Когда система линейных уравнений имеет единственное решение матрица

учимся
программировать

Программированию нельзя научить, можно только научится

Главная » Уроки по Численным методам » Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений

Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений

Система линейных уравнений:

(1)

Здесь и (i =1..m, j=1..n) — заданные, а — неизвестные действительные числа.
Матричной записью системы линейных уравнений называется выражение вида:
=, или кратко: = (2),
где:

=

=

столбец свободных членов

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2. cn) называется решением системы(1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2. xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2. cn)T такой, что AC = B.

СЛУ называется совместной, или разрешимой, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

Далее умножим вторую строку на -2 и сложим с третьей, а затем сложим третью строку с последней. Имеем
.
Ранг матрицы системы =3, так как матрица имеет три ненулевых строки,
а ранг расширенной матрицы =4.
Тогда согласно теореме Кронекера-Капелли система не имеет решений.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, — так называемые системы крамеровского типа:
a11 x1 + a12 x2 +. + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +. + a2n xn = b2, (3)
. . . . . .
an1 x1 + an1 x2 +. + ann xn = bn.

Системы (3) решаются одним из следующих способов:
1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным методом.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A=0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (3) совпадает с вектором . Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Задание 1: Решить систему уравнений матричным способом в Excel

Ход решения:

1. Сначала надо записать систему в матричном виде и ввести ее на лист Excel:

, здесь ,

1. Затем надо с помощью Excel найти обратную матрицу для матрицы А.
2. Далее полученную матрицу нужно умножить на матрицу В.
3. В результате получим ответ:

Задание 2: Самостоятельно решить матричным способом систему уравнений

Ответ для самопроверки:

Когда система линейных уравнений имеет единственное решение матрица

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А -1 .

Решите матричное уравнение AX+B=C, где

Из уравнения получаем .

Следовательно,

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .

1. При
2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Теорема Кронекера-Капелли

Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.

Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.

Пример №1 . Исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы) с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Это соответствует системе:
-3x₂ + 9x₃ = 6
-4x₁ + 5x₂ + 7x₃ — 10x₄ = 0
За базисные переменные примем x₁ и x₂. Тогда свободные x₃,x₄.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №2 .
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

3x₂ -2x₃ – 3x₄ = 10
3x₁ -x₂ -2x₃ = 1
Необходимо переменные x₃,x₄ принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные – x₁, x₂.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №3 . Дана система линейных уравнений у которой число уравнений равно числу неизвестных. При каком условии эта система имеет единственное решение?
Ответ: Система имеет единственное решение, если ранг этой системы будет равен количеству переменных.

=