Количество корней уравнения в зависимости от параметра

Количество корней уравнения в зависимости от параметра

Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.

Найдём количество решений уравнения

в зависимости от $$ a$$.

Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций

График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y=_<1>\left(x\right)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ f\left(0\right)=\sqrt<5>$$.

Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y=_<1>\left(x\right)$$, при $$ a=3$$ и $$ a\in [0;\sqrt<5>)$$ есть две точки пересечения, а при $$ a\in [\sqrt<5>;3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=\sqrt<5>$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.

При $$ a\in (-\infty ;0)\bigcup (3;+\infty )$$ решений нет, при $$ a\in [0;\sqrt<5>)\bigcup \left\<3\right\>$$ – два решения, при $$ a\in \left\<\sqrt<5>\right\>$$ – три решения, при $$ a\in (\sqrt<5>;3)$$ – четыре решения.

Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:

Методом интервалов нетрудно построить график функции

Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ f\left(x\right)=a$$ (рис. 44).

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

При $$ a\in (8;+\infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ a\in (-\infty ;8)$$ решений нет.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Найдём количество решений системы уравнений

в зависимости от $$ a$$.

Для решения необходимо построить график уравнения $$ \left|x\right|+\left|y\right|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:

График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ \left|a\right|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.

Как видим, при $$|a| 4$$ графики не пересекаются. При $$ \left|a\right|=2\sqrt<2>$$ или $$ \left|a\right|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.

При $$ a\in (-\infty ;-4)\cup (-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>)\cup (4;+\infty )$$ система не имеет решений;

при $$ a\in \<-4;-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>;4\>$$ система имеет 4 решения;

при $$ a\in (-4;-2\sqrt<2>)\cup (2\sqrt<2>;4)$$ система имеет 8 решений.

В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный максимум в точке $$ _<0>$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=\sqrt$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$\dfrac3<16>\leq a 1/4` они не имеют общих точек.

Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система

имеет хотя бы одно решение.

Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ ^<2>-8\left|x\right|+16+^<2>-8\left|y\right|+16\le 1$$ или $$ \left(\right|x|-4<)>^<2>+(\left|y\right|-4<)>^<2>\le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ _<1>$$, $$ _<2>$$, $$ _<3>$$, $$ _<4>$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ _<1>(4;4)$$, $$ _<2>(4;-4)$$, $$ _<3>(-4;-4)$$, $$ _<4>(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде

Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ \left|a\right|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$ в направлении точек $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$. Пусть $$ _<1>$$ и $$ _<1>$$ – точки пересечения $$ _<1>$$ и окружности с центром $$ _<1>$$, $$ _<2>$$ и $$ _<2>$$ – точки пересечения $$ _<2>$$ и окружности с центром $$ _<2>$$. Тогда из геометрических соображений имеем:

При $$ 4\le \left|a\right|\le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ <\omega >_<1>$$ , а при $$ \sqrt<41>-1\le \left|a\right|\le \sqrt<41>+1$$ – с кругом $$ <\omega >_<2>$$.

а) Если $$b 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 1$$. Если $$b > 1$$, то $$\sqrt Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|^<2>-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 0$$).

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;

– три корня при `4/5

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода — рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ ^<2>+^<2>=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ \sqrt<3>$$ (см. рис. 52).

Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ \Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=\sqrt$$.

Отметим, что при $$a Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ \Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=\sqrt<20>\pm \sqrt<3>$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (\sqrt<20>-\sqrt<3>;\sqrt<20>+\sqrt<3>)$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ \Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ \Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ \Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ \Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.

1) $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3 \sqrt <20>+ \sqrt<3>$$), т. е. у системы 1 решение.

Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда искомые значения параметра $$ a=<3>^<2>=9$$ и $$ a=(\sqrt<20>+\sqrt<3><)>^<2>=23+4\sqrt<15>$$.

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
• \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

«Методы решения задач с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»

Выступление на заседании МО

Методы решения задач

Прокушева Наталья Геннадьевна

г. Лодейное Поле

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры – первыми: a , b , c , …

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

Основные методы решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами вида

Если , уравнение имеет единственное решение.

Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .