Колебательный процесс его уравнение и параметры

Параметры колебательного процесса и их определение

Любые отклонения физического тела или параметра его состояния, то в одну, то в другую сторону от положения равновесия называется колебательным движением или просто колебанием. Колебательное движение называется периодическим, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Гармоническими называются колебания, совершающиеся по закону sin или cos.

Они совершаются под действием квазиупругих сил, т.е. сил, пропорциональных смещению F=–kx

Основными характеристиками колебаний являются:

1. Смещение (s) – это расстояние, на которое отклоняется колеблющаяся система в данный момент времени, от положения равновесия.

2. Амплитуда (А) – максимальное смещение.

3. Период (Т) – время одного полного колебания.

4. Линейная частота (ν) – это число колебаний в единицу времени, измеряется в Гц – это одно колебание в сек. ν=1/Т.

5. Циклическая или круговая частота (ω) рад/сек. Она связана с линейной частотой следующей зависимостью: ω =2πν.

6. Фаза колебания (j) характеризует состояние колеблющейся системы в любой момент времени: j= ωt+j₀, j₀ – начальная фаза колебания.

26. Колебания подпрыгивания кузова вагона. Трение в рессорном подвешивании отсутствует.

Рассмотрим систему с линейным (вязким) сопротивлением в РП

где .

Уравнение подпрыгивания и галопирования идентичны как в левых так и в правых частях, с учетом этого рассмотрим случай колебания подпрыгивания когда профиль пути синусоидальный (i=1), трение в РП отсутствует ( ).

Тогда уравнение (1) примет вид

Решение этого неоднородного уравнения составляет

.

где — общее решение однород ур-я (без правой части);

— частное решение неоднор. уравнен.

Общее решение однор. ур-я получим при решении ур-я собствен колебаний без трения:

где Е,φ – амплитуда и нач фаза собственных колебаний, определяемые из нач. условия. ω – собственная круговая частота колебаний, рад/с.

Частное решение найдём в форме правой части

,

где М₁ – const подлежащая определению,

р₁ – круговая частота вынужденных колебаний.

Определяем производные и подставим в выражение (2):

Это уравнение является тождеством, когда + .

Отсюда .

Полное решение всего неоднородного уравнения приобретает вид

27.Колебания подпрыгивания кузова вагона. Демпфирование умеренное

Множитель обуславливает периодическое движение. Множитель обуславливает затухание колебаний с ростом t. Период колебаний:

;

Где период затухания колебаний

-круговая частота затухающих собственных колебаний.

Период остается неизменным все рассматриваемое время

Темп затухания колебаний определим как отношение двух последовательных размахов за один период (декремент)

Отсюда следует, что затухание колебаний происходит по закону геометрической прогрессии.

28.Колебания подпрыгивания кузова вагона. Демпфирование критическое v=ω

v=ω Движение теряет периодичность и становится лимитационным (т.е. колебаний нет). Демпфирование соотв. этому случаю называется критическим демпфированием.

По нормам проектирования рациональными величинами будут:

— для вертикальных колебаний β=(0,3…0,4)β_кр;

Гармонические колебания

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания

Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания.

Колебанием называется процесс точно или приблизительно повторяющийся через определенные промежутки времени.

Особенность колебаний — обязательное наличие на траектории положения устойчивого равновесия, в котором сумма всех сил, действующих на тело равна нулю называется положением равновесия.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Параметры колебательного движения.

1. Смещение или координата (x) – отклонение от положения равновесия в данный

2. Амплитуда (Xm) – максимальное отклонение от положения равновесия.

3. Период колебаний (T) – время, за которое совершается одно полное колебание.

4. Частота (линейная) (n) – число полных колебаний за 1 с.

[n] = Гц

5. Циклическая частота (w ) – число полных колебаний за 2p секунд, т. е. приблизительно за 6,28 с.

w = 2pn ; [w] =.

6. Фаза колебаний (j) показывает какая часть периода в угловой мере прошла от начала колебаний.

Тень на экране колеблется.

Уравнение и график гармонических колебаний.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

x = X m sin ( w t + j0 )

Xm – амплитуда колебаний,

w – циклическая частота,

w t +j0 = j – фаза колебаний,

j0 – начальная фаза колебаний.

Графики отличаются только амплитудой

Графики отличаются только периодом (частотой)

Графики отличаются только начальной фазой

Виды колебаний. Резонанс.

Свободные и вынужденные колебания.

Колебания могут возникать как под действием сил, действующих внутри системы(внутренних), так и под действием внешних сил.

4. Колебания, возникающие под действием периодически изменяющихся внешних сил называются

5. Колебания, возникающие под действием внутренних сил называются свободными.

Частным случаем свободных колебаний являются собственные колебания. Это модель колебаний не учитывающая силу трения.

Условия возникновения свободных колебаний:

1. Наличие избыточной энергии по сравнению с положением равновесия.

2. Наличие возвращающей силы, направленной в сторону положения равновесия.

Если амплитуда колебаний уменьшается с течением времени, колебания называются затухающими .

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы расходуется на преодоление трения. Поэтому свободные колебания всегда затухают.

Если амплитуда колебаний не изменяется течением времени, колебания называются незатухающими.

Собственные колебания не учитывают трения, полная механическая энергия системы, остается постоянной: Eк + Eп = Eмех = const.

Собственные колебания незатухающие.

При вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, и колебания могут быть незатухающими.

Кинетическая и потенциальная энергия тела при колебаниях переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия, наоборот.

Частота свободных колебаний определяется параметрами колебательной системы.

Частота вынужденных колебаний определяется частотой действия внешней силы. Амплитуда вынужденных колебаний тоже зависит от внешней силы.

Резонансом называется резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты действия внешней силы с частотой собственных колебаний системы.

При совпадении частоты w изменения силы с собственной частотой w0 колебаний системы сила в течение всего совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний тела. При любой другой частоте в течение одной части периода сила совершает положительную работу, а в течение другой части периода — отрицательную.

При резонансе рост амплитуды колебаний может привести к разрушению системы.

В 1905 году под копытами эскадрона гвардейской кавалерии рухнул Египетский мост через реку Фонтанку в Петербурге.

Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменой силы.

В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.

От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Автоколебательную систему обычно можно разделить на три элемента:

1) колебательную систему;

2) источник энергии;

3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему.

Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время.

Примером механической автоколебательной системы могут служить часы с маятником.