Колебания круглой мембраны уравнения математической физики

Колебания круглой мембраны

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье разделения переменных применяется также при изучении колебаний ограниченных тел, плоских или объемных. Рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях под действием начальных возмущений однородной круглой мембраны радиуса г о с центром в начале координат, закрепленной по краю. Уравнение колебаний мембраны имеет вид Введем полярные координаты г, (р. Тогда отклонение точек мембраны будет функцией полярных координат г, и времени ).

Пользуясь выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, запишем уравнение колебаний мембраны в сле/ующем виде: Колебания круглой мембраны (мембрана закреплена по краю) и начальным условиям Таким образом, задача о колебаниях мембраны ставится так: найти фу нкцию ti(r, удовлетворяющую уравнению граничным условиям.

Ограничимся важным частным случаем осесимметричных колебаний, когда начальные функции f nF не зависят от Ясно, что тогда в любой момент времени t > О величина отклонения мембраны не будет зависеть от полярного угла а будет только функцией г и t, и = u(r, t). Это означает, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет описываться поверхностью вращения.

При этом предположении задача сводится к отысканию решения ti(r, t) уравнения (4) при граничном условии (5) и начальныхусловиях ди I Применяя метод разделения переменных, будем искать нетривиальные решения уравнения (4),удовлетворяющие граничному условию (5), в виде Подставляя функцию «(г, t) в форме (7) в уравнение (4) и разделяя переменные, получим Равенства (8) приводят к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям (условие выражает естественное требование ограниченности решения u(r, t) в центре мембраны, т. е. при г = 0).

Задача (10)-( 11) имеет очевидное тривиальное решение Я(г) = 0, которое нас не устраивает.

Итак, мы пришли к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (10)—(11), и отыскать эти решения. Запишем уравнение (10) в следующем виде: Это дифференциальное уравнение Бесселя с v = 0. Его общее решение . Из условия |+оо следует, что Сг = 0 (функция Неймана .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, Граничное условие Д(г0) = 0 дает откуда следует, что число л/Аго должно быть одним из нулей функции Бесселя т.е. где Рк — нуль функции Jo

имеет вид Колебания круглой мембраны Функция будет решением уравнения (4), удовлетворяющим граничному условию (5). Она определяет стоячие осесимметричные вол ны круглой мембраны. Решение исходной задачи (4)-(6) ищем в виде формального ряда (12) коэффициенты Ап и Вп которого определяются из начальных условий т.е. мы приходим к разложению данных функций /r) в ряды по функциям Бесселя. Нетрудно проверить, что при т ф п функции Jr) ортогональны на [0, го] с весом г.

Известно, что всякая функция Ф(, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье—Бесселя Колебания круглой мембраны Пользуясь этим, при достаточно гладких начальных условиях /(г) и F(r) получаем для коэффициентов Фурье—Бесселя функций /(г) и F(r) сле/^гощие формулы: Подставим найденные значения An и Bn в формулу (12). Если при этом ряд (12) сходится равномерно, так же как и ряды, получаемые из него двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов t и г, то мы получаем решение задачи (4)-(6).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнения математической физики в действии

Сегодня поговорим о примерах в дисциплине уравнения математической физики общими словами без погружения в сухой, академический язык и множества формул.

По шкале сложности для чистой математики эта дисциплина на мой субъективный взгляд получает 7/10. Но это не значит, что эти формулы легки для зазубривания и запоминания. Тем более говорить о том, что я могу сделать открытие в данной области которое попадет в учебники, например объясняя физику какого — либо нового процесса или уточняя уже существующий. Если подумать, то, например выбирая какой-либо параграф учебника по данному предмету, то он исписан формулами, которые если провести аналогию похож на модуль по программированию. Скажу сразу мне преподавали данный предмет очень плохо, не объясняя, что данные формулы значат, точнее заглавие было например: «Уравнение волны» или «Колебание мембраны», а дальше переписывали все формулы в параграфе с короткими комментариями что откуда, весьма скудными в полной тишине. Препод перелистывал страницы презентации и ходил туда-обратно пока мы переписывали. Видно, что не ему, ни мне это было не нужно, как бы для общего развития. Скорее всего надо было читать дополнительную литературу чтобы понять, но там уровень для подкованного студента, предметов было много и где-то были пробелы и особо не было времени на все распылиться. Ну это так, к слову. К слову, чем больше людей надо учить в промежутке времени, тем меньше времени уделяется каждому студенту и тем хуже уровень знаний у каждого студента, ну это в пределе.

Ну это было уже давно, лекций не осталось, практика забылась, из головы все выветрилось как талая вода. Вот пример волны наглядный:

Волна

Как бы это уравнение бегущей волны с незакрепленными концами. Я мало что знаю об волнах, даже на уровне физики школьного курса, что-то типа амплитуды, периода, волнового числа и всего такого. Волны бывают продольные, поперечные, сферические, спиральные и другие. Это я только что прочитал на википедии.

Данный код ниже представляет практический интерес.

Как видите есть две функции, ksi и fi, они заданы тригонометрическими функциями sin, cos. Они характеризуют нашу волну. Там же есть аргументы функций 15*x и 18*x. Если, например увеличивать число 15 или число 18, то количество холмов будет увеличиваться, по-умному это значит, что чем большее число мы впишем в скобки, тем самым мы увеличиваем количество периодов функций данных, которые уместятся в заданный промежуток числа x. При увеличении будет сжиматься график вдоль оси Ox.

Икс то мы не увеличивали, шаг остался тем же около 0.01. Если мы будем уменьшать данные аргументы, то количество полных периодов функций будет меньше и как бы график растянется вдоль оси Ox.

А если мы вынесем за скобки и будем увеличивать/уменьшать само значение функции, как на коде выше, то будет растягиваться/сжиматься вдоль оси ординат, то есть вдоль оси Oy. Что показано на графиках ниже.

Здесь растяжение настолько большое что не вмещается в рабочее пространство и надо увеличивать рабочее пространство сцены и отдалять наблюдательное око.

А ниже наоборот сжатие относительно оси ординат.

Дело в том, я вот заметил, что каждое объяснение волн очень сложное, трудно выстроить в голове какие-либо упорядоченные знания об этом. Но я решил, что буду заниматься теперь только самыми насущными вещами, а не чтением гуманитарных статеек в интернете. Я очень много времени потратил на безделье и чтение всяких новостей, я превратился в гуманитария и не заметил.

С другой стороны, а как реализовать эти знания и монетизировать их? Не думаю, что есть вакансии, с требованием к программисту рисовать волны в браузере.

А вот второй пример посложнее, где уравнение окружность:

Волновая окружность

Хотелось сделать такой круг с волнами в виде, который похож на ютубе видел, как анимация голосовых волн от микрофона, но не получилось.

Здесь также можно увеличивать аргумент или/и значение функции и будет весьма интересно просмотреть результат.

Перейдем к следующему примеру, это концентрические окружности с волновым движением по оси Y:

Псевдо-мембрана

Чем-то похоже на изделие №1. Тот же принцип, но уже по массиву колец изменяется график, все кольцо увеличивается и уменьшается на одно значение, а другое кольцо уже на другое.

Чтобы улучшить вид, надо уменьшить шаг до тысячной доли, увеличить размер массива vertices в 10 раз, тогда не будет видно разрезов и будет идеально.

Глаз в положении 0,0,2

Резюмируя, хочу сказать вот многие говорили: «Зачем эти синусы и косинусы нужны?»

Вот для этого и многих других вещей, я, например написал об этом здесь, кто-то еще что-то придумает получше. Хотя трудно найти веб-программиста-математика-физика-художника, адская смесь получается.

Да, статья получилась не особо научной и в некотором роде объективной, но надо было чем-то заполнить пространство между картинками, спасибо у меня все!