Комплексно сопряженные корни характеристического уравнения

Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛОДУ, примеры решения.

Можно выделить 5 возможных метода для определения y₀ — общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами:

1. В случае, когда все решения характеристического уравнения являются действительными и различными, значит, линейно независимые частные решения принимают вид:

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами записывают так:

Найти общее решение ЛОДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами:

Для начала записываем характеристическое уравнение и находим его корни, перед этим произведя разложение многочлена в левой части равенства на множители методом группировки:

Каждый из трех корней характеристического уравнения являются действительными и различными, значит, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами принимает вид:

2. Когда каждое решение характеристического уравнения оказывается действительными и одинаковыми, т.е.,

значит, линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами принимают вид:

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ДУ) принимает вид:

Найти общее решение ДУ

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения 4-го порядка выглядит так:

Обратившись к формуле бинома Ньютона, переписываем характеристическое уравнение как , из чего видим четырехкратный корень k₀ = 2.

Т.о., общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами является:

3. Когда решениями характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами оказываются разные комплексно сопряженные пары , n=2m, тогда линейно независимые частные решения такого линейного однородного дифференциального уравнения принимает вид:

а общее решение записывается так:

Проинтегрировать ЛОДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами .

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения:

Произведя некоторые несложные преобразования и группирования имеем:

Откуда находим 2 пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения и . Тогда, общим решением заданного ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами является:

4. Когда решениями характеристического уравнения оказываются совпадающие комплексно сопряженные пары , тогда линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами выглядят так:

а общим решением этого линейного однородного дифференциального уравнения является:

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Первым шагом записываем характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами и определяем его корни:

Т.е., решением характеристического уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара . Тогда общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:

5. Могут возникнуть любые комбинации случаев, описанных выше, т.е., некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые являются действительными и совпадающими, некоторые являются различными комплексно сопряженными парами и некоторые совпадающими комплексно сопряженными парами.

Найти общее решение ДУ

Характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит так:

Многочлен в левой части равенства можно разложить на множители. Из делителей свободного члена вычисляем двукратный корень k₁=k₂=2 и корень k₃=-3. Далее, применяя схему Горнера, приходим к разложению:

Из квадратного уравнения находим оставшиеся корни .

Т.о., общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит как:

№70 Анализ переходных процессов в цепи R, L, C.

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t — ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0

Корни комплексно-сопряженные, т.е. .

Вначале покажем, что если является решением уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяют функции u и v. Подставим в уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части:

Подчеркнутый член и выражение в скобках равны нулю.

Итак, в этом случае частные решения имеют вид

и .

Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже,

и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции:

Очевидно, линейно-независимыми среди них будут

Так как

Окончательно, общее решение будет иметь вид

. (5)

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (5):

4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛНДУ-2)

(6)

где функции непрерывны на некотором отрезке .

Ему соответствует однородное уравнение

(7)

Пусть известно общее решение уравнения (7)

. (8)

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ-2). Общее решение ЛНДУ-2 является суммой частного решения уравнения (6) и общего решения соответствующего однородного (7).

Вначале покажем, что является решением уравнения (6), для чего подставим его в уравнение (6) и сгруппируем члены

Сумма первых трёх членов левой части равенства равна нулю, так как — общее решение однородного уравнения, а сумма остальных трёх членов равна , так как — есть частное решение уравнения (6).

Таким образом, является решением уравнения (6).

Теперь покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значения и , при которых решение удовлетворяло бы им. Подставим решение

в эти условия, тогда получим систему

(9)

Система (9) является линейной системой для определения и с определителем

так как и — ЛНЗ решения уравнения (7). Из решения системы (9) определяем и . Таким образом, является общим решением уравнения (6).

Замечание. Если — функции от х, то не существует общих методов интегрирования уравнений (6) и (7). Рассмотрим случай, когда известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Пусть нам известно общее решение уравнения (7), т.е. . Тогда решение уравнения (6) будем искать в виде

Продифференцируем это равенство:

В силу произвольности выбора функций и положим

(10)

Подставляя в уравнение (6) и группируя члены, получаем

(11)

Выражения в скобках в формуле (11) равны нулю, объединяя полученные результаты, приходим к системе

(12)

из которой единственным образом находятся и , так как её опре-делитель является определителем Вронского . И тогда

Пример 4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение

Воспользуемся формулой (4) .

Здесь .

Составим систему (12)

Интегрируя последнее уравнение системы, находим , а из первого уравнения определяем

Окончательно получим общее решение

4.6. ЛНДУ-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения

, (1)

где .

Как известно, общее решение уравнения (1) имеет вид . Рассмотрим, как можно определить частное решение в зависимости от вида правой части (1) в некоторых случаях:

1. , где — многочлен п-ой степени.

Зададим вид частного решения в форме , где

многочлен п-ой степени с неопределёнными коэффициентами. Найдём его производные:

Подставим эти выражения в уравнение (1) и сократим на

. (2)

Здесь возможны случаи:

1.1. Число не является корнем характеристического уравнения, т.е. . Тогда слева и справа в выражении (2) стоят многочлены п-ой степени и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим неопределённые коэффициенты .

1.2. Число является простым корнем характеристического уравнения, т.е. , а из теоремы Виета следует . Тогда слева в выражении (2) стоит многочлен (п — 1)-ой степени, а справа п-ой степени. Поэтому, для того чтобы коэффициенты были определены, необходимо частное решение искать в виде многочлена (п + 1)-ой степени, но без свободного члена, так как он исчезает при дифференцировании, т.е. .

1.3. Число является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е. , а из теоремы Виета следует . Тогда слева в выражении (2) стоит многочлен (п — 2)-ой степени, а справа — (п — 1)-ой степени. Рассуждая аналогично, получаем .

Рассмотренные три случая можно объединить общим правилом

Правило 1 . Если правая часть уравнения (1) имеет вид , то частное решение следует искать в виде , где — многочлен п-ой степени с неопределёнными коэффициентами, а — кратность корня характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

На предыдущей лекции было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение будем искать в виде (случай 1.3).

Подставим это выражение в наше уравнение и сократим на :

Тогда общее решение будет иметь вид

2. , где и — многочлены п-ой и т-ой степени соответственно.

Частное решение будем искать в виде

где и многочлены с неопределёнными коэффициентами, а .

Если подставить эти выражения в уравнение (1), сократить на и приравнять коэффициенты при и , то получим систему

(3)

Если подставить числа в характеристическое уравнение уравнения (1), то получим и тогда возможны случаи:

2.1. Числа не являются корнями характеристического уравнения, т.е.

Тогда слева в уравнениях (3) стоят многочлены степени . Поэтому можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х. В результате получим систему для определения коэффициентов многочленов и .

2.2. Числа — корни характеристического уравнения, т.е.

и .

Тогда слева в уравнениях (3) стоят многочлены степени на единицу меньшую, чем k и, рассуждая аналогично, как и ранее, частное решение ищем в виде

Правило 2. Если правая часть уравнения (1) имеет вид

то частное решение следует искать в виде

если не являются корнями характеристического уравнения, и в виде

если — корни характеристического уравнения, где и многочлены с неопределёнными коэффициентами, а .

Замечание 1. Правило 2 справедливо и для случая . Тогда

и, если корень характеристического уравнения, то

Замечание 2. Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму двух функций, относящихся к правилам 1-2, то частное решение в силу линейности уравнения ищется в виде суммы двух функций, которые определяются соответственно правилами 1-2.

Пример 2. Найти частное решение уравнения

Здесь правая часть уравнения представляется в виде суммы двух функций:

и .

Поэтому решение ищем в виде , где является частным решением уравнением

. (4)

а является частным решением уравнения

. (5)

Для этого случая решение имеет вид (случай 2.1)

Подставим это выражение в уравнение (4):

Сократим на и приравняем коэффициенты при и :

Из решения системы получаем

Решение уравнения (5) ищем в виде (случай 1.1)

Подставим это выражение в уравнение (5)

Приравнивая коэффициенты при , приходим к системе

Из решения системы последовательно находим

Лекция № 43. Тема 5 : Линейные ДУ высших порядков

5.1. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка

Общий вид линейного дифференциального уравнения п-го порядка (ЛДУ — п)

. (1)

Ему соответствует однородное уравнение п-го порядка

(2)

Определение 1. Функции называются линейно зависимыми (ЛЗ) на , если , где, по крайней мере, одно из них отлично от нуля, для которых выполняется . В противном случае функции называются линейно независимыми (ЛНЗ).

Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (2) также используется определитель Вронского, который для данного случая имеет вид

При этом, если , то система функций ЛЗ. Если же для п частных решений уравнения (2) , то эти решения являются ЛНЗ.

Справедливы также теоремы о структуре решений уравнений (1-2):

Теорема 1. Если — ЛНЗ решения уравнения (2), то его общее решение имеет вид

где произвольные константы.

Теорема 2. Общее решение ЛНДУ — п есть сумма частного решения уравнения (1) и общего решения соответствующего однородного (2), т.е. .

Доказательства этих теорем аналогичны, как и для случая ЛДУ – 2.

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение уравнения (1) можно находить методом вариации произвольных постоянных. Тогда система для нахождения функций имеет вид

Остановимся на случае, когда все коэффициенты в уравнениях (1-2) являются константами. Тогда для однородного уравнения имеем характеристическое уравнение

. (3)

По характеру корней уравнения (3) определяются частные ЛНЗ решения:

Правило. Каждому действительному корню k характеристического уравнения (3) т-ой кратности соответствует т ЛНЗ решений вида

Каждой паре комплексных корней кратности т соответствует 2т ЛНЗ решений вида

Для случая уравнения со специальной правой частью исполь-зуется аналогичное правило, как и для ЛНДУ-2, для нахождения вида частного решения .

Пример 1. Найти общее решение ДУ

Ему соответствует однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Найдём его корни

Тогда, согласно правилу, получаем общее решение однородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , где частное решение уравнения

(4)

а частное решение уравнения

(5)

Так как число 2 не является корнем характеристического уравнения, то . Подставим это выражение в уравнение (4), предварительно сократив его на :

Частное решение уравнения (5) ищем в виде

так как нуль является корнем характеристического уравнения.

Подставим это выражение в уравнение (5):

Таким образом, получаем общее решение данного уравнения

5.2*. Понятие о краевой задаче

При решении некоторых задач требуется проинтегрировать ДУ не при начальных условиях (задача Коши), а с учётом значений искомой функции или её производных в некоторых точках. Условия, налагаемые на значения функции, её производных на концах отрезка, называются краевыми условиями, а соответствующая задача – краевой задачей.

При этом для корректности решаемой задачи число таких условий должно быть равно числу констант в общем решении. Такие задачи рассматриваются в курсе сопротивления материалов, а ещё более общие задачи встречаются в курсе уравнений математической физики.

Рассмотрим в качестве примера задачу изгиба балки на упругом основании.

Дифференциальное уравнение прогиба балки имеет вид

где l упругая постоянная, характеризующая свойства основания, Е — модуль упругости балки, I — момент инерции площади поперечного сечения балки, q(x) — интенсивность внешней нагрузки.

Этому уравнению соответствует однородное уравнение

для которого характеристическое уравнение имеет вид

Непосредственно легко проверить, что его корнями являются

Этим корням соответствует общее решение

Рассмотрим случай, когда .

Тогда частное решение будем искать в виде . Подставим это выражение в уравнение прогиба балки, получим .

. (6)

Константы определяются из условий закрепления концов балки, так, например, если концы балки закреплены жестко, то эти условия (граничные условия) имеют вид

Подставляя в эти граничные условия полученное выражение для прогиба (6), получим систему четырёх уравнений для определения .

Лекция № 44. Тема 6 : Системы дифференциальных уравнений

6.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений

К решению систем дифференциальных уравнений приводят, в частности, задачи по исследованию колебательных процессов в технике, физике, меха-нике. Вибрации сооружений, электромагнитные колебания, колебания упру-гих тел — все эти процессы описываются системами дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки массой т в плоскости Оху. Согласно второму закону Ньютона имеем

Спроектируем векторное равенство на координатные оси

(1)

Получена система дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций , которые определяют положение точки на плоскости. Здесь t — время,

— проекции скорости,

— проекции ускорения на координатные оси.

Будем рассматривать системы дифференциальных уравнений, каждое уравнение которой разрешено относительно старшей производной – канонические системы. Такую систему, путём введения дополнительных функций, всегда можно привести к эквивалентной ей системе дифференциальных уравнений первой порядка (ДУ-1), разрешенных относительно производной.

Например, приведём систему (1) к системе ДУ-1.

Введём функции . Тогда она примет вид

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие системы.

Определение 1. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений вида

(2)

где — искомые функции, а заданные функции в некоторой области G переменных .

Определение 2. Решением системы (2) называется совокупность п дифференцируемых функций: , которые при подстановке в систему ДУ, обращают каждое уравнение в тождество.

Определение 3. Совокупность функций называется общим решением системы ДУ (2), если:

1. Эти функции являются решением системы при любых значениях ;

2. Для любых начальных условий вида

(3)

из области G можно найти такие значения , при которых каждая функция этой совокупности удовлетворяет условиям (3).

Задача Коши для системы (2) формулируется следующим образом: Найти такое решение , которое удовлетворяет начальным условиям (3).

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если правые части системы ДУ (2) и их частные производные по переменным непрерывны в области G, то для любой точки существует единственное непрерывное решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (3).

Пример 1*. Определить траекторию полёта снаряда, выпущенного из орудия под углом a к горизонту со скоростью V₀. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вначале лекции были рассмотрены общие уравнения (1), которые можно применить для данной задачи

где g — ускорение свободного падения. Проинтегрируем каждое уравне-ние системы

Константы интегрирования и найдем из начальных условий:

Тогда система примет вид

Ещё раз проинтегрируем

Константы интегрирования и определим из начальных условий с учетом выбора начала системы координат в положении орудия:

Таким образом, решением системы являются функции

Исключая параметр t, приходим к уравнению траектории

6.2. Решение нормальных систем ДУ методом исключений

Решение системы (2) сводится к решению ДУ-п методом исключений.

Продифференцируем по х первое уравнение системы (2)

С учетом остальных уравнений системы это выражение примет вид

или .

Аналогично, ещё раз продифференцировав, получаем

и т. д., пока не найдём п-ую производную

Таким образом, получаем систему п уравнений

(4)

Из первых п — 1 уравнений системы (4) выразим через переменные . Подставляя их значения в последнее урав-нение системы (4), имеем

. (5)

Решая уравнение (5), находим , а с помощью выражений для определяем и эти функции.

Замечание 1. Из приведённых выше рассуждений видна структура общего решения системы дифференциальных уравнений (2).

Замечание 2. Часто систему уравнений можно сразу сводить к уравнению (5), минуя систему (4). В частности, это относится к линейным системам дифференциальных уравнений.

Пример 2. Найти общее решение системы