Количество решений уравнений на графике
Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.
Найдём количество решений уравнения
в зависимости от $$ a$$.
Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций
График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y=
Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y=
При $$ a\in (-\infty ;0)\bigcup (3;+\infty )$$ решений нет, при $$ a\in [0;\sqrt<5>)\bigcup \left\<3\right\>$$ – два решения, при $$ a\in \left\<\sqrt<5>\right\>$$ – три решения, при $$ a\in (\sqrt<5>;3)$$ – четыре решения.
Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:
Методом интервалов нетрудно построить график функции
Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ f\left(x\right)=a$$ (рис. 44).
Проанализировав график, несложно выписать ответ.
При $$ a\in (8;+\infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ a\in (-\infty ;8)$$ решений нет.
Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Найдём количество решений системы уравнений
в зависимости от $$ a$$.
Для решения необходимо построить график уравнения $$ \left|x\right|+\left|y\right|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:
График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ \left|a\right|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.
Как видим, при $$|a| 4$$ графики не пересекаются. При $$ \left|a\right|=2\sqrt<2>$$ или $$ \left|a\right|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.
При $$ a\in (-\infty ;-4)\cup (-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>)\cup (4;+\infty )$$ система не имеет решений;
при $$ a\in \<-4;-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>;4\>$$ система имеет 4 решения;
при $$ a\in (-4;-2\sqrt<2>)\cup (2\sqrt<2>;4)$$ система имеет 8 решений.
В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный максимум в точке $$
Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система
имеет хотя бы одно решение.
Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$
Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ \left|a\right|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$
При $$ 4\le \left|a\right|\le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ <\omega >_<1>$$ , а при $$ \sqrt<41>-1\le \left|a\right|\le \sqrt<41>+1$$ – с кругом $$ <\omega >_<2>$$.
а) Если $$b 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 1$$. Если $$b > 1$$, то $$\sqrt Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.
Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение
Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.
Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.
При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a
Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;
– три корня при `4/5
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода — рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$
Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ \Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=\sqrt$$.
Отметим, что при $$a Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ \Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=\sqrt<20>\pm \sqrt<3>$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (\sqrt<20>-\sqrt<3>;\sqrt<20>+\sqrt<3>)$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ \Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ \Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ \Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ \Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.
1) $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3 \sqrt <20>+ \sqrt<3>$$), т. е. у системы 1 решение.
Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда искомые значения параметра $$ a=<3>^<2>=9$$ и $$ a=(\sqrt<20>+\sqrt<3><)>^<2>=23+4\sqrt<15>$$.
На рис. изображён график функции y=F (x)
323077. На рисунке изображён график функции y=F (x) — одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой на интервале (–3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке [–2;4].
Необходимо определить сколько имеется точек на данном графике, в которых F′(x) = 0. Мы знаем, что производная равна нулю в тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси ох. Покажем эти точки на интервале [–2;4]:
Это точки экстремума данной функции F (x). Их десять.
Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств
п.1. Количество корней кубического уравнения
Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.
Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:
1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня | 2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня |
3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень | 4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень |
п.2. Количество корней произвольного уравнения
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac<1>
1) ОДЗ: \(x\ne\left\<0;1;3\right\>\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac<1>
Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) — три корня
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt
Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt<8>=2\sqrt<2>,\ f(5)=\sqrt<4>+0=2\)
Первая производная: \begin
\(x\) | 1 | (1; 7/3) | 7/3 | (7/3; 5) | 5 |
\(f'(x)\) | ∅ | + | 0 | — | ∅ |
\(f(x)\) | \(2\sqrt<2>\) | \(\nearrow \) | max \(2\sqrt<3>\) | \(\searrow \) | 2 |
Можем строить график:
\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:
$$ a\lt 2 $$ | нет решений |
$$ 2\leq a\lt 2\sqrt <2>$$ | 1 решение |
$$ 2\sqrt<2>\leq a\lt 2\sqrt <3>$$ | 2 решения |
$$ a=2\sqrt <3>$$ | 1 решение |
$$ a\gt 2\sqrt <3>$$ | нет решений |
По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt<3>\).
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство \(\frac<2+\log_3 x>
Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)
Получаем совокупность: \begin
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac<3><2x-1>\right)’=\frac<3><(2x-1)^2>\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-\frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)
http://matematikaege.ru/proizvodnaya/323077-na-risunke-izobrazhyon-grafik-funkcii-y-fx.html
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/primenenie-proizvodnoj-dlya-resheniya-nelinejnyh-uravnenij-i-neravenstv/