Когда в тригонометрических уравнениях n а когда k

Особенности решения тригонометрических уравнений

Эта работа будет полезна студентам при изучении темы «Решение тригонометрических уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки РБ

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Техникум строительства и городского хозяйства»

Реферат по теме

Особенности решения тригонометрических уравнений

Выполнила: Дамбаева Алтана,

Руководитель: Амшеева М.Р.,

1. Простейшие тригонометрические уравнения

2. Особенности решений тригонометрических уравнений

Математика является фундаментальной дисциплиной, давно стала основным аппаратом физико-технических дисциплин.

В последние годы математические методы исследования все настойчивее проникают в такие науки как химия, биология, педагогика, медицина, право, археология.

Поэтому не удивительно, что на многих, в том числе и гуманитарных факультетах университетов. во всех технических вузах поступающие сдают ЕГЭ по математике.

Составной частью многих вариантов экзаменов по математике являются тригонометрические уравнения.

1. Простейшие тригонометрические уравнения

решения тригонометрических уравнений сводятся в конечном итоге с помощью различных преобразований к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. (1)

Поэтому напомним, при каких значениях а уравнения (1) разрешимы, т.е. имеют решения и как правильно находить все решения таких уравнений.

(1а) Уравнение sin x = a разрешимо в том и только в том случае, когда |a|≤ 1, при этом х = (-1) n arcsin a + πn, где n Z.

Следует заметить, что при |a| > 1уравнение (1а) не имеет действительных решений.

(1б) Уравнение cos x = a.

Это уравнение также имеет решение тогда и только тогда, когда |а|≤ 1, при этом x = ± arccos a + 2 πn, где n Z.

Если |а| > 1уравнение (1б) не имеет действительных решений.

(1в) Уравнение tg x = a.

Это уравнение разрешимо при любом а. Все решения содержатся в формуле х = arctg a + πn, где n Z.

(1г) Уравнение ctg x = a.

Это уравнение разрешимо при любом а. Все решения содержатся в формуле х = arсctg a + πn, где n Z.

Итак, тригонометрическое уравнение либо вообще не имеет решение, либо имеет множество решений, при чем множество решений тригонометрического уравнения составляет общее решение.

Напомним, что обратно — тригонометрические функции:

Следует знать частные случаи:

(2) sin x = 1, x = + 2 πn, n Z.

(3) sin x = -1, x = — + 2 πn, n Z.

(4) sin x = 0, x = πn, n Z.

(5) cos x = 1, x = 2 πn, n Z.

(6) cos x = — 1, x = — π + 2 πn, n Z.

(7) cos x = 0, x = + πn, n Z.

2. Особенности решений тригонометрических уравнений

Как известно, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции.

Успех при решении тригонометрических уравнений обеспечивается при хорошем знании формул и в умении видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой, общая цель обычно состоит в сведении с помощью преобразований к одному или нескольким простейшим уравнениям (1).

В процессе решений надо следить за эквивалентностью уравнений целочисленные параметры обозначать разными буквами в подмножествах, когда уравнение распадается на несколько простейших уравнений.

Таким образом, общее решение тригонометрических уравнений может состоять из нескольких серий, причем одна из серий может входить в другую, тогда она называется дублирующей.

Рассмотрим вышесказанное на следующих уравнениях.

Пример 1. Решить уравнение sin 2x · cos x · tg x = 0.

ОДЗ: x + πk (2k + 1), k Z

k = 1 x отмечены крестиком на круге, см. рис. 1.

Рис.1

Решение: Заданное уравнение равносильно

sin 2x = 0, 2x = πk, x = , k Z

cos x = 0, x = + πn ОДЗ, n Z

tg x = 0, x = πm, m Z.

Целочисленные параметры обозначены разными буквами k, n, m.

В результате решения нами получено три серии решений. с учетом ОДЗ за ответ принимается:

Пример 2: Решить уравнение

sin x — cos 2x = 0

sin x — sin ( — 2x) = 0

2 cos ( — ) sin ( — ) = 0

Получившееся уравнение равносильно следующим системам уравнений:

Решая соответственно, получим:

x = — — 2 πk =- (1 + 4k) x = + πn;

1 — ая серия решений 2 — ая серия решений

1 – ый способ выбора серии решений

Изобразим эти две серии решений на круге при конкретных значениях k и n

а) k = 0, x 1 = — в) n = 0, x 1 =

б) k = -1, x 2 = г) n = 2, x 2 = =

Частные решения 1 -ой серии решений отметим крестиком, а 2-ой серии — утолщенными точками.

Из рис.2 видно, что 1 — ая серия содержится во 2 -ой серии.

Ответ: х = + πn = (1 + 4n), где n .

2 -ой способ отбрасывания дублирующей серии решений.

Приравняв обе серии, получим:

Следовательно, при n = — 1 — 3k 1- ая серия решений получится из 2 — ой серии решений:

Ответ: х = (1 + 4n), n .

Заметим, в зависимости от метода, решения одного и того же тригонометрического уравнения могут быть записаны в разной форме, в виде нескольких серий решений.

Однако, чтобы убедиться в совпадении решений, достаточно воспользоваться одним из вышеуказанных способов отбрасывания дублирующей серии решений.

В тех случаях, когда сравниваются несколько серий решений, следует использовать различные буквы для обозначения целочисленных параметров.

1. А.Н.Колмогоров и др.Алгебра и начала анализа, 10-11. М.: Просвещение, 1999.

2. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа, 10-11. 1часть. М.: Мнемозина, 2009.

3. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа, 10-11. 2 часть. М.: Мнемозина, 2009.

3.Э.З. Шувалова и др. Повторим математику. М.: Высшая школа, 1998.

4. В.К. Егерев и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. М.: Высшая школа, 1996.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.