Колмогоров решение простейших тригонометрических уравнений 10 класс

урок по алгебре в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения» к учебнику А.Н.Колмогорова
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Урок алгебры в 10 классе по теме: « Тригонометрические уравнения»

Урок нацелен на рассмотрение основных типов тригонометрических уравнений, способов решения тригонометрических уравнений – заменой неизвестного, на закрепление общего вида решений простейших тригонометрических уравнений.

Урок развивает мышление через обучение анализировать, сравнивать, строить аналогии, формирует ответственность, организованность, дисциплинированность; воспитывает культуру математического мышления, положительного эмоционального отношения к математике, аккуратность.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План- конспект урока алгебры 10 класса

учителя МКОУ «Тутончанская средняя школа»

Кожиной Ирины Вениаминовны

Тема: Тригонометрические уравнения.

1. Рассмотреть основные типы тригонометрических уравнений.
2. Показать способ решений тригонометрических уравнений – заменой неизвестного.
3. Закрепить общий вид решений простейших тригонометрических уравнений.
4. Развитие мышления через обучение анализировать, сравнивать, строить аналогии.
5. Формирование ответственности, организованности, дисциплинированности.
6. Воспитание культуры математического мышления, положительного эмоционального отношения к математике, аккуратность.

Тип: комбинированный урок.

Оборудование: плакат с решениями простейших тригонометрических уравнений, раздаточные карточки для самостоятельной работы. Дидактический материал «Тригонометрия»

1. Сообщение темы и цели урока.
2. Повторение и закрепление пройденного материала.

а) Ответы на вопросы по домашнему заданию.

б) Контроль усвоения материала (Самостоятельная работа).

Решите уравнения ( 1- 4 )

Вариант 1 Вариант 2

1 а) sin х = 1 1 а) sin х = 1/2

б) cos х = — √2 /2 б) cos х = √3 /2

2 tg х = -1 2 tg х = -√3 /3

3 а) sin х = 1 /5 3 а) sin х = п /2

б) cos х = п /2 б) cos х = -1 /6

4 sin x + 2sin x cos x – 4cos x — 2 =0

3 Изучение нового материала .

Более сложные тригонометрические уравнения решаются путем их сведения к простейшим. Способы сведения уравнений к простейшим по сути и являются способами их решения. Рассмотрим их.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

Рассмотрим примеры решения уравнений, которые после введения нового неизвестного

t = f(х), где f(х) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Пример 1. Решим уравнение 2cos 2 x + 3cos x + 1 = 0 (1)

Введем новое неизвестное cos x = t , тогда уравнение (1) превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t 2 + 3t + 1 = 0 (2)

Решаем уравнение (2): Д = 9 – 4*2 = 1. t 1 = -1, t 2 = — ½.

Следовательно, множество всех решений уравнения (1) есть объединение множеств всех решений двух уравнений cos х = -1 и cos х = -1/2.

Решим каждое из этих простейших уравнений. Найдем, что множество решений уравнения (1) состоит из трех серий решений:

Х т = п + 2 пт, т € Z, Х п = 2 п /3 + 2 пп, п € Z, Х k = 2 п /3 + 2 пk, k € Z,

Ответ: Х т = п + 2 пт, т € Z, Х п = 2 п /3 + 2 пп, п € Z, Х k = 2 п /3 + 2 пk, k € Z,

Пример 2. Решим уравнение (sin x – 0,5)(sin x + 1) = 0 (3)

Сделаем замену неизвестного t = sinх , получим распадающееся уравнение

(t – 0,5)(t + 1) = 0. данное уравнение имеет два решения : t 1 = 0,5 и t 2 = -1.

Множество решений уравнения (3) есть объединение множеств решений двух уравнений:

sin x = 0,5 и sin x = -1.

Решим каждое из этих простейших уравнений, найдем, что множество решений уравнения (3) состоит из трех серий решений: Х т = п/6 + 2 пт, т € Z, Х п = 5 п /6 + 2 пп, п € Z, Х k = — п /2 + 2 пk, k € Z,

Ответ: Х т = п/6 + 2 пт, т € Z, Х п = 5 п /6 + 2 пп, п € Z, Х k = — п /2 + 2 пk, k € Z,

Пример 3. Решим уравнение cos 2 х = 1. (4)

Сначала перепишем уравнение в виде (cos х – 1 )( cos х + 1 ) = 0

Множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений двух уравнений:

cos х = 1 и cos х = -1.

Решим каждое из этих простейших уравнений, найдем, что множество решений уравнения (4) состоит из двух серий решений: Х т = 2 пт, т € Z, Х п = п + 2 пп, п € Z.

Обе эти серии можно объединить в одну серию Х k = пk, k € Z

Ответ: Х k = пk, k € Z

Пример 4. Решим уравнение tg x – 15/ tg x = 2 (5)

Введем новое неизвестное tg x = t. Уравнение (5) превращается в рациональное уравнение с неизвестным t : t – 15/t = 2

Решим его, получим, t 1 = 5, t 2 = -3.

Множество решений уравнения (5) есть объединение множеств решений двух уравнений:

tg x = 5 и tg x = -3.

Решим каждое из этих простейших уравнений, найдем, что множество решений уравнения (5) состоит из двух серий решений: Х т = arctg 5 + пт, т € Z, Х п = — arctg 3 + пп, п € Z.

Ответ: Х т = arctg 5 + пт, т € Z, Х п = — arctg 3 + пп, п € Z.

Рассмотрим примеры решения уравнений, которые после введения нового неизвестного t = aх + в превращаются в простейшие тригонометрические уравнения с неизвестным t.

Пример 5. Решим уравнение sin 3х = 0. (6)

Введем новое неизвестное 3х = t. , тогда уравнение (6) превращается в простейшее тригонометрическое уравнение с неизвестным t: sin t = 0 (7)

Уравнение (7) имеет одну серию решений t п = пп, п € Z. Следовательно, множество решений уравнения (6) находится из условия 3х п = пп, п € Z, находим все решения уравнения (7): х п = пп/3 , п € Z.

Ответ: х п = пп/3 , п € Z.

Пример 6. Решим уравнение cos( 2х – п /4) = -1 (8)

Множество решений этого уравнения задается формулой 2х п – п /4 = п + 2 пп , п € Z.

Находим все решения уравнения (8): х п = 5 п/8 + пп , п € Z.

4 Тренировочные упражнения.

№ 164 (б), 165(а), 167(а), 168(а,б)

5 Итог урока – самостоятельная работа.

Решите уравнение (1-5):

1. sin( 2х – п /3) = 0
2. cos 2 х + 3 cos х + 2 = 0
3. sin 2 х + 3 sin х – 4 = 0
4. tgх + 5/tgх – 6 = 0
5. сtg 3 х + сtg 2 х + 2 сtg х +2 = 0

Урок по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели и задачи:

• закрепление и обобщение знаний по данной теме
• повторение определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;
• закрепление умения решения простейших тригонометрических уравнений.

Оборудование: мультимедийный проектор.

Ход урока

Объявляется тема урока.

Учитель: нашей задачей на сегодняшнем уроке является отработка навыков решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача — показать свои знания и умения по решению простейших тригонометрических уравнений.

1 этап Разминка

Разгадать ребус и дать определение понятия. Приложение.

Работа с цветными карточками «Найдите ошибку».

Цветные карточки развешены по классу.

В это время один представитель от каждого ряда выполняет задание.

На магнитной доске сопоставить тригонометрическое уравнение и решение данного уравнения.

После выполнения задания второму представителю от каждого ряда дается возможность исправить ошибки.

Обратить внимание учеников, что тригонометрические уравнения sinx=a и cosx=a не имеют решения при |a | > 1.

2 этап Решение

3 этап Самостоятельная работа

Итог работы

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать простейшие тригонометрические уравнения. На этом наше знакомство с тригонометрическими уравнениями не заканчивается. На следующих уроках мы познакомимся с новыми способами решения тригонометрических уравнений. Спасибо вам за работу на уроке.

Список использованной литературы

1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2008.
2. Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса — Москва: Просвещение, 1990.
3. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, — М.: Илекса, 2013.

Презентация к уроку алгебры 10 класс по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Решение простейшихтригонометрических уравнений.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение простейших тригонометрических уравнений. 10 Б класс МОУ СОШ № 29 г. КУРСК

Слово «тригонометрия» дословно означает «измерение треугольника» и впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Тригонометрия возникла из практических нужд человека. Древние астрономы наблюдали за движением небесных светил. Ученые по звездам вычисляли местонахождение корабля в море, направление движения каравана в пустыне, вычисляли размеры островов в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие.

Значительной высоты достигла тригонометрия в ІV -Vвеках в Индии. Великий индийский ученый Ариабхат заменил хорду окружности синусом, хотя самого слова SINUS он не употреблял. Индийцы называли SINUS словом «джива»-тетива лука, хорда. В Индии было положено начало учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражается как: sin² a + cos² a = 1, sin a = cos (90° — a)

Арабскими математиками в IX веке слово «джива» (т.е. синус) было заменено на арабское слово «джайб» (выпуклость). Известный Мухаммед ал — Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса и котангенса . В ΧІІІ веке при переводе арабских математических текстов слово «джайб» было заменено латинским словом SINUS (sinus –изгиб, кривизна).

В XV в. ученый Региомонтан применял для понятия косинус латинский термин «синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi. От перестановки этих слов и сокращения одного из них образовался термин COSINUS, встречающийся у английского астронома Э.Гунтера.

Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера. Леонард Эйлер

Франсуа Виет Франсуа Виет открыл формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Сформулировал теорему косинусов

В XIX веке продолжил развитие теории тригонометрических функций.

Анатоль Франс 1844 — 1924 Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.

Проверочная работа Вариант 1 Вариант 2 1. Каково будет решение уравнения cos x = a при ‌ а ‌ > 1 2. При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение? 3. Какой формулой выражается это решение? 4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a ? 1. Каково будет решение уравнения sin x = a при ‌ а ‌ > 1 4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a ? 2. При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение? 3. Какой формулой выражается это решение?

5. В каком промежутке находится arccos a ? В каком промежутке находится значение а? Чему равняется arccos ( — a)? В каком промежутке находится arctg a? 5. В каком промежутке находится arcsin a ? 6. В каком промежутке находится значение а? Чему равняется arcsin ( — a)? В каком промежутке находится arcctg a? Проверочная работа Вариант 1 Вариант 2

№Вариант 1.Вариант 2. 1.Нет решенияНет решения 2. 3. 4.На оси ОхНа оси Оу 5. 6. 7. 8.

Найди ошибку. 1 2 3 4 5 ?

Какая из схем лишняя? 1 2 3 4 5 6

Какие из схем лишние? 1 2 3 4 5 6

Установите соответствие: sin x = 0 sin x = — 1 sin x = 1 cos x = 0 cos x = 1 tg x = 1 cos x = -1 1 2 3 4 5 6 7

Установите соответствие: sin x = 0 sin x = — 1 sin x = 1 cos x = 0 cos x = 1 tg x = 1 cos x = -1 1 2 3 4 5 6 7

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? sin x = 1/2 1.

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? cos x = √2/2 2.

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? tg x = -√3/3 3.

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? ctg x = √3 4.

Методы решения тригонометрических уравнений. Необходимо выбрать соответствующий прием для решения уравнений. Разложение на множители Вариант 1: Вариант 2:

Методы решения тригонометрических уравнений. Разложение на множители Вариант 1: Вариант 2: Введение новой переменной (однородные уравнения)

Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле? Проект подготовила ученица 10 «Б» класса БОНДАРЕВА МАРИЯ

Однажды в 7 классе при решении геометрической задачи мы сделали вывод: прямые параллельны, потому что так видно на чертеже. Учитель объяснил нам, что нельзя опираться только на чертёж, так как зрение нас может иногда обманывать, и продемонстрировал интересные рисунки.

Обратите внимание на красные линии – это параллельные прямые

Видите волны? Это не анимация, а неподвижная картинка!

А круги, ведь, совсем неподвижны.

Мне стало интересно, как устроено наше зрение и как создаются оптические иллюзии? При исследовании я смогла также ответить и на некоторые другие вопросы: Почему мы видим миражи? Как возникает радуга? Что такое полярное сияние? Какое отношение имеет к этим явлениям тригонометрия?

Оптические иллюзии делятся на три вида: естественные, или созданные природой (например, мираж); искусственные, или придуманные человеком (например, фокус “левитация” ); смешанные, то есть естественные иллюзии, воссозданные человеком (например, известные иллюзионные картинки, модель миража).

РАЙСКАЯ ДУГА Вряд ли найдется человек, который не любовался бы радугой. А сколько легенд и сказаний связано с радугой у разных народов! В русских летописях радуга называется « райской дугой » или сокращенно « райдугой ». В Древней Греции радугу олицетворяла богиня Ирида («Ирида» и означает « радуга »). По представлениям древних греков, радуга соединяет небо и землю, и Ирида была посредницей между богами и людьми.

Теория радуги Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом, согласно которой Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления: sin α / sin β = n1 / n2 где n1=1, n2≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Красивое природное явленье И обосновано физически давно, Но, вглядываясь в это наважденье, Испытываем радость и тепло.

МИРАЖИ Древние египтяне верили, что мираж — это призрак страны, которой больше нет на свете. Легенда говорит о том, что у каждого места на Земле есть своя душа. Наблюдаемые в пустынях миражи объясняются тем, что горячий воздух действует подобно зеркалу.

ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА Атмосфера представляет собой, как бы слоеный, воздушный пирог, который состоит из слоев с разной температурой. И чем больше перепад температуры, тем сильнее искривляется ход луча света. При этом, словно бы, образуется гигантская, воздушная линза, которая все время движется. Поэтому наблюдатель и видит изображение искаженным. Преломление света в атмосфере объясняет тригонометрия.

Самый знаменитый мираж Фата-Моргана Фата-Моргана – сложное оптическое явление в атмосфере, состоящее из нескольких форм миражей. Свое название мираж получил в честь сказочной героини Фаты Морганы. Говорят, что она сводная сестра короля Артура, отвергнутая возлюбленная Ланцелота, поселилась от огорчения на дне моря, в хрустальном дворце, и с тех пор обманывает мореплавателей призрачными видениями.

Сияющая ночь Среди многочисленных и потрясающих воображение явлений Природы существует одно, поистине уникальное,—это полярное сияние. Для того чтобы понять суть этого необычного явления, нужно обратиться к физике и тригонометрии.

Что такое полярное сияние? Полярное сияние — свечение верхних слоёв атмосферы вследствие их взаимодействия с заряженными частицами солнечного ветра.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и синусу угла между векторами поля и скорости движения частицы.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов Ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

ВЫВОД: 90% информации приходит в наш мозг через глаза. Оптика охватывает все стороны нашей практической деятельности. Мы узнали, что законы оптики описываются с помощью тригонометрических функций.

Домашнее задание: № 207 (а, б, в, д) стр. 389

Краткое описание документа:

Презентация к уроку алгебры 10 класс по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

Цели презентации:

1. Образовательные – обеспечитьповторениеисистематизациюматериалатемы..Создатьусловияконтроляусвоениязнанийиумений, соблюстипреемственность обучения, установить взаимосвязь тригонометрии с другими науками.
2. Развивающие – способствоватьформированиюуменийприменятьприемы:сравнения,обобщения,выявленияглавного,переносазнанийвновую ситуацию,развитиюматематическогокругозора,мышленияиречи,вниманияипамяти.
3. Воспитательные – содействовать воспитаниюинтересакматематикеиееприложениям,активности,мобильности,уменияобщаться,общейкультуры.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 592 958 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

§ 18. Тригонометрические уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 29.06.2020
• 349
• 8

• 29.06.2020
• 713
• 11

• 29.06.2020
• 1863
• 345

• 29.06.2020
• 7050
• 2313

• 29.06.2020
• 134
• 1

• 29.06.2020
• 364
• 3

• 29.06.2020
• 318
• 2

• 29.06.2020
• 199
• 3

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 29.06.2020 563
• RAR 3.8 мбайт
• 66 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Митасова Валентина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 3985
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.