t_<1,2>=\frac><2>\)
По свойству показательной функции, \(t\) должно быть положительным.
Для первого корня: \begin a-\sqrt\gt 0\Rightarrow \sqrt\lt a\Rightarrow \begin a\gt 0\\ a^2+4a-12\geq 0\\ a^2+4a-12\lt a^2 \end \Rightarrow \\ \begin a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2\\ a\lt 3 \end \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 3\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end \Rightarrow 2\leq a\lt 3 \end Для второго корня: \begin a+\sqrt\gt 0\Rightarrow \sqrt\gt -a\Rightarrow \left[ \begin \begin -a\lt 0\\ a^2+4a-12\geq 0 \end \\ \begin -a\geq 0\\ a^2+4a-12\gt (-a)^2 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end \\ \begin a\leq 0\\ a\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow a\geq 2 \end Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при \(a\geq 2\)
Ответ: \(a\in\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

Пример 3. При каких значениях \(a\) оба корня уравнения \(16^x-a\cdot 4^x+2=0\) принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: \(t=4^x\gt 0\)
\(t^2-at+2=0\)
\(D=a^2-8\)
\(D\geq 0\) при \(|a|\geq 2\sqrt<2>\)
Решение уравнения: \(t_<1,2>=\frac><2>\)
По условию \(0\leq x_<1,2>\leq 1,\) что для замены даёт \(4^0\leq 4^>\leq 4^1,\ 1\leq t_<1,2>\leq 4\)
Условие выполняется, если одновременно \( \begin t_1\geq 1\\ t_2\leq 4 \end \)
Решаем систему: \begin \begin \frac><2>\geq 1\\ \frac><2>\leq 4 \end \Rightarrow \begin a-\sqrt\geq 2\\ \sqrt\leq 4-a \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin \begin a-2\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (a-2)^2 \end \\ \begin 4-a\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (4-a)^2 \end \end \Rightarrow \begin a\geq 2\\ a\leq 4\\ a\leq -2\sqrt<2>\cup a\geq 2\sqrt<2>\\ a^2-8\leq a^2-4a+4\\ a^2-8\leq 16-8a+a^2 \end \Rightarrow \begin 2\sqrt<2>\leq a\leq 4\\ a\leq 3\\ a\leq 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\sqrt<2>\leq a\leq 3 \end Ответ: \(a\in[2\sqrt<2>;3]\)

Пример 4. При каких значениях \(a\) система \( \begin 2^x-y+1=0\\ |x|+|y|=a \end \) имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
\(y=2^x+1\) – это кривая показательной функции \(y=2^x\), поднятая на 1 вверх.
\(|x|+|y|=a\) — это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках \((\pm a;0),(0;\pm a)\).

Одна точка пересечения при \(a=2\). Решение – точка \( \begin x=0\\ y=2 \end \)
При \(a\lt 2\) решений нет.
При \(a\gt 2\) — два решения.

Решение показательных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цели урока: Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4 x – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9 x + (2a + 4) · 3 x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49 x + 2p · 7 x + p 2 – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2 x + 4p 2 – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax 2 + bx + c₁ = c₀, или ax 2 + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

1. Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
2. При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
3. При a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0, квадратное уравнение.
4. От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D 2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

1. При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
2. Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
3. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
4. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Если Dx – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

• Если одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0 – нет решений, при t 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

1. При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
2. При 0 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4 x – 8 · 6 x + (a +3) 9 x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2 x + 2 –x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4 x – 4 · 2 x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12 |x| = 2 – 12 –|x| в зависимости от параметра a.

Уравнения с бесконечным количеством корней

В каком случае уравнение ax = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

Решение

Линейное уравнение ax = b при a ≠ 0 имеет один корень, при a = 0 и b ≠ 0, не имеет корней, при a = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).

Примеры:
15 x = 30 − один корень;
0 x = 4 − не имеет корней;
0 x = 0 − имеет бесконечно много корней.

Нашли ошибку?

Если Вы нашли ошибку, неточность или просто не согласны с ответом, пожалуйста сообщите нам об этом

1. Линейное уравнение. Приведите Примеры линейных уравнений, имеющих один корень, бесконечно много корней и не имеющих корней.

• Попроси больше объяснений
• Следить
• Отметить нарушение

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

один корень имеют например

5х=6, или 10х=20, или 5х-4=1 или 9х-7=2 и т.д.

бесконечно много корней имеют например 0х=0; 2(5х+6)=10х+12, или 5х-3х-2х=7-4-3

не имеющие корни например 0х=4 или 2х+5=2х+6 и т.д.

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня – 2 , 1 и 5 , то пишем – 2 , 1 , 5 или .

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.