Колебательный контур вывод дифференциального уравнения

Лекция № 5 Свободные электромагнитные колебания

СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900

2.1 Свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур. Процессы в идеализированном колебательном контуре. Электромагнитные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Собственная частота свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре.

1. Свободные электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью и катушки индуктивностью .

Если сопротивление контура равно нулю, колебательный контур называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем, являются незатухающими.

Рассмотрим процесс возникновения свободных незатухающих колебаний в идеальном колебательном контуре. Чтобы возбудить колебания, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд, а потом замкнуть ключ К (рис.1).

Пусть в начальный момент времени () конденсатору сообщили некоторый заряд . При этом напряжение между его обкладками , напряженность электрического поля и энергия электрического поля – максимальны, а ток в цепи отсутствует (рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом разрядный ток, проходя через катушку , создает в ней изменяющееся магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигает максимального значения . При этом вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , а индукция магнитного поля достигает максимума (рис. 2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в колебательном контуре не прекращается и поддерживается э. д.с. самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений, однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности электрического поля между ними противоположны тем, какие были в начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2, г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается следующий период колебаний.

В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда конденсатора от времени , , на котором значениям заряда в моменты времени сопоставлены соответствующие состояния колебательного

контура (а; б; в; г; д).

Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания называются собственными или свободными.

Период собственных незатухающих колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона

, (5)

а циклическая частота

. (6)

Колебания заряда происходят по гармоническому закону

, (7)

где – максимальный заряд на обкладках конденсатора;

– циклическая частота собственных колебаний;

– начальная фаза.

На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный колебательный контур и график зависимости при .

Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается таким же законом

(8)

где – максимальное напряжение между обкладками конденсатора.

Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда на обкладках конденсатора,

(9)

где – амплитуда силы тока.

Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , т. е. ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа рис. 2 (а, б, в, г, д).

Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью и катушки индуктивности . Запишем для этого замкнутого контура второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э. д.с., действующих в контуре.

В контуре действует только одна э. д.с. – э. д.с. самоиндукции, следовательно

,

где – падение напряжения на конденсаторе;

– мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;

.

Так как , , то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть записано в виде

,

,

где – собственная циклическая частота контура.

Уравнение колебаний принимает вид

и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в дифференциальной форме.

Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид

,

т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при ).

Таким образом, свободные незатухающие электромагнитные колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой Томсона:

2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре

Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) , либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении). В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний осциллятора.

Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют стандартным образом. Для механических осцилляторов:

Колебательный контур

Чаще всего в контур включают конденсатор определенной емкости, катушку индуктивности, сопротивление и источник сторонних ЭДС. На рисунке показана общая схема:

При особом соотношении элементов в контуре могут возникать колебания. Тогда такая система получает название колебательного контура.

Собственные колебания контура

Если системе в начальный момент времени сообщили определенное количество энергии, то она начинает совершать собственные колебания.

Важно, что постоянный источник ЭДС при этом отсутствует.

Если собственные колебания вызваны наличием только квазиупругой силы, то они являются гармоническими.

Возьмем для примера ситуацию, когда в колебательном контуре отсутствует источник ЭДС. В таком случае уравнение колебательного контура можно записать в следующем виде:

d 2 I d t 2 + ω 0 2 I = 0 .

Решить уравнение можно, описав свободные колебания при сопротивлении, входящем в состав контура:

I ( t ) = e — β t ( A cos ω t + B sin ω t ) .

Здесь может быть указан косинус вместо синуса. В обоих случаях это будет верно, поскольку обе функции имеют соответствующий сдвиг. Если R > 2 L C , то изменения заряда нельзя считать колебаниями. Если β = 0 , то колебания в цепи становятся свободными. Если же β > 0 и потери энергии на сопротивление незначительны, то такие колебания будут гармоническими.

Заряд конденсатора, изменения которого нельзя считать колебаниями, называется апериодическим.

Решение задач с колебательным контуром

Условие: дана схема цепи с конденсатором емкостью С , резистором, сопротивление которого равно R , и генератором тока I ( t ) , который формирует ток следующего вида:

I ( t ) = 0 при t = 0 .

Запишите функцию данного конденсатора.

Решение

Для начала запишем формулу суммарного тока в цепи, воспользовавшись первым правилом Кирхгофа.

Здесь показателем I R , I C обозначаются те токи, которые текут через конденсатор, преодолевая сопротивление, а l – это ток, вырабатываемый генератором.

Поскольку на схеме указано параллельное соединение сопротивления и конденсатора, то запишем так:

Далее нам необходимы будут следующие формулы:

I R = U R , I C = C d U d t .

Подставим это значение в нужное уравнение и получим следующее:

C d U d t + U R = I → d U d t + 1 R C ( U — R I ) = 0 .

Примем напряжение на конденсаторе равным нулю при t = 0 в качестве изначального условия. Тогда установившееся на нем позже напряжение будет равно:

Решением уравнения станет запись следующего вида:

U ( t ) = U ‘ — ( U ‘ — U ( 0 ) ) e x p — t R C = I 0 R 1 — e x p — t R C .

Ответ: U ( t ) = I 0 R 1 — e x p — t R C .

Условие: дана схема электрической цепи. Сопротивление резистора на ней равно R , емкость конденсатора – C . Также в ней есть генератор постоянного напряжения. Сформулируйте зависимость напряжения на конденсаторе от времени ( U ( t ) ) после замыкания ключа при условии, что конденсатор не заряжен изначально.

Решение

Зная второе правило Кирхгофа, мы можем записать следующее:

Здесь показатели U C , U R выражают напряжение на сопротивлении и конденсаторе.

Также нам известно, что:

U R = R I R , I C = C d U C d t .

На рисунке мы видим последовательное соединение элементов цепи, значит:

I ( t ) = I R = I C .

Выбрав направление обхода контура и учитывая все нужные формулы, получим:

U C + R C d U C d t = ε → d U C d t + 1 R C ( U C — ε ) .

Вспомним начальные условия:

Следовательно, решением данного уравнения является функция U C ( t ) = ε 1 — e — t R C .

Ответ: U C ( t ) = ε 1 — e — t R C .

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания

Главная > Теория > Резонансная частота: формула

Для генерации высокочастотных волн часто применяются схемы на основе колебательного контура. Подобрав параметры элементов цепи, можно производить частоты свыше 500 МГц. Схемы используются в ВЧ-генераторах, высокочастотном нагреве, телевизионных и радиоприемниках.

Колебательный контур

Колебательный контур

Колебательный контур – это последовательное или параллельное соединение индуктивных и конденсаторных элементов, генерирующих электромагнитные колебания любой заданной частоты. Оба компонента схемы способны хранить энергию.

Когда существует разность потенциалов на конденсаторных пластинах, он сохраняет энергию электрического поля. Аналогично энергия сохраняется в магнитном поле индуктивной катушки.

Работа колебательного контура

Когда первоначально конденсатор подключается к источнику постоянного тока, на нем возникает разность потенциалов. Одна пластина имеет избыток электронов и заряжена отрицательно, другая – недостаток электронов и заряжена положительно.

Что будет, если в цепь включить индуктивную катушку:

1. При замыкании контакта, соединяющего электроцепь, конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности. Накопленная им энергия электрического поля снижается;
2. Ток, протекающий через катушку L, индуцирует ЭДС, противостоящую потоку электронов. Из-за этого скорость нарастания тока медленная. В катушке создается магнитное поле, которое начинает накапливать свою энергию. После полного разряда конденсатора поток электронов через катушку уменьшается до нуля. Электростатическая энергия, накопленная в конденсаторе, преобразуется в энергию магнитного поля катушки;
3. Когда конденсатор разряжен, магнитное поле начинает постепенно разрушаться, но, согласно закону Ленца, индукционный ток катушки способствует заряду конденсатора с противоположной полярностью. Энергия, связанная с магнитным полем, снова превращается в электростатическую;

Важно! В идеальном случае, когда нет потерь на L и С, конденсатор зарядился бы до первоначального значения с противоположным знаком.

1. После того, как уменьшающееся магнитное поле перезарядило конденсатор, он снова начинает разряжаться с потоком тока обратной направленности, а МП опять нарастает.

Последовательность зарядки и разрядки продолжается, то есть процесс преобразования электростатической энергии в магнитную и наоборот периодически повторяется, подобно маятнику, у которого потенциальная энергия циклически превращается в кинетическую и обратно.

Непрерывный процесс зарядки и разрядки приводит к меняющему направление движению электронов или к колебательному току.

Обмен энергией между L и С будет продолжаться бесконечно, если отсутствуют потери. Часть энергии теряется, рассеиваясь в виде тепла на проводах катушки, соединительных проводниках, из-за тока утечки конденсатора, электромагнитного излучения. Поэтому колебания будут затухающими.

Как работает контур колебаний

Работа контура колебаний основана на циклическом преобразовании энергии индуктивности в качественный показатель эффективности конденсатора и наоборот. Допустим, что конденсатор полностью заряжен и энергия, запасенная в нем, максимальна. При подключении его к катушке индуктивности, он начинает разряжаться. При этом, через индуктивность начинает протекать ток, вызывающий появление ЭДС самоиндукции, направленную на уменьшение протекающего тока. Это означает, что начинается процесс перезарядки конденсатора. В тот момент, когда энергия прибора становится равной нулю, та же величина для катушки максимальна.

Далее, энергия индуктивности снижается, расходуясь на заряд емкости с противоположной полярностью. После уменьшения показателя коэффициента самоиндукции до нуля, на конденсаторе она опять имеет максимальное значение.

Вам это будет интересно Особенности конденсатора

Процессы в системе

Важно! В идеальном случае, данный процесс способен протекать бесконечно. В реальных устройствах колебание затухает со скоростью, пропорциональной потерям в цепи проводников.

Вне зависимости от величины энергии, наличия потерь, частота колебаний постоянна и зависит только от значений параметров коэффициента самоиндукции и емкости. Данная величина называется резонансной. Формула резонанса учитывает значение величины емкости и индуктивности контура колебаний.

При воздействии на электрическую цепь с катушкой внешним сигналом с частотой, равной резонансной, амплитуда изменения положения частиц резко возрастает. Резонанс отсутствует при несовпадении частот. Из-за предельных значений электрическую цепь с катушкой индуктивности часто называют резонансной.

Потери в цепи с катушкой индуктивности (потери в диэлектрике конденсатора, сопротивление самого устройства, соединительных проводов) ограничивают величину предельных изменений направления частиц. В следствие этого, введена характеристика электроцепи, именуемая добротностью. Добротность обратно пропорциональна предельной величине потерь.

Зависимость предельной частоты от добротности

Важно! Снижение добротности приводит к тому, что предел изменения направлений наступает не только на основной частоте, но и на некотором приближении к ней, то есть, в некоторой полосе частот, где резонансное значение находится посередине. Чем выше добротность, тем более узкой становится полоса частот.

Резонанс

Если схема с конденсатором, катушкой и резистором возбуждается напряжением, постоянно меняющимся во времени с определенной частотой, то также изменяются реактивные сопротивления: индуктивное и емкостное. Амплитуда и частота выходного сигнала будет изменяться по сравнению с входным.

Частота вращения: формула

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте:

а емкостное сопротивление обратно пропорционально этому показателю:

X(C) = 1/(2π x f x C).

Важно! На более низких частотах индуктивное сопротивление незначительное, а емкостное будет высоким и сможет создавать практически разомкнутый контур. На высоких частотах картина обратная.

При конкретной комбинации конденсатора и катушки схема становится резонансной, или настроенной, имеющей частоту колебаний, при которой индуктивное сопротивление идентично емкостному. И они компенсируют друг друга.

Следовательно, в цепи остается исключительно активное сопротивление, противостоящее протекающему току. Созданные условия получили наименование резонанса колебательного контура. Фазовый сдвиг между током и напряжением отсутствует.

Для расчета резонансной частоты колебательного контура учитывается следующее условие:

Следовательно, 2π x f x L = 1/(2πx f x C).

Отсюда получается формула резонансной частоты:

Расчет резонансной частоты, индуктивности и емкости можно сделать на онлайн калькуляторе, подставив конкретные значения.

Скорость, с которой рассеивается энергия от LC-схемы, должна быть такой же, как энергия, подаваемая на схему. Устойчивые, или незатухающие, колебания производятся электронными схемами генераторов.

LC-цепи используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения частотного сигнала из более сложного. Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, в частности радиооборудования, используемого в генераторах, фильтрах, тюнерах и частотных микшерах.

Формула индуктивности

Расчет резонанса колебательного контура производится на основании значений емкости и индуктивности. Как правило, емкость конденсатора является постоянной величиной, за исключением случаев использования переменных устройств в перестраиваемых электроцепях. Коэффициент самоиндукции катушки зависит от многих факторов:

• Количество и расположение витков обмотки;
• Наличие или отсутствие сердечника;
• Материал сердечника.

Общей формулы для определения индуктивности катушки колебательного контура не существует. Для расчетов используют формулы, соответствующие форме катушки. К сожалению, все формулы определения качественной величины электрической цепи с подсоединённой к ней катушкой индуктивности позволяют производить только приблизительные расчеты.

Вам это будет интересно Особенности измерения яркости света

Приборы индуктивности различных типов

Важно! Для того, чтобы получить катушку с заданными параметрами, приходится принимать дополнительные меры, например, производить подстройку коэффициента самоиндукции путем изменения длины сердечника или корректировки расстояния между витками в однорядных катушках.

Свободные электрические колебания в параллельном контуре.

Основные свойства индуктивности:

— Ток, протекающий в катушке индуктивности, создаёт магнитное поле с энергией . — Изменение тока в катушке вызывает изменение магнитного потока в её витках, создавая в них ЭДС, препятствующую изменению тока и магнитного потока.

Период свободных колебаний контура LC

можно описать следующим образом:

Если конденсатор ёмкостью C

заряжен до напряжения
U
, потенциальная энергия его заряда составит. Если параллельно заряженному конденсатору подключить катушку индуктивности
L
, в цепи пойдёт ток его разряда, создавая магнитное поле в катушке.

Магнитный поток, увеличиваясь от нуля, создаст ЭДС в направлении противоположном току в катушке, что будет препятствовать нарастанию тока в цепи, поэтому конденсатор разрядится не мгновенно, а через время t

1, которое определяется индуктивностью катушки и ёмкостью конденсатора из расчёта
t
1 = . По истечении времени
t
1, когда конденсатор разрядится до нуля, ток в катушке и магнитная энергия будут максимальны. Накопленная катушкой магнитная энергия в этот момент составит. В идеальном рассмотрении, при полном отсутствии потерь в контуре,
EC
будет равна
EL
. Таким образом, электрическая энергия конденсатора перейдёт в магнитную энергию катушки.

Изменение (уменьшение) магнитного потока накопленной энергии катушки создаст в ней ЭДС, которая продолжит ток в том же направлении и начнётся процесс заряда конденсатора индукционным током. Уменьшаясь от максимума до нуля в течении времени t

2 =
t
1, он перезарядит конденсатор от нуля до максимального отрицательного значения (
-U
). Так магнитная энергия катушки перейдёт в электрическую энергию конденсатора.

Описанные интервалы t

1 и
t
2 составят половину периода полного колебания в контуре. Во второй половине процессы аналогичны, только конденсатор будет разряжаться от отрицательного значения, а ток и магнитный поток сменят направление. Магнитная энергия вновь будет накапливаться в катушке в течении времени
t
3, сменив полярность полюсов.

В течении заключительного этапа колебания (t

4), накопленная магнитная энергия катушки зарядит конденсатор до первоначального значения
U
(в случае отсутствия потерь) и процесс колебания повторится.

В реальности, при наличии потерь энергии на активном сопротивлении проводников, фазовых и магнитных потерь, колебания будут затухающими по амплитуде. Время t

1 +
t
2 +
t
3 +
t
4 составит период колебаний . Частота свободных колебаний контура ƒ = 1 /
T
Частота свободных колебаний является частотой резонанса контура, на которой реактивное сопротивление индуктивности XL=2πfL

равно реактивному сопротивлению ёмкости
XC=1/(2πfC)
.

Расчёт частоты резонанса LC-контура:

Предлагается простой онлайн-калькулятор для расчёта резонансной частоты колебательного контура.

Необходимо вписать значения и кликнуть мышкой в таблице. При переключении множителей автоматически происходит пересчёт результата.

Расчёт ёмкости:

Расчёт индуктивности:

Похожие страницы с расчётами:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

— электрическая цепь, в которой могут возникать колебания с частотой, определяемой параметрами цепи.

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно или последовательно.

– реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать электрическую энергию. — Катушка индуктивности
L
– реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать магнитную энергию.