Количество уравнений лагранжа второго рода равно

iSopromat.ru

Уравнения Лагранжа второго рода, которые представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат.

Для такой системы можно записать s уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q₁, q₂,…q_s.

Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Уравнение Лангранжа второго рода

Уравнение Лагранжа типа 2 1°.Обобщенная координата. Обобщенная сила. Рассмотрим систему материальных точек, подчиненных идеальной голономной связи. Обобщенные координаты-это независимые параметры, однозначно определяющие расположение точек материальной системы. Число степеней свободы в системе масс, подчиненных идеальным и голономным отношениям, будет равно числу независимых обобщенных координат. Механизм касания

и рукоятки система с 1 степенью freedom. As обобщенные координаты можно принять за угол поворота кривошипа, величина которого однозначно определяет расположение всех важных точек системы. Механизм дифференцирования конуса (рис. 157) представляет собой систему материальных точек с 2 степенями freedom. As независимая обобщенная координата, вы можете выбрать угол поворота

Полезная сила сопротивления приложена к барабану, с моментом направленным в противоположное направление к вращению барабанчика. Людмила Фирмаль

3. Радиус-вектор hl дает положение N-й материальной точки системы со степенями свободы, но в случае нестационарных соотношений он является функцией обобщенных координат и времени. И Да. О Рисунок 157. 400 к несчастью. Радиус города: барабан вращается вокруг неподвижной оси С, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберите обобщенные координаты и определите соответствующие обобщенные силы. Нити считаются

расширяемыми, а их масса игнорируется. Коэффициент трения скольжения груза по наклонной плоскости равен/. Поэтому уравнения движения для целевой системы были составлены с использованием уравнений общей динамики в задаче 396 и 2 методов использования уравнений Лагрейджа в этой задаче. Сравнение двух приведенных методов показывает преимущества использования уравнения Лагранжа. Решите задачу n используя

уравнение Лагранжа вместо формального введения сил инерции материальных точек системы и приведения их к простейшему виду и вычисления работы пары сил инерции относительно возможного смещения точек системы Необходимо найти обобщенную силу, составляющую лишь выражение кинетической энергии материальной системы и последующий расчет ее дифференциала.

а угол a ом и на-стержне Людмила Фирмаль

(2). Форекс-2С /(1-соз а). (2） Дадим контроллеру общее возможное смещение Sep и Sa, направленное на соответствующее увеличение угла поворота. Чтобы вычислить обобщенную силу, 8A возможно смещение, предполагая ноль, 8? ^ 0,8 а = 0. Это означает, что если угол a, образованный вертикальным стержнем OM и ON, постоянен, то регулятор получил угловое смещение 8

вычисления обобщенной силы Qa зададим регулятору возможное смещение 8a, учитывая, что возможное смещение 8

Знак минус указывает на то, что возможное движение муфты B вверх, если sin равно 8. Вычислить сумму работы заданной силы на возможном пересечении точек системы, соответствующей обобщенному возможному сдвигу 8а. В (5） (6） 8л = — 2л, sina5a-Джей-Р28лг0 + Fxbx (Коэффициент 2 в первом члене обусловлен тем, что регулятор имеет 2 шара.) Подставляя значения Lpn и Fx из формул(4)и(2), получаем: ба = — u-коэффициент абсолютной скорости для каждого из шаров M и N. каждый шар участвует в сложном движении. Угловая скорость φ-это вращение вокруг вертикальной оси регулятора, а относительное вращение вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости фигуры, — это угловая скорость 4.Примените теорему сложения

скоростей точек： МВС = = 4 J(10） возьмите производную по времени от координаты xn связи B относительно угла поворота d, чтобы определить проективное значение х + ^ + / ЗР (0 ′ −2–2 ВТ ДОЛГОТЫ、 Где©c-скорость центра тяжести колеса wv、 Абсолютная угловая скорость o) подвижные координатные оси x, y, g на колесах 3 a, 13x, / Lu, / Lg-осевой момент инерции,/ 3, x, / Zx-центробежный момент инерции Колесо меньше

5 для соответствующих осей. Выберите начало координат оси центроида колеса 3 C. укажите вертикальную ось g горизонтально вправо вдоль относительной оси колеса 3, а ось y, а следовательно, и ось x, перпендикулярно плоскости рисунка. При аналогичном расположении координатных осей легко заметить, что они являются главной осью инерции колеса 3(колесо 3, а также колесо/и 2, считаются однородными круговыми дисками).Результат、 = / ^. = 0, и формула для расчета кинетической энергии колеса 3 т [’л) упрощается. 7″ » =1А^ +1 (/«ш+/, v, 0j.(9） для расчета wv, shu

необходимо определить абсолютную угловую скорость колеса 3.Колесо участвует в переносных вращательных движениях угловой скорости вокруг вертикальной оси и относительных вращательных движениях вокруг оси симметрии колеса 3. давайте представим наблюдателя в провернуть операционной системы, чтобы определить, Вт. Для этого наблюдателя, этот чудик, кажется, не двигаться. Как следствие, относительную картину движения представляется глазу наблюдателя. Колеса/, 2 и 3, по-видимому, вращаются вокруг неподвижной оси(см. Рисунок C).Напишите зависимость между относительной угловой скоростью колеса и радиусом. Ин ый> Ин гл» Где ω, ω’.)) обозначает угловую скорость

колес/, 2 и 3 относительно кривошипа, вращающегося с угловой скоростью ω0.Однако 2-я дробь имеет знак минус, и если учесть пропорции вместе, то необходимо указать разные направления движения колеса/и относительную угловую скорость движения колеса/. 2.In факт、 Мл.） если бы непев жил в другом месте, то это было бы: — =- Условия r. 2 = для r1, a>(f> = = — CC) = = co0, а для coco1-ω0, o).2 =2ш0-ω, то есть =(Ю） Из первой дроби определите относительную угловую скорость»•/ » колеса 3： / «(| Гг)= т«(о).2-О)

0）、 ч’3 Возмещение (?.- ? «) •(Р） Р \ Направление масла указывается кружевом. е. Для добавления жесткого вращения вокруг пересекающихся осей применим icopevy к колесу 3: ioa — <> e + o > r(см. Рисунок? это не. Теперь нетрудно вычислить проекцию абсолютной угловой скорости G).x), колесо 3 па на оси y-z, плотно соединенное с ним. 0, Ву = — си/’, — со*). Принимая во внимание формулу (11) и отмечая ее=φ0, получим: о) = 0,о>>, =—(ти — > о ^ = Введем эти значения 0 и φ и получают производную полученного результата по времени. Мы это выясним： я£= + + + /—））»-（2 /、+ liy-r±) — ЗУ

—)7г » y3g- 2г 1 ^ г> ’Б-2г’ 4г ’ Уравнение движения дифференциала (17) принимает вид: (18） ^ [8П р?, Л = п— 2М з = мл + Ми. Используя формулу(10), вы получаете следующую формулу:$ 9 = 2?0 — подставив n в это выражение, получим искомое угловое ускорение колеса 2. .. _ _N (2L-M)+ 5(2L1- Р. Г1 Здесь Ku L1U IV D S имеет значение, описанное выше.

Решение этой задачи с помощью теоремы общей динамики сопровождается большими трудностями. Применение уравнения Лагранжа позволяет относительно легко получать дифференциальные уравнения движения, и опять же удобство применения уравнения Лагранжа при решении сложных задач динамики систем с несколькими степенями свободы.

] 1алодим： Л (/>)= — Pbr5 грех, (3） Л (Ф)= Связанные С FBR, (4） БА (м с)= — фут. с8га. = — /П, потому что АБР (5） М(П)=0.（(5), поскольку в точке действия силы P является фиксированной、 БА (МС)= — МЦБ = п — Зин Ин.(8） Потенциальная энергия весовой силы Р (4) равна пуле. N » 2> =0.(9 )） Потенциальная энергия. P13; сила упругости пружины F равна P(3)= 2.Если подставить значение выражения (2)、 =РР *(1-а°) 2. (10 )） Используя выражения (8), (9) и (10), запишите выражение (2) в следующем виде: = = P, sino -> — для R ’ 2(1-cos?2). (И） Для вычисления обобщенной силы объекта, обобщенная координата

В9 =—[РХ с COS в 09 =

、 К М(ф)= + БГС(б） Примените Формулы(3), (4), (o) и (G)для описания (2) в виде: +(7） Обобщенная сила Q является коэффициентом пропорциональности формулы OG (7). Р Проблема 404.Груз а перемещается по гладкой наклонной плоскости угла а относительно горизонтальной плоскости. Маятник веса прикреплен к грузу A. длина строки маятника/. 」 Выберите обобщенные

ие. Поскольку для определения местоположения массы необходимо задать 2 независимых параметра, рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. 1. один параметр определяет положение груза A на наклонной плоскости, а второй параметр определяет положение математического маятника B относительно груза A. Возьмите начало отсчета O случайным образом и направьте ось s вниз по склону. От точки O, точка вниз по оси x вертикально. Угол, под которым маятниковые нити перпендикулярны, обозначается

этой материальной системы: 5 и 9.В соответствии с этими обобщенными координатами существуют 2 обобщенные силы: Qs и Qr Показывает силу установки системы. Px-вес груза, P4-вес маятника B. Она не должна показывать силу реакции сцепления, так как все соединения, приложенные к системе, идеальны(когда система движется, плоскость становится гладкой, а вытянутые нити растягиваются). Дает системе 2 независимых обобщенных возможных перемещения. В формуле определения возможных перемещений БРК

обращает внимание читателя на то, что 1 член меньше формулы ® ). (5） Примените Формулы (4) и (5), затем напишите (3) и pide. П=-(Р,• -) — P4) 5 sin a-Р2 / cos теперь вы можете легко определить желаемую обобщенную силу. М,= — Г = — ^ [- (Р, — ’ \ РФ) с грех-Р, / Кос =(П+ а) грех、 В9 = — Ф = — у [- (РІ-Р М) ООО 《. — Пи Джей, Кос? / =- м / СР грех. Решая следующую задачу, мы можем объяснить обоснованность применения этого метода расчета обобщенных сил в случае систем с несколькими степенями свободы, в которых существуют только потенциальные заданные силы. Задача

405.Установите 3 диска в герметичный горизонтальный эластичный вал на одном конце ступени. Если центр тяжести диска находится на геометрической оси вращения, выберите обобщенные координаты и определите соответствующие обобщенные силы. Модуль упругости вала равен S. Решение. В этой системе есть 3 степени свободы. Указывает угол поворота диска, соответственно.9, cp9 и

социальная природа Формулы (1) bx-это обобщенная сила Qx. QX = R Предположим, что 8sΦ0 и bx = = op = 0 определяют обобщенную силу Qs. Это означает, что цилиндр неподвижен относительно призмы и платы относительно горизонтальной плоскости. Только плата, соединенная с цилиндром, движется вниз по боковой наклонной плоскости призмы 8s. Например, сумма работы всех сил, приведенных с возможным смещением в 8 секунд, записывается в виде 8 A = ( / > , + / > a) 8-секундный грех a. (2） Действие сил F и Px равно действию пули. Смысл действия этих сил в том, что они не движутся. Обобщенная сила Qs — это коэффициент,

представляющий собой 2s формулы (8). М,= (/Ви〜П3) грех. Переходим к расчету обобщенной силы Qn. So будем считать bnΦ0, bx = b $ = 0. Это означает, что призма неподвижна относительно призмы и горизонтальной плоскости, а поскольку душ перемещается относительно доски, его центроид C перемещается вниз вдоль оси n до 8l. Рассчитайте величину работы заданной силы на возможное перемещение Ln. БА = P38l грех. (3） Сила F, P и P. 2 задания равны нулю. Потому что точки действия этих сил не двигаются. Обобщенная сила Qn-это коэффициент, который находится в cn в уравнении(3). Дя = Пт греха я. Поэтому необходимая обобщенная сила имеет

следующий смысл: Ц = ф, Qв =(Р9-п-Р3) грех,= А. грех 2 \ обобщенное уравнение динамики в обобщенных координатах.2-й вид уравнения Лагранжа. Общая формула динамики системы масс н Х(ФК-mbwk).СРК = 0 к»■я В обобщенных координатах существует форма. [д ДТ N\, д / д ДТ от N \ ,. 。 * / д ДТ от Где Q гв. QS является обобщенной координаты, КЖ> дь QS является обобщенной скоростью, и hqb непосредственного обращения обобщен Смещение системы-это

изменение соответствующих обобщенных координат Q, Q. lfQs-обобщенная сила системы, T-кинетическая энергия системы. Для систем, подчиненных полому насосу, bqy, 8q. поскольку 2i bqs является независимым обобщаемым перемещением, общее уравнение динамики удовлетворяется только условием, что коэффициент, находящийся в возможном перемещении, равен пуле. д ДТ _ ДТ _ ДТ Н йй \ dqt-КЖ> dT_dT_n д ДТ Д d dT dT_ да d’Ant C \ dq3 Ws * д ДТ dT = _dP ДТ б ’ д ы в DQS DQS с ’ * ) Такого рода уравнение Лагранжа класса 1 не рассматривается. Таким образом, приведенное ниже уравнение Лагранжа типа 2 называется просто уравнением Лагранжа. Вводя Лагранжеву функцию Lt, равную разности кинетической

и потенциальной энергий, для L = T — P уравнение (2) принимает вид: д 0L » dl_ » в ^ Йй \ DQL по

’ (3 *） д дл _ дл n ДТ йй, ’dq3 ’ д дл дл _ г ДТ служб DQS DQS с Трудность решения задачи динамики системы материальных точек с 1 степенью свободы заключается, в частности, в успешном выборе соответствующей общей теоремы динамики. Для систем с некоторыми степенями свободы решение задачи значительно сложнее, так как решение задачи требует совместного применения общей теоремы и других кинематических relations. In в таких случаях наиболее удобно использовать уравнение Лагранжа. Уравнение Лагранжа является универсальным методом

для составления дифференциальных уравнений движения материальной точечной системы. Большое преимущество уравнения Лагранжа состоит в том, что при наличии идеальной голономной связи сила реакции связи не учитывается. (При применении других методов решения задачи сила реакции связи должна быть исключена из системы составляющих уравнений при решении задачи.）

Динамика системы уравнений, полученная выше при решении большинства задач, может быть выведена непосредственно с помощью уравнения Лагранжа. В зависимости от условия задачи, когда необходимо найти реакцию связи, уравнение Лагранжа используется для определения точки ускорения системы, применяя принцип освобождения связи к соответствующей массе системы и используя либо теорему общей динамики, либо метод

кинетической статики. При решении задач в динамике, когда нет четкого плана применения тех или иных теорем, необходимо отказаться от использования уравнения Лагранжа. Все вышесказанное не умаляет важности теоремы в целом. Общие теоремы рекомендуется использовать при решении некоторых простых задач динамики (см. главу XI ниже). Составление уравнения Лагранжа следует проводить в следующем порядке: I) определяет число степеней свободы в материальной системе. ’> ) Выберите систему координат и введите число независимых обобщенных координат, равное числу степеней свободы. 3) определяет

обобщенные силы Q, Q, Qs системы, соответствующие выбранным обобщенным координатам. (Процедура расчета обобщенной силы подробно описана в пункте I настоящего раздела.) 4) вычислить кинетическую энергию t системы рассматриваемых материальных точек. 5) найти частные производные кинетической энергии в сумме 。。。 дециграмм Скорость 7) подставьте результаты, полученные в разделах 3, 5 и 6, в уравнение Лагранжа. Проблема 407.Уравнение Лагранжа используется для получения дифференциальных уравнений для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Решение. Твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, имеет 1 градус freedom. In дело в том, что для определения местоположения всех точек достаточно задать

1 параметр, например, угол поворота

заданных при этом возможном смещении： 8-4 = 2 Сус 8? = [Тртп») J Я） к-1 к-я Обобщенная сила Q9 — это коэффициент, который находится в Формуле (2). Q,= X’M ^ a). (3） К 1 ноября. Кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси имеет следующий вид Вычислите частную производную кинетической энергии относительно обобщенной скорости ДТ, нет. А затем возьмите производную по времени от результата： д ДТ г Дж \ ДТ с = ’А — Заметим, что кинетическая энергия массы T не зависит от обобщенных координат x, y, z、 ДХ ды-б£ — (о> Формула（2）、（3）、（4）и (3) присваивается системе уравнений Лагр ГHkY> = X 17кг k = I k I fe ^ 1 Он от потенциальной энергии системы в соответствии с соответствующими обобщенными

координатами, т. е. dqi ’ Где r = 1,2,…、 Расчет обобщенных сил материальной системы является одним из ключевых этапов решения задачи с использованием 2-го уравнения Лагранжа. 1. Решение о обобщенной силе может быть осуществлено двумя способами: а)наиболее распространенным приемом является вычисление обобщенной силы в виде коэффициента, выражающего сумму основных действий данной силы и соответствующего обобщенного возможного displacements. In в этом случае расчет обобщенных сил следует проводить в следующем порядке: 1) исследуйте число степеней свободы в рассматриваемой системе масс и выберите

соответствующие обобщенные координаты. 2) показать всю настроенную мощность системы. 3)Если все связи, наложенные на материальную систему, не идеальны, добавьте к данной силе соответствующую реактивную силу связи (силу трения и т.). 4) число обобщенных координат, то есть равное числу степеней свободы в материальной системе, дающее системе независимое обобщенное возможное смещение. Проблема 409.It доказывается изохронизм колебаний циклоидального маятника. Решение. Маятник называется циклоидой и может быть отображен как материальная точка, которая движется по дуге окружности циклоиды. При решении задачи 284 учитывался математический маятник, в котором дуга является орбитой. Дифференциальный звук колебаний математического маятника, записанный в уравнении 284 (4)、 п + £ грех? = 0、 Где о-

угол отклонения маятниковой нити от вертикали, а/ — длина нити. В уравнении (II)той же задачи период колебаний математического маятника г = 2.: Ил(л + Tsinl 2 + элсинт 2-я -••••). Где а-угловая амплитуда колебаний. Таким образом, колебание математического маятника не имеет изохронных свойств, так как его колебательный период зависит от начального состояния движения, то есть от угловой амплитуды a. In в случае малых колебаний маятника, при замене sin дифференциальными уравнениями движения, только

In в этом случае периоды колебаний математического маятника примерно равны Колебания циклоидного маятника указывают на то, что они обладают свойством изохронности, в отличие от математических колебаний. К выпуску 409. Обычное представление о циклоиде связано с локусом точки А, которая находится на краю катящегося колеса без скольжения по рельсу прямой линии (см. рисунок а). Па рисунке б это колесо катится по рельсу на колесе без скольжения снизу. Движение точки А

является колебательным движением, что указывает на то, что ее колебательный период не зависит от начальных условий движения (конструкция циклоидного маятника обсуждается ниже). В качестве обобщенной координаты выберите угол

Единственной указанной силой является масса груза, обозначаемая R. Потенциальная энергия Р массы выражается формулой: Р = ру = — ра ([- а (3） Виде обобщенной силы QF-это скорострельный ЖП. Вводя Формулу (3) выражение в эту формулу: Qv = Pasin

Вычислите частную производную кинетической энергии 7 ’для обобщенной скорости φ. = 2 maq (1-cos и рост нагрузки Б Б. легко видеть, ’3 Поэтому 8R = — р38 (Λ(9） Кинетическая энергия системы T (p! ！- «•с」） Подставляя Формулы (3), (9) и (10) в уравнение Лагранжа (1), получаем дифференциальное уравнение движения лебедки для обобщенной координаты».. ’, / г.\ «О1） (Л + П. ^ + Л +Гротц В случае W: Pj-r^ ускорение груза B направлено вверх. в случае mQPiГ-ha ускорение нагрузки B направлено вниз. п0 = = Pk-ha, лебедка

остановлена, или вся масса движется Равномерно. Направление движения зависит от начальных условий движения. Эта задача также может быть решена с помощью дифференциальных уравнений для вращения твердых тел вокруг неподвижных осей. н / ?= 2 МЗ (ФК)> к = \ Это должно было быть составлено 2 раза.1 для шестерни, другое для остальной электрической ворота. Для Необходимо было мысленно разрушить эту систему в нижней части детали и зубчатой передачи/и 2 точках склеивания, заменив действие отброшенной части конструкции соответствующей реактивной силой сцепления. R, который составляет систему дифференциальных уравнений

движения, включает в себя силу реакции сцепления. Только после исключения этой силы реакции из результирующей системы уравнений может быть достигнуто уравнение (11).Преимущества уравнения Лагранжа, не содержащего реакции связывания, очевидны. Задача 411.Определите угловое ускорение коленчатого вала в вертикальной плоскости. Шестерня 2 внутренне зацеплена с неподвижной шестерней/.Колесо 2 использует кривошип OA для перемещения гайки, и применяется силовая пара с крутящим моментом от// / 0 до v. Вес кривошипа OA равен P, вес колеса

2 равен g2, радиус колеса 2 равен радиусу неподвижного колеса L Колесо 2 считается однородным круговым диском, а кривошип O / H-влажным однородным стержнем. Игнорируйте сопротивление движению. Решение. Поскольку угол поворота кривошипа ОА определяет все положения, планетарная передача имеет 1 степень свободы. Механизм действия point. As в качестве обобщенной координаты выберите угол 9, измеренный либо по горизонтальной оси, либо против часовой стрелки. Уравнение Лагранжа обобщенных

координат-Р41 0.4 [Кост и R. 0Л= 0&> — — f(3） И затем…

Кинетическая энергия ползучести ОА, вращающейся вокруг неподвижной оси о, перпендикулярной плоскости фигуры, вычисляется по формуле= ^ — О-я-ОА ^ л-т ^ — СБР-момент инерции кривошипа. Так… (4 )） Кинетическая энергия шестерни 2, которая совершает плоское движение Найти скорость точки А, конечную точку кривошипа ОА. ба = \ ОА \ ч =(ГУ-б) х. (6） Рассмотрим скорость той же точки А, которая принадлежит шестерне 2, относительно мгновенного центра относительно скорости колеса. vA = a iP•u = r9sh2. (7 )） Если мы сравним формулы (b) и (7), то увидим следующее: г-г.

Два Момент инерции шестерни 2 рассчитывается по следующей формуле л (9) Если подставить выражения v5, coi и/ d из выражений (6), (8) и (9) соответственно, то выражение (5)будет иметь следующий вид: (У） Уравнения (3), (4) и (10) используются для описания уравнения кинетической энергии планетарного механизма. + *(ВТОРОЙ） Вычислите частную производную кинетической энергии t, но обобщенная скорость равна: dT 2P + NR、 СФ = — ЭИ -» -’»> -?В =(8)я• » А затем возьмите производную по времени от результата： Д ДГ ^ г + ОГ ^» Как- — — — (Т | Р потому выражение (9), ХС = rcos СР +(1–4 +1 х * соѕ 2? ）、 Иначе говоря = Ж + р так? + ’8′); 2 / cos Откуда ■ * С = — Р(грех 9-(—^- х Sin 29 ^ 9.(11） Центр тяжести кривошипа и шатуна ОА расположен на их средней точке и имеет такую же ординату в конструкции Нам = язык yct = 2-си » б Откуда —

’Р£соѕ (О.- Если ввести значение xc и усов из Формулы (10) в формулы (11) и (12), то вы увидите следующее: В * = РМ(грех 9 + т х Sin 2?V-Ч Т потому что * * 9 (13 )） Формула (G) для Формулы ma и формулы (P) и (13） П /- И. Учитывая то, что мы получаем： g»»: = <3 [4 (грех?- Ф-ТХ грех + коси *] + Потому что — . потому что 2 + р *>с°с » С. От (21） Где/ pr определяется выражением

(18).Формула (21) представляет собой дифференциальное уравнение для движения кривошипно-шатунного механизма. Задача 399.Определить обобщенную силу в случае движения математического маятника массы р, Если длина нити равна/.Для обобщенных координат возьмем угол отклонения

При решении обратной задачи, то есть при определении движения заданной силой, часто используется численное интегрирование, так как решение дифференциального уравнения (21) затруднено. В зависимости от состояния задачи необходимо определить закон изменения крутящего момента M. Это позволяет получить равномерный кривошип Bpauienne, или cf. Далее, она равна 3 = 0, и решение уравнения (21) относительно m дает следующий результат: Куда? + Xsin 2?(С COS Так как кинетическая энергия material материальной системы, определяемая формулой (13), не зависит от обобщенных координат cp и S.、 ДТ ДГ л （4）、（5）、（14）、подставляя и(15)в уравнение Лагранжа(1), получаем: Р + 12Р,+ 2Р, м-2Р, Р.? +£Шя (4П | п, П3）、 (16） — ?■^§- Ф Р? = Приблизительно. 1.Е Р Решая одновременно уравнения (5 и S) (16), можно видеть: = r—H aor,-h (jp, −2 /> TG ’ (Inlex

CP с обобщенной силой Q является координатой(ЛРН * — •3/л, — / — 2×3)^ ’о — / тр-н-б Р2 4 * па） o_9 а _ _ _ / 2 (При выводе этих уравнений предполагается, что/ = 0 a = s = 0.) Задача 414.Решите задачу 396, используя уравнение Лагранжа. Solution. In решая задачу 396, было показано, что рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем линейную координату 5 |傾斜面に沿って下方に向けられたs. lt запишите уравнение Лагранжа для обобщенных координат S.< ±dT_dT_p Д ДГ г dtdli 3s] — Дидди; Ди、〜 Заранее поставленная сила:Т 7 Рг2 10 = — так、 Кинетическая энергия постепенно движущейся платформы принимает форму −2 г в•

Учитывая, что, учитывая нерасширяемость веревки a=, вы можете увидеть следующее: =(8） Колесо вагонетки сделает квартиру motion. So … R G Если момент инерции колеса равен/, = вращать — Я ЗГ. виртуальный канал Без проскальзывания vr = 5.Резьбовой стержень Ы ы ы ы Тельпо. J [если подставить значение этого vc в выражение (I)、 744)= 1.&r V + J ^ + £ (, 2） (6) Формула（7）、（8）、（9）и (12) к/(1), 7 ’(i \ T < Так как кинетическая энергия material материальной системы, определяемая формулой (13), не зависит от обобщенных координат cp и S.、 ДТ ДГ л （4）、（5）、（14）、подставляя и(15)в уравнение Лагранжа(1), получаем: Р + 12Р,+ 2Р, м-2Р, Р.? +£Шя (4П | п, П3）、 (16） — ?■^§- Ф Р? = Приблизительно. 1.Е Р Решая одновременно уравнения (5 и S) (16), можно видеть: = r—H aor,-h (jp, −2 />TG ’ (Inlex CP с обобщенной силой Q является координатой(ЛРН * — •3/л, — / — 2×3)^ ’о — / тр-н-б Р2 4 * па） o_9 а _ _ _ / 2 (При выводе этих уравнений

предполагается, что/ = 0 a = s = 0.) Задача 414.Решите задачу 396, используя уравнение Лагранжа. Solution. In решая задачу 396, было показано, что рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем линейную координату 5 |傾斜面に沿って下方に向けられたs. lt запишите уравнение Лагранжа для обобщенных координат S.< ±dT_dT_p Д ДГ г dtdli 3s] — Дидди; Ди、〜 Заранее поставленная сила:

Все соединения, наложенные на систему, идеальны (так как наклонная плоскость должна быть идеально гладкой, на оси блока нет трения, а нити не растягиваются и не растягиваются). Для определения обобщенных сил QH и Q $ 2 приведем нагрузки A и B, соответственно, возможные перемещения SSj и направление, направленное параллельно линии максимального наклона наклонной плоскости в направлении увеличения координаты s.、％ Чтобы вычислить обобщенную силу QS, мы даем системе обобщенное возможное смещение Ss, предполагая, что [lsq равен нулю. Φ0,=(это

возможно, потому что » и ’ в являются независимыми обобщенными координатами.） Поэтому правая ветвь потока от нагрузки B, блока E и нагрузки B до точки N останавливается. Точка м нити получает вертикальное восходящее возможное движение Lm, размер которого равен Ss, поскольку нагрузка а может перемещаться вниз из-за отсутствия удлинения нити. Определите возможное смещение оси блока Sr0, принимая во внимание, что точка/ V нити накала остается в покое в то же время (см. Рисунок B).Это равно половине модуля модульно-способного перемещения 8gL1, то есть Ох 2.2 * Ж Рассчитайте сумму работы сил, приведенных к обобщенным

8 секундам, возможное перемещение точек системы, соответствующее возможному перемещению груза А. (В БА = РХ грех aZsi-(РВ + П6) б Рассматривая Формулу(2), можно увидеть: ал = [Р, грех-я(/> т + /> я)] та. (3） Гравитационная работа п. 2 равна пулевой, т. к.= 0, поэтому работы гравитации Р3 и Р4 равны нулю, т. к. точки приложения этих сил не перемещаются. Обобщенная сила QS1-это коэффициент, который находится в обобщенном возможном смещении уравнения (3). Под рукой-грех-у(П5 + П6). (Ля） Чтобы вычислить обобщенную силу Q $ 2, Дайте системе обобщенное возможное смещение Is, предполагая, что ОС равна пуле. Это

означает, что блок D груза а и левая ветвь нити а груза а находятся в точке М нити. Из-за нерастяжительного характера винта, из-за возможного перемещения нагрузки на ПА, точка N винта Излучает возможное смещение L ^вверх в вертикальном направлении. Это считается смещением и С. 3. размер равен модулю упругости. Учитывая, что точка нити M неподвижна в то же время, она выглядит так (см. Рисунок C）\ ^ О3 = =(5） Обобщенные возможные перемещения вычисляют сумму работы заданных сил на возможные перемещения точек системы, соответствующих ос4： BA = P,^ sin ft — (Pe + Pb) если рассматривать уравнение (5)、 БА = [Р4 грех? -я (П8-Ф Р6)] СУ4. (си） Работа гравитации Pt равна нулю, потому что s = 0.Работа

гравитации P3 и P4 равна нулю, так как их точки приложения неподвижны. Обобщенная сила QSi является коэффициентом в уравнении (6) os4. Вопрос, с = P4sin?^ Я(ЧП + П6). (7 )） Переходим к расчету кинетической энергии t материальной системы, состоящей из 6 масс: блоков D, E, K, A, B, L： м = ро ОКБ) 7(ч) Пи)пн _ [_ ППГ(г） Скорости нагрузки A и 8 fl направлены параллельно линиям максимального наклона наклонной плоскости. Проекция этих скоростей на ось s будет равна sx и s соответственно.2. Радиус блока D, E, K обозначается через r3, r4 и guard. In в этом случае угловые

скорости блоков O и E выражаются следующим образом: (9 )） Из-за не масштабируемости нити скорость Vm точки нити M равна скорости vA груза A. R>Λ1¥=£,.Аналогично: v / Wx = 9. использование рисунка очень просто. g, найти скорость движения оси Ov блока K>do plane motion： (10 )） Девять в Два Два Чтобы определить угловую скорость блока K, найдите скорость точки M и получите точку / V полюсов. Иначе говоря (vMN) x = 1 MN \ = 2rv£6, 2r3 ’?3 = .поскольку это v, угловая скорость блока равна K’. Кинетическая энергия груза а и в、 = 1 5. .В.], (П2） Рассчитайте кинетическую энергию блоков D

и E, которые вращаются вокруг неподвижной оси. Т© — 1 / А2 Т <Я>— я СВ2 1-2 пр™ » = 2 (Р р г р р р- \ = .: = Т ^ Дж Используя формулу(9) можно увидеть: Кинетическая энергия блока K, который совершает плоское движение, определяется уравнением Т [п) ВХ — / м 2 г 2 Подставляя значение момента инерции блока к、 Формула называется (10) и (11) и вы получаете: Кинетическая энергия постепенно движущейся нагрузки L равна、 Нравится 7 ’©=.- !-7) 0.. 2(г Примените формулу (10) для определения: 74.)= я J

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Уравнения Лагранжа

По определению (7) и (12) обобщенные силы

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q_j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими. Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).

Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и .

Рис.13

Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .

Составляем два уравнения Лагранжа

то уравнения получаются такими:

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ, которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l, вес – Р.

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).

Рис.14

Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).

Поэтому (см. рис.76) и .

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

Находим необходимые производные для уравнения и

Вопросы для самопроверки

— Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?

— Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?

— Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?

— Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.

— Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?

— Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

— Чему равно число степеней свободы механической системы?

— В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

— Что называют возможными перемещениями механической системы?

— Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

— Какие связи механической системы называют идеальными?

— Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?

— Как формулируется принцип возможных перемещений?

— Какие виды может иметь уравнение работ?

— Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

— Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

— Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

— Как формулируется золотое правило механики?

— Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

— Какие связи называются голономными?

— Что называется числом степеней свободы механической системы?

— Что называется обобщенными координатами системы?

— Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?

— Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?

— Что называется обобщенной силой?

— Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.

— Как определяется размерность обобщенной силы?

— Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?

— Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?

— Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?

— Что такое обобщенная сила инерции?

— Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.

— Какой вид имеет общее уравнение динамики?

— Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?

— Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?

— Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.

— Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?

— Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?

— Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

— Какие связи называются геометрическими?

— Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.

— Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.

— Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?

— Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

— Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?

— Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?

— Что называется кинетическим потенциалом системы?

— Для каких механических систем существует функция Лагранжа?

— Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?

— Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?

— Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?

— Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

— Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?

— Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?

— Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

— В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

— Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?

источники:

http://lfirmal.com/uravnenie-langranzha-vtorogo-roda/

http://mydocx.ru/4-85616.html