Количество корней в биквадратном уравнении

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Биквадратные уравнения и его корни

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока алгебры в 8 классе.

Тема – «Биквадратное уравнение и его корни».

образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать число корней биквадратного уравнения;

воспитательная: формировать умение работать в группах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;

развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Открытие детьми темы урока (кроссворд).

4. Постановка детьми целей урока.

5. Самостоятельная работа.

6. Итог самостоятельной работы.

7. Пример решения биквадратного уравнения.

10. Итоги исследования.

11. Задание на дом.

— Здравствуйте, ребята! Начинаем урок. Сегодня на уроке вы будете исследователями, свои исследования будете проводить в группах. Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого «Ум человеческий только тогда понимает общения, когда он сам его сделал или проверил».

— В начале для разминки выполним устные упражнения:

1) Решить уравнения: х 2 = 81, а 2 = 16, у 2 = 1, в 2 = 0, с 2 = 23, р 2 = — 25, к 2 = — 16, х 2 = . 2) Что записано на доске? ( уравнения )

6 – х = 0

— Какое уравнение лишнее? (лишнее уравнение . 1, 2 и 4 уравнения – квадратные)

-Как называется первое уравнение? ( неполное квадратное )

-Назовите способ решения ( вынесение общего множителя )

— Как называется второе и четвертое уравнения ( приведенное квадратное уравнение )

-Назовите способ решения ( по теореме Виета ). Сформулируйте теорему.

— Для того чтобы узнать как называется третье уравнение, давайте разгадаем кроссворд.

Третья степень числа. ( Куб )

Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. ( Дискриминант )

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. ( Корень )

Уравнения, имеющие одинаковые корни. ( Равносильные )

Равенство с переменной. ( Уравнение )

Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. ( Приведенное )

Многочлен в правой части квадратного уравнения. ( Трехчлен )

Равенство, содержащее числа и переменные. ( Формула )

Французский математик. ( Виет )

Числовой множитель — в произведении. ( Коэффициент )

Один из видов квадратного уравнения. ( Неполное )

Множество корней уравнения. ( Решения )

— Прочитайте слово, которое получилось в выделенной горизонтальной строке.

(Биквадратное). Третье уравнение называется биквадратным.

— Теперь вы можете сказать, какова тема нашего урока.

( Тема урока «Биквадратное уравнение»). Открываем тетради, записываем число, тему урока.

— Какие цели мы можем поставить перед собой на урок? У вас на столах есть цветные треугольники, на них вы напишите цели, какие вы определяете для своей группы на данный урок и в этом вам поможет список целей для любого урока.

Каждая группа озвучивает свои цели, прикрепляет на доске.

— Переходим к работе, работа с учебником по определенному плану.

План самостоятельной работы:

Прочитайте определение БУ (учебник № 435, стр. 110)

Запишите определение в тетрадь

Существенно ли замечание, что а не равно нулю

Разберите решенное уравнение

На листе А-3 распишите алгоритм решения биквадратного уравнения.

Обсудите составленный алгоритм в группе

Дайте сигнал о готовности.

Тому, кто закончит быстрее всех, предложить решить биквадратное уравнение.(№ 435, б)

6. Итог самостоятельной работы.

— Итак, что же вы узнали?

(Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0, где а ≠ 0).

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

( Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным)).

— Какой алгоритм решения биквадратного уравнения вы записали?

(Каждая группа проговаривает что они записали и вывешивает на доску).

Для проверки ребятам раздаются правильный вариант АЛГОРИТМА решения уравнения.

Алгоритм решения биквадратного уравнения.

Ввести замену переменной: пусть у 2 =х

Составить квадратное уравнение с новой переменной:

Решить новое квадратное уравнение.

Вернуться к замене переменной.

Решить получившиеся квадратные уравнения

Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

— Вы, наверное устали, взбодримся. Группы учащихся становятся друг перед другом в цепочку, взявшись за руки возле доски. В начале цепи, на равном расстоянии стоит ведущий (учитель) и держит за руку участника из каждой цепи.

Все играют молча. Ведущий одновременно сжимает руку каждого участника (подает сигнал). Получив сигнал, он должен сжать руку своему соседу. Таким образом, сигнал передается по всей цепи. Задача, чтобы сигнал быстрее был передан и загорелась лампочка, последний в цепи (поднимает руку).

— Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение. Каждая группа получит по три уравнение и решает их. А потом мы сделаем выводы о том, сколько корней имеют биквадратные уравнения.( Учитель раздаёт уравнения: х 4 -10х 2 +9=0, 2х 4 –х 2 -1=0, х 4 +5х 2 +4=0, 2х 4 +5х 2 +4=0, х 4 -8х 2 +16=0, х 4 +8х 2 +16=0.)

— Итак, что получилось?

1группа показывает решение у доски.

— х 4 -10х 2 +9=0. У нас получился дискриминант положительный, значит, квадратное уравнение имеет 2 корня, корни тоже положительные, значит всего 4 корня.

— х 4 +5х 2 +4=0. Дискриминант квадратного уравнения положительный, но корни отрицательные, значит, биквадратное уравнение не имеет корней.

— Уравнение х 4 +8х 2 +16=0 не имеет корней, т.к. хотя и Д=0, но корень-то отрицательный.

+ 2х 4 –х 2 -1=0. Дискриминант положительный, один корень положительный, а другой отрицательный, значит, биквадратное уравнение имеет 2 корня.

+ 2х 4 +5х 2 +4=0. А у нас дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет корней.

+ Уравнение х 4 -8х 2 +16=0 имеет 2 корня, т.к. квадратное уравнение имеет 1 корень (Д=0).

9. Итог исследования. Из рассмотренных примеров видно, что биквадратное уравнение может иметь четыре, три, два, один действительный корень, но может и не иметь корней. (Биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений)

Итоги исследования оформляем в таблицу.

10. Итог урока. Метод «Какой путь прошли?»

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог. ( Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ступни. Задача группы – написать о том, что понравилось, что не понравилось на уроке, достигли ли поставленных целей на урок? После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются).

-Провести исследование может ли БУ иметь ровно 3 корня? 1 корень?

— Почему уравнения такого вида называются биквадратными? Что означает приставка «би» к известному термину «квадратное уравнение»?

1. Третья степень числа.

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения.

3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.

4. Уравнения, имеющие одинаковые корни.

5. Равенство с переменной.

6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю.

7. Многочлен в правой части квадратного уравнения.

8. Равенство, содержащее числа и переменные.

9. Французский математик.

10. Числовой множитель — в произведении.

11. Один из видов квадратного уравнения.

12. Множество корней уравнения.

Список целей урока

Изучить материал модулей.

Составить собственное представление о предлагаемом объекте.

Усвоить основные понятия темы.

Выполнить самостоятельно исследование по данной теме.

Проявить и развить свои способности (назвать их).

Научиться аргументированно спорить, доказывать и опровергать утверждения педагога.

План самостоятельной работы:

Прочитайте определение БУ (учебник № 435, стр. 110)

Запишите определение в тетрадь

Существенно ли замечание, что а не равно нулю

Разберите решенное уравнение

Составьте алгоритм решения этого уравнения и запишите его

Обсудите составленный алгоритм в группе

Дайте сигнал о готовности.

Краткое описание документа:

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме «Биквадратные уравнения и его корни». Изучение математики в 8 классе ведется по Программе для общеобразовательных учреждений. Основная школа. Алгебра, VII – IX классы, под редакцией Г. В. Дорофеева, С. Б. Суворова и др. Данная тема включена в главу «Квадратные уравнения». Содержание урока соответствует учебной программе, поставленным задачам, способствовало формированию умения решать биквадратные уравнения. Учащиеся не в первый раз работали с введением замены. Содержание урока способствовало развитию аналитического мышления.Основной этап урока – организация деятельности, направленная на получение знаний и способов действий.Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.Форма урока: урок-исследование.План урока.1. Организационный момент.2. Актуализация знаний.3. Открытие детьми темы урока (кроссворд).4. Постановка детьми целей урока.5. Самостоятельная работа (работа с учебником по плану).6. Итог самостоятельной работы.7. Пример решения биквадратного уравнения.8. Разминка (из копилочки активных методов обучения)9. Исследование.10. Итоги исследования.11. Задание на дом.12. Итог урока(из копилочки активных методов обучения).

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

Для решения биквадратных уравнений x 2 заменяется на любую другую букву, например, на y, то есть:

Следовательно, относительно y, уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.

Пример. Решить уравнение:

Решение: Заменяем x 2 на y, чтобы получить квадратное уравнение:

D = b 2 — 4ac = (-10) 2 — 4 · 1 · 9 = 100 — 36 = 64, D > 0.