Когда уравнение не имеет корней на отрезке

Какое уравнение не имеет корней? Примеры уравнений

Решение уравнений в математике занимает особое место. Этому процессу предшествует множество часов изучения теории, в ходе которых ученик узнает способы решения уравнений, определения их вида и доводит навык до полного автоматизма. Однако далеко не всегда поиск корней имеет смысл, так как их может попросту не быть. Существуют особые приемы нахождения корней. В данной статье мы разберем основные функции, их области определения, а также случаи, когда их корни отсутствуют.

Какое уравнение не имеет корней?

Уравнение не имеет корней в том случае, если не существует таких действительных аргументов х, при которых уравнение тождественно верно. Для неспециалиста данная формулировка, как и большинство математических теорем и формул, выглядит очень размытой и абстрактной, однако это в теории. На практике все становится предельно просто. Например: уравнение 0 * х = -53 не имеет решения, так как не найдется такого числа х, произведение которого с нулем дало бы что-то, кроме нуля.

Сейчас мы рассмотрим самые базовые типы уравнений.

1. Линейное уравнение

Уравнение называется линейным, если его правая и левая части представлены в виде линейных функций: ax + b = cx + d или в обобщенном виде kx + b = 0. Где а, b, с, d — известные числа, а х — неизвестная величина. Какое уравнение не имеет корней? Примеры линейных уравнений представлены на иллюстрации ниже.

В основном линейные уравнения решаются простым переносом числовой части в одну часть, а содержимого с х — в другую. Получается уравнение вида mx = n, где m и n — числа, а х — неизвестное. Чтобы найти х, достаточно разделить обе части на m. Тогда х = n/m. В основном линейные уравнения имеют только один корень, однако бывают случаи, когда корней либо бесконечно много, либо нет вовсе. При m = 0 и n = 0 уравнение принимает вид 0 * х = 0. Решением такого уравнения будет абсолютно любое число.

Однако какое уравнение не имеет корней?

При m = 0 и n = 0 уравнение не имеет корней из множества действительных чисел. 0 * х = -1; 0 * х = 200 — эти уравнения не имеют корней.

2. Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 при а = 0. Самым распространенным способом решения квадратного уравнения является решение через дискриминант. Формула нахождения дискриминанта квадратного уравнения: D = b 2 — 4 * a * c. Далее находится два корня х_1,2= (-b ± √D) / 2 * a.

При D > 0 уравнение имеет два корня, при D = 0 — корень один. Но какое квадратное уравнение не имеет корней? Пронаблюдать количество корней квадратного уравнения проще всего по графику функции, представляющем собой параболу. При а > 0 ветви направлены вверх, при а 2 – 8x + 72 = 0 не имеет корней, так как имеет отрицательный дискриминант D = (–8) 2 – 4 * 1 * 72 = -224. Это значит, что парабола не касается оси абсцисс и функция никогда не принимает значение 0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

3. Тригонометрические уравнения

Тригонометрические функции рассматриваются на тригонометрической окружности, однако могут быть представлены и в декартовой системе координат. В данной статье мы рассмотрим две основные тригонометрические функции и их уравнения: sinx и cosx. Так как данные функции образуют тригонометрическую окружность с радиусом 1, |sinx| и |cosx| не могут быть больше 1. Итак, какое уравнение sinx не имеет корней? Рассмотрим график функции sinx, представленный на картинке ниже.

Мы видим, что функция является симметричной и имеет период повторения 2pi. Исходя их этого, можно говорить, что максимальным значением этой функции может быть 1, а минимальным -1. Например, выражение cosx = 5 не будет иметь корней, так как по модулю оно больше единицы.

Это самый простой пример тригонометрических уравнений. На самом деле их решение может занимать множество страниц, в конце которых вы осознаете, что использовали неправильную формулу и все нужно начинать сначала. Порой даже при правильном нахождении корней вы можете забыть учесть ограничения по ОДЗ, из-за чего в ответе появляется лишний корень или интервал, и весь ответ обращается в ошибочный. Поэтому строго следите за всеми ограничениями, ведь не все корни вписываются в рамки задачи.

4. Системы уравнений

Система уравнений представляет собой совокупность уравнений, объединенных фигурной или квадратной скобками. Фигурные скобки обозначают совместное выполнение всех уравнений. То есть если хотя бы одно из уравнений не имеет корней или противоречит другому, вся система не имеет решения. Квадратные скобки обозначают слово «или». Это значит, что если хотя бы одно из уравнений системы имеет решение, то вся система имеет решение.

Ответом системы с квадратными скобками является совокупность всех корней отдельных уравнений. А системы с фигурным скобками имеют только общие корни. Системы уравнений могут включать абсолютно разнообразные функции, поэтому такая сложность не позволяет сказать сразу, какое уравнение не имеет корней.

Обобщение и советы по нахождению корней уравнения

В задачниках и учебниках встречаются разные типы уравнений: такие, которые имею корни, и не имеющие их. В первую очередь, если у вас не получается найти корни, не думайте, что их нет совсем. Возможно, вы совершили где-нибудь ошибку, тогда достаточно лишь внимательно перепроверить ваше решение.

Мы рассмотрели самые базовые уравнения и их виды. Теперь вы можете сказать, какое уравнение не имеет корней. В большинстве случаев сделать это совсем не трудно. Для достижения успеха в решении уравнений требуется лишь внимание и сосредоточенность. Практикуйтесь больше, это поможет вам ориентироваться в материале гораздо лучше и быстрее.

Итак, уравнение не имеет корней, если:

• в линейном уравнении mx = n значение m = 0 и n = 0;
• в квадратном уравнении, если дискриминант меньше нуля;
• в тригонометрическом уравнении вида cosx = m / sinx = n, если |m| > 0, |n| > 0;
• в системе уравнений с фигурными скобками, если хотя бы одно уравнение не имеет корней, и с квадратными скобками, если все уравнения не имеют корней.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Класс: 10

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

• Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
• Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
• Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

• познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
• изучить соответствующую литературу;
• научиться решать тригонометрические уравнения;
• найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
• научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
• подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]

sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;

sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

С1 (№15) с отбором корней на отрезке

В рамках подготовки к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу С1 ( В новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №13» ) , которая предлагалась в Тренировочной работе №60 А. Ларина.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни на промежутке

a)

Применяем формулу двойного угла для :

(1) или (2) ;

Уравнение (2) равносильно уравнению (произвели деление на ).

Откладываем на оси синусов , на оси тангенсов . Выходим на четыре серии точек:

Ответ:

б) Произведем отбор корней из отрезка при помощи тригонометрического круга:

Ответ:

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?

Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
Долго объяснять на словах…
Если никак с кругом, то
решаем сначала неравенство:


Так как , то
При , при .
Потом
И так далее..

Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]

При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
При n=1 x=pi\2, pi\2>1.
Только 0.

Объясните по-подробнее какие страницы в какой последовательности надо читать, чтобы научиться отбирать корни тригонометрического уравнения в задании 13 профильного уровня!
А то я в приведённой вами ссылке в сообщении прочитал статью, на ней переход к странице: https://egemaximum.ru/trigonometricheskij-krug-ii/
А после этой страницы не написано куда дальше идти!
Спасибо большое!

Спасибо огромное вам!
Выручаете!=)
А подскажите, чтобы научиться правильно отбирать корни в 13ом задании нужно знать формулы приведения, суммы синусов и т. п?
И отличается ли отбор корней когда один оборот и когда несколько?!
Спасибо!

Для отбора корней не нужны формулы приведения, суммы синусов и т.п.
Принцип отбора – один, не важно полтора оборота, два или один…
Полезно хотя бы раз развернуть тригонометрический круг в ось. И увидеть, что, например, точки на круге отображаются одной точкой, а на оси – разными. Или, например, изобразите точки на круге, затем на оси…

Спасибо!
А при отборе корней с помощью окружности нужно что-то вычислять? Не понимаю когда находят серию корней как они определяют что будет корнем и отмечают это на окружности а что нет?

Не очень понятен вопрос…
Вам следует сперва научиться видеть серии корней на окружности. Только потом осваивайте отбор (при помощи тригонометрической окр.).
Например, если вас просят отметить на окружности точки а вы не понимаете, – как это. то до отбора далеко…
Начинайте перебирать различные значения смотрите, что получается…

Я про то, например, нашли серию корней: x=+_pi/6+pi n, n принадлежит Z.
Просят отобрать (в этапе б) корни на промежутке [2pi;3pi], я нахожу этот помежуток и выделяю его (это очень легко!).
А как вычислить корни, которые попадут на окружность на выделенный промежуток?!
Например, дано уравнение: 16cos^4x-24cos^2x+9=0
Его решить а.
Отобрать корни на промежутке [2pi; 3pi] б.
Нашел серию корней: x=+_pi/6+2pi n, n принадлежит Z.
Далее – черчу окружность, выделяю жирным промежуток, указанный в условии.
Мне не ясно, как туда попали корни 13 pi/6 и 17 pi/6.
Откуда они?
Спасибо огромное за объяснение!

Пока вы не выучите основные углы от нуля до 2пи на тригонометрическом круге, вы не сдвинетесь с места. Я вам много чего сказала по делу, но вы меня не слышите…

Я знаю эти углы! И как их отмечать на окружности! И формулы приведения!
Но я задал вопрос?