Комплексная форма уравнений элементов комплексные сопротивления

Комплексные сопротивления и проводимости

Вы будете перенаправлены на Автор24

Комплексные числа. Основные законы электрических цепей в комплексной форме

Комплексное число – это число вида а + сi, где а и с — вещественные числа, а i — мнимая единица, то есть число для которого выполняется равенство i(2) = -1.

Множество комплексных чисел может обозначаться С. Вещественные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел и имеют следующий вид а + 0i. Главное свойство комплексного числа заключается в том, что в нем выполняется основная теорема алгебры, то есть многочлен n-ой степени (n ⩾ 1) имеет n корней. Также доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Основная теорема алгебры представляет собой утверждение, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть любой многочлен, который отличен от константы, с комплексными коэффициентами имеет минимум один корень в поле комплексных чисел. Такое утверждение справедливо для многочленов с вещественными коэффициентами, потому что всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Необходимость применения комплексных чисел появилась в результате решения кубических уравнений, так как в формуле Кардано под квадратным корнем получалось отрицательное число. В изучение комплексных чисел большой вклад внесли такие ученые, как Эйлер, Гаусс и Декарт. Свойства комплексных чисел позволяют использовать их в решении разнообразных задач в области теории упругости, математики, обработке сигналов, теории колебаний, электромагнетизме, теории управления и т.п.

Законы электрических цепей переменного тока в комплексной форме имеют такой же вид, как цепи постоянного электрического тока, с заменой постоянных величин следующим образом:

Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Готовые работы на аналогичную тему

К основным законам электроцепей относятся:

1. Закон Ома.
2. Первый закон Кирхгофа.
3. Второй закон Кирхгофа.

В комплексной форме закон Ома будет иметь следующий вид:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу в комплексной форме выглядит следующим образом:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Второй закон Кирхгофа, применительно к контуру цепи, в комплексной форме можно записать следующим образом:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Достоинство выражения законов электрических цепей в комплексной форме заключается в том, что в них учитываются связь между действующими значениями напряжения и тока, а также сдвиг фаз между ними.

Комплексное сопротивление. Физический смысл

Комплексное электрическое сопротивление (электрические импеданс) – это комплексное сопротивление между двумя узлами электрической цепи или двухполюсника для гармонического колебания.

Комплексное сопротивление представляет собой отношение комплексной амплитуды напряжение гармонического сигнала, которое прилагается к двухполюснику, к комплексной амплитуде электрического тока, который протекает через двухполюсник при установившемся режиме (то есть по окончании переходных процессов в цепи). Для пассивных линейных цепей, обладающих постоянными параметрами, в установившемся режиме комплексное электрическое сопротивление никак не зависит от времени. В том случае, когда время в математическом выражения для комплексного сопротивления не сокращается, понятие комплексного сопротивления для двухполюсника неприменимо. Сама формула для электрического импеданса выглядит следующим образом:

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: j — мнимая единица; w — круговая частота; U(w). I(w) — амплитуды напряжения и электрического тока на частоте w; фu(w), фi(w) — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте w; U(jw), I(jw) — комплексные амплитуды напряжения и электрического тока гармонического сигнала на частоте w.

Если рассматривать комплексное электрическое сопротивление в алгебраической форме, то его действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая реактивному. То есть двухполюсник с импедансом z(jw) представляет собой последовательно соединенные резистор с сопротивлением R (z(jw)) и реактивный элемент с комплексным сопротивлением J(z(jw)).

Когда комплексное сопротивление рассматривается в тригонометрической форме, то его модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент соответствует сдвигу фазы между электрическим током и напряжением.

Для резистора комплексное электрическое сопротивление всегда равно его собственном и при этом никак не зависит от частоты, то есть:

Напряжение и электрический ток в конденсаторе связаны соотношением:

Следовательно, при напряжении

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Электрический ток, который протекает через конденсатор, может быть рассчитан следующим образом:

Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда комплексное сопротивление конденсатора рассчитывается по формуле:

Аналогично расчету комплексного сопротивления для конденсатора получают формулу расчета для катушки индуктивности:

Комплексная проводимость

Комплексная проводимость какого-либо участка электрической цепи представляет собой отношение комплекса электрического тока к комплексу напряжения рассматриваемого участка, таким образом выражение проводимости в комплексной форме будет иметь следующий вид:

Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: У — полная проводимость (модуль комплексной проводимости; ф — аргумент разности фаз напряжения и тока; j — мнимая единица.

Выразить комплексную проводимость можно в следующих формах:

1. Показательная.
2. Тригонометрическая.
3. Алгебраическая.

Показательная форма комплексной проводимости выглядит следующим образом:

Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В тригонометрической форме ее можно выразить так:

Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В алгебраической форме комплексная проводимость имеет следующий вид:

Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: g = Ycosф — активная проводимость; b = Ysinф — реактивная проводимость.

Пример треугольника проводимостей на комплексной плоскости изображен на рисунке ниже.

Рисунок 12. Треугольник проводимостей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Полную проводимость в данном случае можно рассчитать по формуле:

Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Формула для расчета аргумента, таким образом, будет иметь следующий вид:

Комплексная проводимость может быть также определена как величина обратная комплексному сопротивлению:

Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как Y = g-jb, то

Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 09 2021

Эксперт по предмету «Электроника, электротехника, радиотехника» , преподавательский стаж — 5 лет

Закон Ома в комплексной форме

Для анализа электрических цепей синусоидального тока удобнее применять закон Ома в комплексной форме. Цепи синусоидального тока – линейные цепи с установившимся режимом работы, когда после окончания в них переходных процессов, падения напряжений на участках, токи в ветвях и ЭДС источников являются синусоидальными функциями времени. В обратном случае закон в такой форме неприменим.

В отличие от обычной формы закона Ома, в комплексной форме напряжение, токи, сопротивления и ЭДС записываются как комплексные числа. Данное нововведение основано на том, что в цепях переменного тока существуют активные и реактивные значения напряжений, токов и сопротивлений, что требует определенных корректив.

Итак, вместо активного сопротивления R, которое используется в основном в цепях постоянного тока, запишем полное (комплексное) сопротивление цепи Z. Падение напряжения, ток и ЭДС тоже становятся комплексными величинами. При практических расчетах удобнее пользоваться действующими значениями. Запишем формулу закона Ома в комплексной форме:

где

• Z – комплексное (полное) сопротивление,
• Y – комплексная (полная) проводимость.

где

• r – активное сопротивление,
• x – реактивное сопротивление,
• z – полное сопротивление,
• g – активная проводимость,
• b – реактивная проводимость,
• y – полная проводимость,
• j – комплексная единица, j=√(-1).

По заданной схеме определить полное сопротивление цепи, токи (I_1 ) ̇, (I_2 ) ̇, (I_3 ) ̇. U = 120 В, xC1 = 100 Ом, xL2 = 50 Ом, xC3 = 50 Ом, r1 = 25 Ом, r2 = 20 Ом.

Комплексные сопротивления пассивных элементов

Комплексные сопротивления пассивных элементов

Комплексные сопротивления пассивных элементов в установившемся синусоидальном режиме при использовании метода комплексных амплитуд:

Z _ R = U ˙ m R I ˙ m R = U ˙ R I ˙ R = R ; Z _ L = U ˙ m L I ˙ m L = U ˙ L I ˙ L = j ω L = j x L = x L e j 90 ° ; Z _ C = U ˙ m C I ˙ m C = U ˙ C I ˙ C = 1 j ω L = − j 1 ω L = − j x C = x C e − j 90 ° ,

где U ˙ m = U ˙ 2 , I ˙ m = I ˙ 2 – комплексные амплитуды.

У R-элемента φ_R = α_uR – α_iR = 0°, то есть синусоиды напряжения и тока в фазе; у L-элемента φ_L = α_uL – α_iL = 90°, то есть напряжение «опережает » ток на 90°; у C-элемента угол сдвига между синусоидами φ_C = α_uC – α_iC = –90°, то есть напряжение «отстает » от тока на 90°, что соответствует мнемоническому правилу ULICU.

Комплексные проводимости элементов

При ω → 0 сопротивление Z _L = jωL → 0, Z _C = l/ ( jωC) → ∞, то есть элементы L ≡ КЗ, C ≡ XX; на частоте ω → ∞ имеем Z _L → ∞, Z _C → 0, то есть L ≡ XX, C ≡ КЗ.

комплексные сопротивления пассивных элементов, комплексные сопротивления